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数学B版必修2 2.3.3节直线与圆的位置关系
一、教学目标
1、根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；
2、体会用几何法、代数法处理平面几何问题；体验用转化、数形结合、方程、分类讨论等数学思想来解决数学问题的方法；
3、利用直线与圆的方程解决一些简单的问题如相切（难点）.
二、教学课前预习设计
【预习效果小测】
1、直线与圆的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离
2、若直线与圆相切，则等于
A.2或0 B.0 C.2 D.4
3、若直线与圆相切，则 的值
A.17或-23 B.23或-17 C.7或-13 D.-7或13
2.圆x2+y2-2x+4y=0与2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为(　　)
A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能
5.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
三、教学过程(课件辅助教学)
1.创设情境，知识导入
问题情景：海上的日出是个非常美丽的景观.如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程，你能感知到什么几何知识呢？
通过日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系：相交、相切、相离.
2.实例引入，引坐标法
有半数多的同学举手.
生：利用初中的几何知识讲问题转化一个圆与一条直线的位置关系，中间使用了三角形面积相等的策略求出圆心到直线的距离与半径比较即可以判断不改变方向与是否受到台风的影响.
师：方法不错哟.直线和圆都可以用方程表示，那么我们可以适当建系，这种方法我们称它为…坐标法.为解决这个问题，我们以台风中心为原点 O，东西方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取 10km 为单位长度．长度的选择是为了计算方便.
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为:
轮船航线所在直线 l 的方程为：
问题归结为：圆心为O的圆与直线l有无公共点．
通过创设生活问题，营造问题解决的环境，突出学生的自主学习和自主探究，引导学生解决现实生活的实际问题，将几何问题代数化。
【探究新知】
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中直线与圆的位置关系有三种
a.直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆___相交 _，有两个公共点；
(2)直线与圆___相切__，只有一个公共点；
(3)直线与圆___相离 _，没有公共点．
3.特例分析，形成方法
学生有选择几何法的，转化为圆心到直线的距离与半径之间的比较；有的学生在同一个坐标系下画出圆和直线的图像，结合“形”直接判定位置关系；有的学生讲述的是如果直线与圆有公共点，那么点既满足直线方程又满足圆的方程，换句话说是直线与圆联立的一元二次方程有无实数解问题.
b.几何法
4、深入分析，升华认知
通过师生问题细节的交流，来学习如何用代数方法研究直线与圆的位置关系.
c.代数法：
设方程组消元得到一元二次方程，由判别式Δ，则 (1)Δ>0 方程组有两组不同实数解 直线与圆相交；
(2)Δ＝0 方程组有两组相同实数解 直线与圆相交；
(3)Δ<0 方程组没有实数解 直线与圆相离.
5.小试牛刀，方法体验
通过小试牛刀环节，个人尝试使用适当的方法来解决，引发学生深层次思考.问题一：字母a的范围是易错点；问题二：变式2可选择直线过定点，且定点在圆内，所以直线与圆位置的判定一目了然；另外有的学生选择联立，此题比较适合消；再变直线换成，就比较适合消.
6. 方法实践，提升理解
这是课本的例1，是个含参问题.教学活动安排学生分A组、B组，分别使用几何法、代数法完成. 教师巡视指导，利用投影展示学生的解题过程，并提出解题的规范要求，对于学生的作答进行评价，让学生充分认识到“数”与“形”的对应关系．

解法一:若直线l：y=x+b和圆x2+y2=2有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点,则方程组有两个不同解、有两个相同解、没有实数解,消去y,得2x2+2bx+b2-2=0,所以Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=16-4b2.
当Δ=16-4b2＞0,即-2＜b＜2时,圆与直线有两个公共点；当Δ=16-4b2=0,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；当Δ=16-4b2＜0,即b＞2或b＜-2时,圆与直线没有公共点.
解法二：圆x2+y2=2的圆心C的坐标为(0,0),半径长为2,圆心C到直线l:y=x+b的距离d=.
当d＞r时,即＞,即|b|＞2,即b＞2或b＜-2时,圆与直线没有公共点;
当d=r时,即=,即|b|=2,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；
当d＜r时,即＜,即|b|＜2,即-2＜b＜2时,圆与直线有两个公共点.
师：由于圆的特殊性,判断圆与直线的位置关系,多采用圆心到直线的距离与半径的大小进行比较的方法,而高二我们要学习的圆锥曲线如椭圆、双曲线、抛物线与直线位置关系的判断,则需要利用方程组解的个数来判断.
通过问题的设计，不但可以巩固所学知识，还可以让学生真正体会由“几何问题（位置关系）”到“代数问题（坐标、方程、点到直线的距离公式、联立方程组等），再到“几何问题（分析代数结果的几何含义）”，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的转化过程，是转化思想的具体应用．
7.合作交流，不拘一格
活动:学生合作交流讨论,
教师提示学生解题的思路,引导学生回顾直线方程的求法,既考虑通法又考虑图形的几何性质.此切线过点(x0,y0),要确定其方程,只需求出其斜率k,可利用待定系数法(或直接求解).直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径,切线与法线垂直.
生1解法一：由直线两点式变形有：， ，
由直线系方程设， 过M(x0,y0)，则，有又因为点在圆上,所以即，所以切线的方程为
师：这个方法非常漂亮。一使用了两点式的变形，杜绝了分类讨论；二巧用直线垂直线系，待定系数。
生2：解法二当时，设：，即即由圆心到直线的距离，两边平方有（然后学生不会了，讲问题抛给老师）
师：注意我们要求切线，也就是求斜率，这里面是个常量，所以我们可以将其转化为的方程，所以展开
即，在圆上，所以代入即即代入直线化简有
解法三: 当点M不在坐标轴上时
设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1.
因为圆的切线垂直于过切点的半径,所以k=-.
因为k1=所以k=-.所以经过点M的切线方程是y-y0=-(x-x0).
整理得x0x+y0y=x02+y02.又因为点M(x0,y0)在圆上,所以x02+y02=r2.
所以所求的切线方程是x0x+y0y=r2.
当点M在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用.
8、【归纳总结】
2.对直线与圆位置关系判断的两点说明
(1)几何法比代数法要简便,一般选择几何法.
(2)已知位置关系,求参数的值时,选择代数法就是转化成方程有解的问题;选择几何法就是解不等式或等式的问题。
3、涉及的思想：“数形结合”、“转化”、“由特殊到一般”的数学思想方法、分类讨论、方程的思想.
作业布置
1、发散思考课外探索
若圆 ，则过圆上一点 M(x0,y0) 的切线方程是什么？
2、习题2-3A 4， 5，6
板书设计
直线与圆的位置关系1.几何法2.代数法例2法一 PPT投影处 例2法二
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