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《函数》教案
课题 3.1函数 单元 第三单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：了解函数的概念 2.数学建模：掌握函数的相关知识，为函数的学习打好基础的同时，也能学习利用函数解决实际问题 3.直观想象：理解函数的三种表示方法 4.数学运算:能根据实际问题的意义以及函数关系式确定自变量的取值范围
重点 难点 重点：对函数概念的再认识；表示函数的方法；简单的分段函数。 难点：表示函数的方法；简单的分段函数。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 一切事物都处在相互关联和不断变化的过程之中。函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。用集合和对应的语言更清楚地表达函数概念，有助于我们正确认识函数、理解函数和运用函数解决问题。
新知探究 新知探究（一）：对函数概念的再认识 想一想：还记得初中时期关于函数的概念吗？ 如果在一个变化过程中有两个变量，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么称是的函数。其中是自变量， 是因变量。 在学习了集合的概念之后，我们可以这样来就理解函数的概念： 变量的取值范围集合 函数两个集合之间的对应关系 由此，我们可以重新定义函数的相关概念： 设是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系，对于集合中的任何一个数，在集合中都有唯一的数和它对应，那么称这样的对应为定义于取值于的函数，也记作： 在函数概念中，存在以下基本定义： 叫作自变量，的取值范围叫作函数的定义域； 与对应的数叫作函数值，记作所有函数值组成的集合叫作函数的值域，值域是集合的子集。 由函数的定义，我们知道函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，因此确定一个函数主要取决于两个要素：定义域和对应关系。 练一练： 将函数的定义域用区间表示为__________________. 解：要使分数与根式有意义，要满足以下条件： 解得 用区间表示为 1、对应关系是表示定义域和值域间的一种对应关系，与所选择的字母无关； 2、函数的定义域是使表达式有意义的自变量的取值集合； 3、判断两个函数是否相等，主要看两方面：一是定义域是否相同、二是对应关系是否一致。 新知探究（二）：表示函数的方法 把一个函数的对应关系和定义域交代清楚的方法，就是表示函数的方法。你能想到哪些表示方法呢？ 设正方形面积为，边长为，则面积与边长的函数关系可以表示为： （1）解析法 像这种把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫做解析式，解析法就是用解析式来表示函数的方法。 （2）列表法： 列出具体数据来表示两个变量之间关系的方法 （3）图象法： 用函数图象表示两个变量之间对应关系 作出函数图象的步骤如下： 列表——先找出一些有代表性的自变量值，并计算出与这些自变量相对应的函数值，用表格形式表示出来； 描点——将表格中的一系列点在坐标平面上描出； 连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来. 练一练： 已知 解析：可以用换元法 解： ∴ 新知探究（三）：简单的分段函数 【例题】某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100，按0.57元/（ ）计费；每月用电量超过100 ，其中100 仍按原标准收费，超过部分按1.5元/（ ）计费。设月用电，应交电费元，写出关于的函数解析式。 分析：求应交电费时，应当将用电量分为两个区间分别计算。 解： 当时，月电费=月用电量标准电价 可得 当时， 月电费=100 的电费超过100 部分的电费 可得 ∴ 像上面这样的，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数。 练一练： 求函数定义域及值域. 解析：的定义域是不等式与的并集。 答案：定义域为 值域为 注意以下几点： （1）分段函数的定义域为每段上自变量取值范围的并集； （2）分段函数的值域为每段因变量取值范围的并集； （3）分段函数求值时，一定要注意自变量的值所在的范围，代入相应解析式求得.
典型例题 典型例题 1、下列四组函数中，表示同一函数的是（ D ） A. B. C. D. 解析：判断两个函数是同一函数，仅当定义域与对应关系都相同，才是同一函数。 2、作出函数图象：. 解：所给函数可以写成分段函数的形式： 图象为端点为（1，0）的两条射线 如右图所示 3、设上的函数，且满足，并且对任意实数有，求的表达式。 分析：所给函数方程有两个变量，可对这两个变量交替用特殊值代入或使两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于什么特殊值，根据题目特征而定。 答案： 解：（法一）由 令 ∴ （法二）令，得 ∴ 又令 ∴ 拓展提高 已知函数求. 答案： 分析：求分段函数的值首先要判断自变量所在的取值范围，从而代入相应的解析式；含有多层“”的问题，按从里到外的顺序处理。 解： ∵ ∴ 又∵ ∴ 学生和教师共同探究完成3个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 对函数概念的再认识； 表示函数的方法； 简单的分段函数。

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