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《函数与方程》教案
课题 4.4函数与方程 单元 第四单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：理解函数与方程的关系 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力 3.数学建模：掌握函数的相关知识，为函数的学习打好基础的同时，也能学习利用函数解决实际问题 4.直观想象：理解方程的根与函数零点的关系 5.数学运算：理解计算函数零点的二分法
重点 难点 重点：利用方程的根、函数的零点、函数图像的交点之间的关联性，合理选择方法，判断根的个数及分布 难点：理解在利用“二分法”过程中的程序设计
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 从函数图象可以看出，一元二次方程的根，就是二次函数的零点，即该函数图象与轴交点的横坐标。 因此，对于不能用公式法求根的方程来说，可以将它与函数联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根。
新知探究 新知探究（一）：方程的根与函数的零点 如图，当逐渐增加时，如果连续变化且有，则存在点，使得。如果知道在区间[]内单调递增或单调递减，就进一步判定： 方程在内恰有一个根。 练一练： 讨论三次方程的根的个数与分布情况。 解：函数图象如图，由图可得： 在区间（-1,0）、（0,1）和（2,3）内各有一个零点 ∵ 在（）上为负， 在（）上为正 ∴ 只有这三个零点 ∴ 原方程有三个根，分别位于（-1,0）、（0,1）和（2,3）上 函数零点的判定技巧： （1）若上连续且单调，则函数在内只有一个零点； （2）若上连续且单调，则函数在内一定没有零点； （3）若上不单调，则零点情况不确定； （4）若是零点。 新知探究（二）：计算函数零点的二分法 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是10km长的线路，在该线路上有200多个电线杆。 想一想：维修工人应怎样最合理的迅速查出故障所在地呢？ 线路如上图所示，工人首先从线路的中点C查起，如果CB段正常，就选择CA的中点D测试；如果DA段正常，就选择DC段的中点E继续测试，以此类推。像这种检修道路的方法叫作二分法。 二分法可用于寻找函数的零点，迅速缩小所搜范围，接近零点的准确位置。
典型例题 典型例题 1、已知函数的图象如图所示，则（ A ） A. B. C. D. 解：由 又∵ 的另外两个根是1,2 ∴ ∴ 当 ∴ ∴ 2、证明函数恰有两个零点。 证明：由题意可画出函数图象如图： ∵ 当 ∴ 函数有两个零点 3、方程 解：方程的两根为： 要使得两根均大于1，只需要小根即可 解得： 拓展提高 已知二次函数，求下列条件下实数的取值范围。 （1）一个零点大于1，一个零点小于1； （2）一个零点在（0,1）内，另一个零点在（6,8）内。 答案： （1）； （2）. 解：（1）由题意可得： ∴ （2）由题意可得： ∴ 学生和教师共同探究完成3个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 方程的根与函数的零点； 计算函数零点的二分法。

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