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《实数指数幂和幂函数》教案
课题 4.1实数指数幂和幂函数 单元 第四单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：理解分数指数幂的概念以及幂函数的意义 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力 3.数学建模：掌握函数的相关知识，为函数的学习打好基础的同时，也能学习利用函数解决实际问题 4.直观想象：理解分数指数幂的运算性质 5.数学运算：理解根式的概念
重点 难点 重点：了解实数指数幂概念及运算；通过集中特殊幂函数了解幂函数的性质 难点：理解非整数指数幂（尤其是无理数指数幂）的意义
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 试一试：一张纸最多可以对折多少次？ 尝试之后可以发现，无论怎样努力，也不能令第八次折得上去 第一次对折厚度为2,面积为0.5 第二次对折厚度为4,面积为0.25 第三次对折厚度为8,面积为0.125 第八次对折厚度为256,面积为0.00390625 可见纸的厚度随着对折的次数成倍增加，而面积成倍减少。再加上纸本身的张力，将一张纸对折九次比将512张纸对折要更困难。 思考：这种成倍的变化应当以怎样的数学形式呈现呢？
新知探究 新知探究（一）：有理数指数幂 在初中，我们学习过整数指数幂的概念，并知道以下运算法则： 思考一下，如何将整数指数幂推广到有理数指数幂呢 此时，需要引入根式与分数指数幂两个概念。 若一个实数，就说 当是奇数时，数； 当是偶数时，正数次方根有两个，它们互为相反数。 其中正的。 根式运算比较复杂，常常要先把根式化为同次根式再按运算法则进行计算，引入分数指数幂的概念就可以大大简化根式运算： 当 由此，便可以将整数指数幂推广到有理数指数幂—— 在 练一练： 计算下列各式： （1）； （2）； （3）. 答案：（1） （2）; （3） 注意根式的几点性质： （1） （2）当 ； 当 ； 新知探究（二）：无理数指数幂 已知对任意正整数，若则那么，对于任意正有理数，和1之间是否也有类似的关系呢？ 设 则 进一步可推知 由此可得有理数指数幂的基本不等式： 对任意正数； 对任意正数 在实际问题中，指数幂既可以是有理数，也可以是无理数。当是无理数时，即称为无理数指数幂，上述有理数指数幂的基本不等式仍成立。由此可得一般的幂运算基本不等式： 对任意的正数. 对任意的负数. 新知探究（三）：幂函数 一个棱长为的正方体，所有棱长加起来是所有面的面积加起来是而这个正方体的体积为。 的函数，它们有统一的形式这种形式的函数叫作幂函数，叫作幂指数，可以是整数、分数、无理数，可正可负。 正整数次幂函数 分数次幂函数 负整数数次幂函数 思考：你能根据右图总结出幂函数图象的特点吗？ 一般地，对于实数次幂函数： （1）当，函数图象过（0,0）和（1,1）两点； （2）当上有定义且递减，值域为，函数图象过点（1,1），向上且与轴正向无限接近，向右与轴正向无限接近。 练一练： 比较下列各题中两个值的大小： （1）；（2）；（3）， 解析：比较两个幂的大小要看是底数相同还是指数相同。 答案：（1）函数 （2）函数 （3），∴ 比较两个幂的大小的关键是搞清楚底数与指数是否相同： （1）若底数相同利用指数函数的性质； （2）若指数相同利用幂函数的性质； （3）若指数、底数皆不同，考虑用中间值法。
典型例题 典型例题 1、下列函数中是幂函数的是（ B ） （1）；（2）； （3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8） A.（1）（2）（3）（4） B.（1）（4） C.（2）（4）（5）（6） D.（2）（4）（7） 2、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）；（2）；（3）. 答案： （1）；（2）；（3）. 3、求值： （1）； （2）； （3） 答案：（1） 拓展提高 设函数在[2,4]上恒成立，求的取值范围。 解：由在[2,4]上恒成立， 可得 上恒成立 函数 ∴ ∴ 即 学生和教师共同探究完成3个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 有理数指数幂； 无理数指数幂； 幂函数。

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