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《向量的加法》教案
课题 1.2.1向量的加法 单元 第一单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用位移和路程的相关情境将平面向量具体化； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握平面向量的相关知识，为空间向量的学习打好基础的同时，也能学习利用向量解决实际问题。 4.直观想象：通过有向线段直观判断平面向量加法的法则； 5.数学运算:能够正确运算平面向量的加法运算律； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：平面向量的三角形法则；平面向量的平行四边形法则；平面向量的加法运算律。 难点：平面向量的三角形法则；平面向量的平行四边形法则。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 由于大陆与台湾没有直航，一台商要从台北到上海，需先乘飞机从台北绕道香港，再从香港飞达上海，请问台商这两次位移的和是什么？
新知探究 新知探究（一）：平面向量的三角形法则 如图，一艘船从码头O出发先往东行驶40 km到达位置A，再往北行驶30 km到达位置B,总的位移是多少 这艘船先从O到A，再从A到B，总的效果是从O到B,因而其总位移是OB。 OB是Rt△OAB的斜边。由勾股定理得 |OB|==50(km)。 总位移OB是两段航程的位移 OA、AB的总效果，很自然地把它定义为 两次位移之和: OA+AB=OB. 上述分析表明，位移的合成可看做是向量的加法。 由此，我们可以得出向量的加法法则： 如图，已知两个非零向量a, b, 在平面上任取一点O,分别作OA=a,AB=b,则定义从O到B的向量OB为a, b的和，记作a+b.即 a+b=OA+AB=OB. 求向量和的运算称为向量的加法。 将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则。 如果两个向量a,b的方向相同或相反，对于这种特殊情况，我们用下图来表示它们的和。 练一练： 设向量a表示“向西走5km”，向量b表示“向北走5km”，则a+b的实际意义是( D )。 A.向东南方向走了10km B.向西北方向走了10km C.向东南方向走了5km D.向西北方向走了5km 需要利用向量的三角形法则作出和向量a+b. 解： 如图，作向量OA，它表示向西走5km，作AB，它表示向北走5km，则OB=OA+AB=a+b， . 又OA与OB的夹角是45°， 所以a+b表示向西北方向走了5km。 (1)两个向量的和仍是一个向量，多个向量的和仍是一个向量。 (2)利用三角形法则求两个向量的和向量时一定要两向量首尾相连，第一个向量的起点指向另一向量的终点，求作三个向量的和时，首先作其中任两个向量的和，然后再求作这个向量与另一个向量的和。多个向量的和的求作方法以此类推，且有A1A2+A2A3+...+An-1An,=A1An。 新知探究（二）：平面向量的平行四边形法则 如图，若作用于同一点O的两个力, 可用由O出发的有向线段OA, OB来表示，则两个力的合力F与的关系如何？ F为的合力！ 如何证明呢？ 方法一：从A出发作AC=OB,则由三角形法则可得 OC=OA+AC=OA+OB=F. 因为AC与OB平行且相等， 所以四边形OACB是平行四边形。 因此，以上作出的OC是以OA, OB为一组邻边的 口OACB的对角线。 对于方向既不相同也不相反的非零向量a, b,还有一种求和的作图方法: 方法二： 平行四边形法则如图，从同一点O出发作有向线段OA=a,OB=b,以OA，OB为邻边作平行四边形OACB,则对角线OC就是a与b的和，这种作两个向量的和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则，即OC=a+b. 法则特点：两个已知向量的起点相同。 向量加法三角形法则： 特点：首尾相接，首尾连。 向量加法平行四边形法则： 特点：起点相同，连对角。 新知探究（三）：平面向量的加法运算律 数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算。类似地，向量的加法又有哪些运算律呢 如图，设AB=a, AD=b.以AB, AD为邻边作口ABCD,则BC=b, DC=a.因为AC=AB+BC=a+b, AC=AD+DC=b+a, 所以a+b=b+a. 如图，设OA=a, AB=b, BC=c. 因为(a+b)+c=(OA+AB)+BC =OB+BC=OC, a+(b+c)=OA+(AB+BC) =OA+AC=OC， 所以(a+b)+c=a+(b+c). 向量的加法满足交换律和结合律: (1)加法交换律:a+b=b+a对任意两个向量a, b成立。(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)对任意三个向量a, b, c成立。 练一练： 用向量的方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 注意：如图,要证四边形ABCD是平行四边形，只要证明AD∥BC,即证AB=BC即可. 如图,设O为四边形两条对角线的交点, 则OA=OC,OB=OD,即AO=OC,BO=OD. ∴AD=AO+OD =OC+BO =BO+OC =BC 又∵A,D,B,C不在同一直线上， ∴四边形ABCD是平行四边形. 注意：用向量方法解决平面几何问题，首先应用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题，再利用向量平行相等或向量运算转化为几何关系(如线段长度、位置关系中的平行、垂直)来解决。
典型例题 典型例题 1、下列等式中不正确的是( D ) AB+BC=AC a+b=b+a a+b+c=b+(a+c) AB+CD=AD 2、在平行四边形ABCD中,AB+CA+BB=( B ) BC B. CD C. BA D. AB 3、设a表示“向北走10km”,b表示“向西走10km”,c表示“向东北走20km”,则a+b+c表示向( D ) A.西北走10km B.北走10km C.北偏西走10km D.北偏东走10km 4、若AB,BC是模不为0的两个向量，且AB+BC=AC,则( B ) A.线段AB,BC,AC-定构成一个三角形 B.线段AB,BC-定共线 C.AC的模不可能为零 D.以上均不对 拓展提高 在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上取点F,E,使BE=DF(如图),用向量方法证明:四边形AECF也是平行四边形。 FD=BE且F,D,B,E四点共线, FD=BE.FD+DB=BE+DB, FB=DE. 四边形ABCD为平行四边形, AD=BC且AD//BC,AD=BC. 在△FBC中,FC=FB+BC=DE+AD=AE, FC=AE且FC//AE, 四边形AECF也是平行四边形. 学生和教师共同探究完成4个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 平面向量的三角形法则； 平面向量的平行四边形法则； 平面向量的加法运算律。

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