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《向量的加法》教案
课题 1.2.2向量的加法 单元 第一单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用路程的相关情境将平面向量具体化； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握平面向量的相关知识，为空间向量的学习打好基础的同时，也能学习利用向量解决实际问题。 4.直观想象：通过有向线段直观判断平面向量减法的法则以及零向量的加法法则； 5.数学运算:能够正确运算平面向量的减法法则； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：零向量的加法法则；平面向量的减法。 难点：平面向量的减法。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 在A点的小狗，跑了10米到B点吃香肠，又再从B点跑了10米到A点回家，请问：小狗的位移是多少？
新知探究 新知探究（一）：零向量的加法性质 (1)已知任意向量a,求a+0与0+a； (2)若两个向量a，b满足a+b=0,试探究a, b之间的关系。 解作OA=a. 由AA=0 得a+0=OA+AA=OA=a. 由OO=0 得0+a=OO+OA=OA=a. 解作OA=a. （2）再作AB=b， 则OA+AB=OB,即a+b=OB。 又a+b=0,则OB=OO,于是点B与点O重合。 因此b=AB=AO,与a=OA长度相等，方向相反， 即a与b互为相反向量。 例题的结论可以作为定理来使用： 任意向量与零向量相加后保持不变，等于这个向量本身，即a+0=0+a=a. 如果两个向量之和为0，即a+b=0,则a与b大小相等，方向相反，即b是a的相反向量，记作b=-a. 当然a也是b的相反向量，因此a=-b=-(-a). 练一练： 如图,平面上有任意四点A,B,C,D.若AD=BC.运用向量的加法证明AB=DC. DC=DA+AB+BC =DA+BC+AB =DA+AB+AB =0+AB =AB. 新知探究（二）：平面的减法 探究一：向量是否有减法？ 有 探究二：我们如何理解向量的减法？ 我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数， 如：5-1=5+(-1)。 探究三：向量的减法是否也有类似的法则：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？ 如图,OA, OB, AB是△OAB的三边，则OA+AB=OB. 因此，AB=OB-OA=b-a. 也可以由OA，OB经过加法得AB: AB=AO+OB =(-OA)+OB =(-a)+b. 减去一个向量a,等于加上它的相反向量-a,即b-a=b+(-a). 如图，任取一定点O,从O分别观测A, B两点的方向和距离，则点A, B的位置由点O分别到A，B的两个向量OA, OB唯一表示。OA, OB分别称为点A，B的位置向量，也即分别代表了A, B两点的位置，因而等式AB=OB-OA的物理意义就是: 位置的改变量=终点位置-起点位置。 因此，向量AB等于终点向量OB减起点向量OA。 练一练： 1、1.化简下列各式： (1)(AB-CD)-(AC-BD); (2)AB+DA+BD-BC-CA. 分析本题可以运用相反向量相关概念及向量运算律，也可用向量减法的运算及向量减法的几何意义进行化简. 解(1) 法1:原式=(AB+BD)-(AC+CD) =AB-AD=0. 法2:原式=(AB-AC)-(CD-BD) =CB-(DB-DC) =CB-CB=0. 法3:在平面内取一基准点O,则 原式=(OB-OA)-(OD-OC)-[(OC-OA)-(OD-OB)] =OB-OA-OD+OC-OC+OA+OD-OB=0. (2)原式=(AB+BD)+DA-BC-CA =AD+DA-BC-CA =-(BC+CA) =-BA =AB （1）要充分利用向量加法的交换律和结合律，注意“首尾相连的两个向量结合在一起” 在化解中的作用。 （2）向量减法遵循口诀：“作平移，共起点，两尾连，指被减”。 2、在如图所示的五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB=a，AC=b，AE=c，试用a,b,c表示向量BD,BC,BE,CD及CE. 抓住结论中要表示的向量对应的三角形或平行四边形，运用向量加减法的定义和三角形法则进行计算。 解: 四边形ACDE是平行四边形， 又AC=b,AE=c, AD=AC+AE=b+c,CD=AE=c. 由三角形法则得BD=AD-AB=b+c-a, BC=AC-AB=b-a, BE=AE-AB=c-a, CE=AE-AC=c-b.
典型例题 典型例题 1、下列等式中不正确的是（ D ）. A.a+0=a B.a+b=a-(-b) C.AC+CA=0 D.AB-CB=CA 2、如图,四边形ABCD中，设AB=a,AD=b,BC=c,则DC=( A ). A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 3、向量a,b都是非零向量，下列说法中错误的是( C ). A.向量a与b同向，则a+b与a的方向相同 B.向量a与b同向，则a+b与b的方向相同 e.向量a与b反向，则a+b与a的方向一定相同 D.向量a与b反向，则a-b与a的方向一定相同 4、给出下列结论: ①若a,b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等; ②若AB+BC+CA=0,则点A,B,C为三角形的三个顶点; ③在平行四边形ABCD中，|AB+ADI=|AB-ADI,则四边形ABCD是矩形; ④AB+BC+CD-BD+BE-FE-AF=0. 其中正确结论的个数是（ C ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 拓展提高 1、如图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心. (1)在已标出的向量中写出OD,OE的相反向量; (2)设AF=a,EF=b,求DC,DE,BD. 解： (1)OD的相反向量是EF，CB, OA; OE的相反向量是DC，OB; (2)DC=-a, DE=OF=OA+AF=EF+AF=a+b, BD=AE=AF+FE=a-b. 2、在静水中划船的速度为40m/min,水流的速度是20 m/min,如果船从岸边A处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸，那么船的行进方向应指向何处 如图,用AB表示水流速度,AD表示船速,AC表示实际船行速度,则有AC=AD+AB. AD=40,|AB|=20,BC|=40, BCA=30°, BAD=120°. 答:船的行进方向应指向与水流方向成120°角的方向。 学生和教师共同探究完成4个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 零向量的加法性质； 向量的减法。

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