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《向量的数乘》教案
课题 1.3.2向量的数乘 单元 第一单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用日常实例将平面向量具体化； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握平面向量的相关知识，为空间向量的学习打好基础的同时，也能学习利用向量解决实际问题。 4.直观想象：通过有向线段直观解决共线向量的运算问题； 5.数学运算:能够正确运算共线向量以及数乘运算律； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：共线向量的运算；数乘运算律。 难点：共线向量的运算。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 在一条笔直的马路上，张明从家(点O)出发，往东走100m到公交站(点A)乘车，乘车往西行1.2 km到达另一公交站(点B)，下车后往东走200 m到达学校。不乘公交车，张明从家走到学校应往什么方向走 走多远
新知探究 新知探究（一）：共线向量的运算 以往东为正方向，1m为单位长度，则张明每次移动的效果可分别用实数100，-1200，200表示. 由于100+(-1200)+200=-900，① 因此，不乘公交车，张明从家走到学校应往西走，并走900m. 我们把长度为1的向量称为单位向量。它的长度等于单位长度。对于任一非零向量a, 都可得到与它方向相同的唯一单位向量e=. 在上例中，若记方向往东、长度为1m的向量为单位向量e,则三个位移向量OA, AB, BC分别为100e, -1200e, 200e, 且三次行走的总效果OC=-900e.于是，三个位移向量OA, AB, BC相加的结果等于OC，也就是说 100e+(-1200e) +200e=-900e. ② 对比①②，可以发现，正负数的加法可看作是计算这些正负数代表的向量的和。 一般地，在一条直线上任取单位向量e,则直线上任何向量a都可写成a=ae,其中实数a的绝对值|a|代表向量a的模，a的正负代表a与e的方向相同或相反.反过来，任意给定一个实数a, 我们总能作一个向量a=ae， 使它的长度等于这个实数a的绝对值，方向与实数a的符号一致。 于是，实数与共线向量之间可以建立起一一对应关系。 也就是说， 我们可用数值来表示向量，这将为平面向量的数量化奠定基础。 练一练： 在给定直线上任取一点O作为原点，其表示实数0.取单位向量OE.则点E表示1，如图所示。求A,B之间的位移。 在数轴上，任意一点A对应的实数a由OA=ae决定，所表示的实际上是原点O到点A的位移向量OA.因而代表数轴上任意两点A, B之间的位移向量AB=OB-OA=be-ae=(b-a)e中的实数b-a就等于分别代表B, A的实数b, a之差。 进一步，我们可以推出由实数a, b代表的共线向量的加、减、数乘运算法则aebe= (ab)e, a(be)=(ab)e. 新知探究（二）：数乘运算律 一般地，设a, b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立: 对实数加法的分配律:(x+y)a=xa+ya. (2)对实数乘法的结合律:x(ya)=(xy)a. (3)对向量加法的分配律:x(a+b)=xa+xb. 练一练： 化简： （1）; （2）设向量a=3+2,b=2-,求. 分析： （1）利用实数与向量的运算律进行展开合并化简。 （2）先化简所求式子，再将a.b代入化简。 （1） 解：原式= = = = （2）设向量a=3+2,b=2-,求. 解：原式= =- =-(3+2)+(2-) =+ =-. 在解决向量的数乘问题时，要注意以下几点： (1)利用实数与向量的积的运算律可以化简有关向量式，其化简方法与代数式的化简有些类似，但应注意这里的结果是一个向量。 (2)已知某些向量，要化简与之有关的向量式，其解题方法可类似初中“求代数式的值”的方法，即先化简待求向量式，再代入求值已达到简化运算的目的。
典型例题 典型例题 1、若3x-2(x-a)=0,则向量x等于( B )。 A.2a B.-2a C.a D.-a 2、 若O为平行四边形ABCD的中心,AB=2,BC=3,则-等于( D )。 A.AO B.BD C.CO D.BO 3、已知O.A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C满足2AC+CB=0，则OC等于（ A ）。 A.2OA-OB B.-OA+2OB C.OA-OB D.-OA+OB 4、O是△ABC内的一点，若OA+OB+0C=0,则0是△ABC的( A )。 A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 拓展提高 1、如图所示，△ABC的重心为点G,O为△ABC外一点，OA=a,OB=b,OC=c,试用a.b.c表示OG. 令AG交BC于M点. 易知AB=b-a,AC=c-a,BC=c-b. AM=AB+BC =b-a+(c-b) AG=AM=(c+b-2a) OG=OA+AG=a+(c+b-2a) =(a+b+c) 2、已知点I为△ABC的内心，当AB=AC=5,BC=6时,AI=xAB+yBC,求x,y的值。 如图: AB=AC. D为BC的中点， AD=AB+BD=AB+BC. BI是∠ABD的平分线, =. |AI|=|ID|, |AI|=|AD| AI=(AB+BC) =AB+BC x=,y=. 学生和教师共同探究完成4个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 共线向量的运算； 数乘运算律。

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