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《向量的数乘》教案
课题 1.3.1向量的数乘 单元 第一单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用直线将平面向量具体化； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握平面向量的相关知识，为空间向量的学习打好基础的同时，也能学习利用向量解决实际问题。 4.直观想象：通过有向线段直观判断平面向量的实数倍； 5.数学运算:能够正确运算平面向量的实数倍以及共线向量； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：向量的实数倍；共线向量。 难点：共线向量。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 我们可用一把尺子去度量所有线段的长度，也就是把每条线段的长度写成这把尺子的非负实数倍。思考一下：如果把某个向量看作一把尺子，能用这把向量尺子去度量平面上的所有向量吗？
新知探究 新知探究（一）：向量的实数倍 已知=a, 在OA的延长线上作=a，如图， 则OB=OA+AB=a+a. 于是，很自然地将OB=a+a定义为a的2倍，记作2a. 你能发现什么？ OB与OA的方向相同，即|2a|=2|a|. 我们还可在图中作OB的相反向量OC,则OC=-OB=-2a，同样可将OC=-2a定义为a的-2倍，记作-2a. 类比上述结论，你发现了什么？ OC与OB的方向相反，即|-2a|=2|a|. 一般地，实数λ与向量a的乘积是个向量，记作λa.称为a的λ倍，它的长度|λa|=|λ||a|. 当λ≠0且a≠0时，λa的方向 当λ>0时，与a同向， 当λ<0时，与a反向; 当λ=0或a=0时，λa=0a=0或λa=λ0=0. 求向量的实数倍的运算称为向量的数乘。 向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小。 我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算。向量线性运算的结果仍是一个向量。 练一练： 如图，在△OAB中，M、N分别是0A、0B的中点.设M0=a,ON=b,试用a, b表示MN,AB.并比较MN与AB的长度和方向。 解: MN=MO+ON=a+b. AB=AO+OB=2a+2b=(a+a)+(b+b) =(a+b)+(a+b) =2MN. 故AB与MN方向相同，且IAB|=2|MNI. 新知探究（二）：共线向量 已知OA=a, 在直线OA外任取一点O ，从点O 出发作O B=3a，O C=-3a. 观察上图，你有什么发现？ 向量a与λa(λ∈R)可分別用同一条直线 上的有向线段表示，也可分别用相互 平行的有向线段表示。 由此我们可以得出： 一般地，如果非零向量a, b方向相同或相反，则可以将它们用同一条直线上的有向线段或相互平行的有向线段表示。 因此，当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a, b共线，也称a，b平行，并且用符号“//”来表示它们共线(或平行)，记作a//b. 由于零向量的方向是任意的，可以看成与任何一个向量方向相同，因此我们规定:零向量与所有的向量平行。 由向量平行和向量数乘的定义可以推知: 两个向量是否共线，也可从它们的夹角来判断: 如图，设a,b是两个非零向量，任选一点O,作OA=a,OB=b,则射线OA, OB所夹的最小非负角∠AOB=θ称为向量a,b的夹角，记作，取格范围规定为[0,π]。在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了， 并有=. 当θ=0时，a, b方向相同; 当θ=π时，a, b方向相反. 这两种情形下a, b所在直线重合，即a, b共线. 当0<0<π时,a, b所在直线相交于点O,即a,b不共线。 可以规定零向量0与a的夹角为0，零向量与任一向量平行，也可以规定0与a的夹角为，零向量与任一向量垂直。 练一练： 1、对非零向量a,b,“a+b=0”是“a//b”的（ A ）。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 由a+b=0得a=-b,故a//b， 但a//b不一定得a+b=0,故选A。 2、已知△ABC中，点D.E.F分别是BC.CA.AB的中点，点G是△ABC的重心. (1)求GA+GB+GC; (2)求证:AD+BE+CF=0. 分析：(1)以GB,GC的为长为边作平行四边形，可得GA=-2GD=-GH. (2)由D,E,F为中点，可得2AD=AC+AB,2BE=BA+BC,2CF=CA+CB,三式相加即可证得。 解： （1）以GB.CC为边作平行四边形GBHC， 则GA=2GD.且GH=GB+GC. 又G为△ABC的重心,AG=2GD, AG=GH. AG=GB+GC, GA+GB+GC=0. (2)由AD=AC+CD,AD=AB+BD, 相加得2AD=(AC+AB)+(CD+BD). 又D是BC中点，CD+BD=0, 2AD=AC+AB. 同理2BE=BC+BA. 2CF=CA+CB. 上述三式相加得: 2AD+2BE+2CF=(AC+CA)+(AB+BA)+(BC+CB)=0. AD+BE+CF=0. (1)若O是△ABC内一点，则OA+OB+OC=0是点O为△ABC重心的充要条件，它的解题方法是平行四边形法则。 (2)在△ABC中,D中BC中点,有AB=AB+AC,这个结论非常重要，可以直接使用。 定理的应用： 1.证明：向量共线 2.证明：三点共线 AB=λBC A,B,C三点共线 且有公共点B 3.证明：两直线平行 AB=λCD AB//CD 直线AB//直线CD AB与CD不在同一条直线上
典型例题 典型例题 1、四边形ABCD中，若AB=DC,则四边形ABCD是（ B ）。 A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 2、下列说法正确的是( D )。 AB与CD其线，则点A,B,C,D必在同一直线上 a//b,b//c,则a//c |3a|>|a| 2a//a 3、在△ABC中,AB=a,BC=b,D是线段BC靠C点的一个三等分点，则AD等于（ D ）。 A. B. C. D. 4、给出下列结论: ①若a=b,则a//b; ②若a≠b,则a与b不是共线向量; ③方向相同的向量叫平行向量; ④方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量. 其中正确结论的个数是( B )。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 拓展提高 如图所示，在△ABC中,AD=AB,DE//BC,与边AC交于点E,△ABC的中线AM与DE交于点F,设AB=a,AC=b,试用a,b表示向量CE,DF,AF. 解： AD=AB,DE//BC,AC=b, AE=AC=b, EC=b,CE=-b, BC=AC-AB=b-a, DE=BC=b-a, M是BC的中点,F是DE的中点. DF=DE== 易知：AM= AF=AM= 学生和教师共同探究完成4个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 向量的实数倍； 共线向量。

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