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《向量线性运算的坐标表示》教案
课题 1.4.2向量线性运算的坐标表示 单元 第一单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用平面直角坐标系将平面向量进行分解并用坐标表示； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握平面向量的相关知识，为空间向量的学习打好基础的同时，也能学习利用向量解决实际问题。 4.直观想象：通过平面直角坐标系直观表达出平面向量的坐标； 5.数学运算:能够运算平面向量的和、差、数乘等线性运算； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：向量线性运算的坐标表示。 难点：向量线性运算的坐标表示。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 上节课我们学习了用坐标表示向量，那向量的和、差、数乘等线性运算又如何用坐标来表示呢？
新知探究 新知探究（一）：向量线性运算的坐标表示 如图，设{i,j}是一组标准正交基，向量OP,OQ在基{i,j}下的坐标分别是(),()，则OP+OQ、OP-OQ、 以及λOP的坐标分别如何表示？ OP+OQ=()+() =(j)+(j) =(i)+(j) =()i+()j 所以OP+OQ的坐标为(,). OP-OQ=()-() =(j)-(j) =(i)+(j) =()i+()j 所以OP-OQ的坐标为(,) 又λOP=λ() =λ(j) =(λ)i+()j 故λOP的坐标为(λ). 由上可知， OP+OQ=()+()=(,)； OP-OQ=()-()=(,)； λOP=λ()=(λ). 两个向量a=()，b=()的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或差)，即 ab=()()=(, ). 一个实数λ与向量a=(x, y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标，即λa=λ(x, y)=(λx,λy). 由于PQ=OQ-OP=()+()j 因此PQ的坐标为(,). 在平面直角坐标系中，向量PQ的坐标等于终点Q的坐标()减去起点P的坐标()，即 PQ=(,). 练一练： 如图，已知()，()，P是直线上一点，且P=λP(λ∈R,且λ≠1)，求点P的坐标。 解： 由题意可知，OP=O+P, ① OP=O-P. ② ①+λ×②得 (1+λ)OP=O+P+λO-λP. 又已知P=λP 所以(1+λ)OP=O+λO, 从而OP= = =(, ) 因此，点P的坐标为(,). 特别地，当λ=1时得到线段的 中点坐标公式(, ). 向量AB=()，CD=()平行(也就是共线)，可以直接用()//()来表示.这意味着其中一个坐标是另一个坐标的实数倍，因此成立。即 ()//() =0.
随堂练习 典型例题 1、已知A.B.C三点共线，且A(3,-6),B(-5,2),若点C的横坐标为6,则点C的纵坐标为（ D ）。 A.-13 B.9 C.13 D.-9 2、 设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2)，若表示向量4a,4b- 2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为（ D ）。 A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 3、已知平行四边形的3个顶点分别是(4,2),(5,7),(-3,4),则第4个顶点的坐标不可能为( D )。 A.(12,5) B.(-2,9) C.(-4,-1) D.(3,7) 4、平面直角坐标系中,O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足OC=λOA+OB,其中λ,∈R且λ+μ=1,则x,y满足的关系式为( C )。 A.3x+2y-11=0 B.2x-y+1=0 C.x+2y-5=0 D.x-y=0 拓展提高 已知△ABC的三个顶点A(3,1),B(x,-1),C(2,y)及重心G(,1),D,E分别为AB,BC的中点。 (1)求向量DE的坐标； (2)若点F(-4,7),以AB,AC为一组基底来表示AF+BF+CF. 解： （1）由重点坐标公式可得 即B(0,-1),C(2,3). 由中点坐标公式可得D(,0)和E(1,1). DE=(-,1). （2）AB=(-3,-2),AC=(-1,2),AF+BF+CF=(-17,18) 设AF+BF+CF=λAB+AC, 则(-17,18)=λ(-3,-2)+(-1,2) λ=2,=11. AF+BF+CF=2AB+11AC. 学生和教师共同探究完成4个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 ab=()()=(, )； λa=λ(x, y)=(λx,λy)。

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