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《向量的分解与坐标表示》教案
课题 1.4.1向量的分解与坐标表示 单元 第一单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用平面直角坐标系将平面向量进行分解； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握平面向量的相关知识，为空间向量的学习打好基础的同时，也能学习利用向量解决实际问题。 4.直观想象：通过平面直角坐标系直观表达出平面向量的正交分解以及坐标表示； 5.数学运算:能够正确推理出平面向量的基本定理； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：平面向量基本定理；平面向量的正交分解与坐标表示。 难点：平面向量的正交分解与坐标表示。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 如图，光滑斜面上有一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受到平行于斜面的力的作用 ，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力，也就是说，重力G的效果等价于和的合力的效果。
新知探究 新知探究（一）：平面向量基本定理 思考一下： 平面内任意向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？ 如图,以O为起点作O=，O=. 过平面上任意一点P作MP与直线O平行或共线,则MP不与O平行或共线(否则O与O就会共线)，因此MP与直线O交于一点，则O=x,=y. 于是，OP=O+=x+y. 这说明对平面上任一个向量OP，均可分解为两个不共线向量的实数倍之和。 上式中的系数x,y唯一确定吗？为什么？ 证明：假设实数x ,y 满足 OP=x +y 若x ≠x,则=, 这说明与共线，与已知矛盾，因此x =x. 同理y =y. 由此可得平面向量基本定理： 设, 是平面上两个不共线向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为, 的实数倍之和，即v=x+y,其中x,y是实数。 (2)实数x,y由v=x+y唯一决定。也就是: 如果v=x+y=x +y .则x =x, y =y. 我们称不共线向量, 组成平面上的一组基{, }，分解式v=x+y中的系数x,y组成的有序数组(x,y)，称为v在这组基下的坐标。 取定了平面上一组基{, }之后，可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标来表示，记为v=(x,y)。 练一练： 如图，,是夹角为120°的两个单位向量，|OA|=2，且=30°，=90°。求OA在基{,}下的坐标。 如图，作平行四边形OBAC.则0A=OB+OC 因为∠OAC=∠AOB= 30°，|OA|=2， 所以，在Rt△OAC中，|0C|=2.|CA|=4. 所以|0B|=|CA|=4.即0A=4+2. 因此OA在基{,}下的坐标为(4,2). 新知探究（二）：平面向量的正交分解与坐标表示 思考： 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？ 在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。 如图，设O(0，0)，(1, 0)， (0,1)，P(x, y)是平面直角坐标系中的4个点，且=O， =O.求OP在基{,}下的坐标。 解：=O, =O分别是x轴和y轴上的单位向量，并且相互垂直，因此不共线， 则,组成平面上的一组基。 在x轴上取与P(x,y)横坐标相同的 点(x,0)，则P与y轴平行或共线; 在y轴上取与P(x,y)纵坐标相同的 点(0,y)，则P与x轴平行或共线. 因此，OP=O+O, 由, 的坐标可知O=x, O=y. 因此OP=x+y,即OP在 基{,}下的坐标为(x,y)。 平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基，记作{i，j}.显然i=(1,0)，j=(0,1). 建立平面直角坐标系，若平面向量v的坐标是(x, y)，我们视其为v在x轴、y轴正方向上的单位向量,组成的基下的坐标，即v=x+y=OP,其中点P的坐标为(x，y).这就叫做向量的坐标表示。 反过来，在平面上任取一组标准正交基{,}， 取定一个原点O，作O=，O=，以有向直线O为x轴，O为y轴，|O|=|O|为单位长度，建立平面直角坐标系，则任意一点P的坐标(x，y)就是向量OP=x+y在基{,}下的坐标。 练一练： 设{,}为平面内的一组标准正交基，已知AB=3-2，BC= 4，CD=8-9。若AD=4a，求a在基{,}下的坐标。 解： 因为AD=AB+BC+CD =(3-2)+(4)+(8-9) =15-10, 又AD=4a, 所以a=-. 因此a在基{,}下的坐标为(,-).
随堂练习 典型例题 1、下列说法是否正确？ 在平面内只有一对基底。错 在平面内有无数对基底。对 零向量不可作为基底。对 平面内不共线是任意一对向量，都可作为基底。对 2、设向量AB=(1,4),且点A的坐标为(2,2)。则点B的坐标为( C )。 A.(1,1) B.(1,-2) C.(3,6) D.(2,4) 3、若=(3,0), =(0,-1),a=-,b=(x-1,y),且a=b,则实数x+y的值为( A )。 A.5 B.1 C.-1 D.4 拓展提高 在平行四边形ABCD中，AE=AB，AF=AD，CE与BF相交于G点。若AB=a，AD=b，则AG等于多少？ 解： B、G、F三点共线， AG=λAF+(1-λ)AB =λb+(1-λ)a. E、G、C三点共线， AG=μAE+(1-μ)AC =μa+(1-μ)(a+b). 由平面向量基本定理得, . AG=a+b. 学生和教师共同探究完成4个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 平面向量基本定理； 平面向量的正交分解与坐标表示。

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