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《数量积的定义及计算》教案
课题 1.5.2数量积的定义及计算 单元 第一单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用小车的相关情境将平面向量具体化； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握平面向量的相关知识，为空间向量的学习打好基础的同时，也能学习利用向量解决实际问题。 4.直观想象：通过有向线段直观感知数量积的坐标表示； 5.数学运算:能够正确运算数量积的坐标表示及其计算应用； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：数量积的坐标表示；计算公式。 难点：数量积的坐标表示。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 上一节我们学面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，向量的坐标表示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？
新知探究 新知探究（一）：数量积的坐标表示 向量的坐标是向量分解式中的系数。根据数量积的运算律，很容易由向量坐标算出数量积。 设是相互垂直的单位向量，组成平面上的一组基，则 ·=·=1, ·=0. 设向量a,b在这组基下的坐标分别为(,), (,)，则 a·b=(+)·(+) =(·)+(·)+(·)+(·) =+. 于是可得两个向量a=(,)，b=(,)的数量积的坐标表达式为 a·b=()·()=+. 向量的长度： 向量a=(x,y)与自身的夹角为0，因此 a·a=|a||a|cos0=|a|2. 于是得到计算向量a=(x,y)的模（即长度）的公式为 |a|==. 夹角余弦值： 根据两个非零向量a=(,), b=(,)数量积的定义，得到计算两向量夹角余弦值的公式为 cos= 新知探究（二）：计算公式 垂直条件： 已知向量a=(,), b=(,)，则 a⊥ba·b=0==0. 两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一。 练一练： 已知a=(3,1),b=(-,k),求k为何值时： （1）a//b; （2）a⊥b; （3）a与b的夹角为钝角。 解: （1）因为a//b, 所以3k-1×(-)=0, 解得k=-. （2）因为a⊥b, 所以3×(-)+1×k=0, 解得k=. （3）因为< <,所以 cos <0, 则由向量夹角余弦公式可得 3×(-)+1×k=-+k<0, 解得k<. 由（1）知，k=-时，a//b，即a,b共线，此时= 所以k<且k≠-a,b的夹角为钝角。
典型例题 典型例题 1、已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则AB·AC等于（A ）。 A.0 B.2 C.-1 D.1 2、 若a+b=(5,16)，a-b=(-5,-8)，则cos=( B )。 A. B. C.- D. 3、已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+λb与向量-b互相垂直，则实数λ的值为（ A ）。 A.- B. C.2 D. 4、已知向量a=(4,2),则与a垂直的单位向量的坐标是 ________()或() ______________。 拓展提高 设a=(m+1,-3),b=(1,m-1)。 （1）若(a+b)⊥(a-b)，求实数m的值； （2）若(2a+b)⊥(a-2b)，求|b|。 解： （1）a+b=(m+2,m-4), a-b=(m,-m-2). 又(a+b)·(a-b)=0, (m+2)·m+(m-4)·(-m-2)=0, 解得m=-2. （2） 2a+b=(2m+3,m-7), a-2b=(m-1,-2m-1). 又(2a+b)·(a-2b)=0, (2m+3)(m-1)+(m-7)(-2m-1)=0, m=-. 解得b=(1,-),|b|=. 学生和教师共同探究完成4个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 数量积的坐标表示； 计算公式。

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