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《数量积的定义及计算》教案
课题 1.5.1数量积的定义及计算 单元 第一单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用小车的相关情境将平面向量具体化； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握平面向量的相关知识，为空间向量的学习打好基础的同时，也能学习利用向量解决实际问题。 4.直观想象：通过有向线段直观感知数量积的定义及其运算律； 5.数学运算:能够正确运算数量积的运算律； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：数量积的背景；数量积的定义；投影；数量积的运算律。 难点：数量积的定义；投影。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 如图，一辆小车在拉力F的作用下产生了位移。若拉力的大小为F N.其方向与小车位移方向的夹角为.位移的大小为m。如何计算拉力F所做的功W
新知探究 新知探究（一）：数量积的物理背景 由于拉力F与小车位移s都是向量，则可用从同一点出发的两条有向线段表示。两条有向线段的夹角就是这两个向量F与s的夹角。有向线段的长度分别等于这两个向量的大小|F|=F, |s|=s。 由物理学我们知道 W=F·s=|F||s|cos. 新知探究（二）：数量积的定义 运用力F和位移s来计算功W的公式W=F·s=|F||s|cos,可以推广到任意两个向量。 设a,b是任意两个向量，是它们的夹角，则定义 a·b=|a||b|cos 为a与b的数量积。 由平面向量夹角的定义可知，=的取值范围为[0,π]. 由数量积的定义可知:a·b=0|a|=0或|b|=0或cos=0. （1）当a, b均不为0时，a·b=0cos=0=a⊥b. （2）当a=0或b=0时，由于零向量与任意向量垂直，因而仍有a⊥b. 因此，a·b=0a⊥b对所有情形均成立。 由数量积的定义进一步可得， 两个向量的数量积是一个实数， 这个实数可以是正数、负数或零。那它什么时候为正，什么时候为负？ 当0°≦<90°时，a·b为正； 当90°<≦180°时，a·b为负； 当=90°时，a·b为零。 注意： 一种新的运算 “·”不能忽略不写，也不能写成“×” a·b表示数量而不表示向量，与实数a,b不同，a+b,a-b表示向量 0·a=0 注意公式变形，知三求一 练一练： 已知|a|=12，|b|=9，a·b=-54.求a与b的夹角。 解： 由数量积的定义可知，a·b=|a||b|cos， 所以cos===-. 又cos=- 因此a与b的夹角为 新知探究（三）：投影 如图，作向量OA=a，OB=b，两个向量的夹角为，过点B作B⊥OA于点，则 OB=O+B, 其中O与OA共线。 我们把O称为OB在OA方向上的投影向量，投影向量的长度 |O|= |OB||cos|称为投影长。 设e是OA方向上的单位向量，则OA=|OA|e,O=|O|e. ①当<≤π时，即O与OA同向时， O=|O|e=(|O|cos)e. ②当<≤π时，即O与OA反向时， O=-|O|e=(|OB|cos)e. ③当=时，即O=0时， O=(|OB|cos)e. 在所有情况下都有O=(|OB|cos)e. |OB|cos刻画了投影向量的大小与方向，称为OB在OA方向上的投影。 OA·O=|OA|e·(|OB|cos)e =|OA|·|OB|cos =|OA|·|OB| 由于OA与O共线，于是|O|=. 一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b| cos的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos的乘积. 由此得到利用数量积计算b在a方向上的投影|b|cos的公式: |b|cos= 新知探究（四）：数量积的运算律 设a, b, c是任意向量，λ是任意实数，则如下运算律成立: （1）交换律：a·b=b·a （2）与数乘的结合律：a·(λb)=λ(a·b) （3）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c 练一练： 求证：菱形的两条对角线互相垂直。 证明：记a=AB,b=AD, 则对角线AC=a+b,DB=a-b. 因为AC·DB=(a+b)·(a-b) =a·a+b·a-a·b-b·b =|a|2-|b|2 =|AB|2-|AD|2 =0 所以AC⊥DB.
典型例题 典型例题 1、已知|a|=4,e为单位向量，当它们之间的夹角为时,a·e=( D )。 A. B. C.-2 D.2 2、在△ABC中,AB·BC>0，则△ABC是( C )。 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 3、已知a,b,c是三个非零向量，则下列结论中正确的个数为( B )。 ①|a·b|=|a|·|b|a//b; ②a,b反向a·b=-|a||b|; ③|a|=|c|||a·b|=|b·c|; ④a·(b+c)=b·a+a·c. A.1 B.2 C.3 D.4 4、已知a,b,c是三个非零向量，则下列结论中正确的个数为( C )。 ①|a·b|≦|a|·|b|; ②(a·b)·c=a·(b·c); ③(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2; ④a⊥b=|a+b|=|a-b|. A.1 B.2 C.3 D.4 拓展提高 1.设a与b的夹角为.若|a|=3,|b|=4,求下列条件下a与b的数量积: (1)=120°; (2)a⊥b; (3)a//b. 解： （1）a·b=3×4×cos120°=-6. （2）a·b=3×4×cos90°=0. （3）若a与b同向时，=0°,a·b=3×4×cos0°=12; 若a与b反向时，=180°,a·b=3×4×cos180°=-12。 2、已知|a|=4,|b|=5,且(3a)·(b)=-6. （1）求a·a+a·b; （2）求a与b的夹角。 解： （1）∵(3a)·(b)=-6. ∴a·b=-10. ∴a·a+a·b=|a|2-10=42-10=6. （2）cos===-, 又的范围为[0,π］ ∴=π. 学生和教师共同探究完成4个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 数量积的背景； 数量积的定义； 投影； 数量积的运算律

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