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《解三角形》教案
课题 1.6解三角形 单元 第一单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用三角形将平面向量具体化； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握平面向量的相关知识，为空间向量的学习打好基础的同时，也能学习利用向量解决实际问题。 4.直观想象：通过平面向量来解决三角形； 5.数学运算:能够正确运算三角形的正弦定理、余弦定理； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：余弦定理；正弦定理；解三角形应用举例。 难点：余弦定理；正弦定理。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 之前，我们借助锐角三角函数的有关知识解决了一些有关直角三角形的问题。在实际生活中，我们往往更多遇到的是有关斜三角形的问题，那么如何求解呢 三条边和三个内角是三角形最基本的六个元素，通常只要知道了三个元素(其中至少包括条边)就可以求出其余三个未知元素.这种从已知三角形的某些元素出发求这个三角形其他元素的过程叫作解三角形。
新知探究 新知探究（一）：余弦定理 我们知道，由边角边定理可证明两个三角形全等，也就是由两边及其夹角即可完全确定一个三角形。三角形确定后，若夹角为直角，则由勾股定理可求第三边的长，若夹角不为直角，如何求第三边呢 如图，已知△ABC的两边CB=a, CA=b以及两边夹角∠C,记a=CB, b=CA,则 AB=CB-CA =a-b. 因而AB2=|AB|2 =|a-b|2 =(a-b) ·(a-b) =a·a-2a·b+b·b =a2-2abcosC+b2 ① 令AB=c,则 AB= 将①式中的角C依次换成另外两个角后，同理可得如下两个等式： =+c2 ② =+c2 ③ 于是得到以下定理： 余弦定理：三角形中任何一 边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 =+c2 =+c2 =a2+b2-2abcosC 当∠C是直角时，向量等式|a-b|2=|a|2+|b|2-2|a||b|cosC中的a·b=0，等式变为|a-b|2=|a|2+|b|2，这就是勾股定理。由此可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广。 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是一个解决三角形问题的重要工具。在实际应用中，有时可将余弦定理写成下面的形式: cosA=, cosB=, cosC=, 利用上述公式就可由三角形是三条边计算出三角形的三个内角。 练一练 在△ABC中，已知a=，b=1+，∠C=45°，求c和∠A. 解： 由余弦定理得 =a2+b2-2abcosC =()2+(1+)2-2 (1+)× =4， 所以c=2. 再由余弦定理可得cosA= ==. 因为∠A是三角形的内角，所以∠A=60°. 新知探究（二）：正弦定理 在解三角形时，我们有时还要探讨任意三角形的三条边与对应角的正弦之间关系。 设a. b. c分别为△ABC的内角∠A，∠B,∠C的对边。 若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，如图，则根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinA=, sinB=,由此得到c==. 又sinC=1，从而我们有下述结论: == 若△ABC为锐角三角形，如图，设CD为AB边上的高，则 CD=bsinA. 于是，△ABC的面积S=AB·CD=bcsinA. 同理可得 S=acsinB,S=absin∠ACB. 因此 bcsinA=acsinB=absin∠ACB 即 == 若△ABC为钝角三角形，也可类似得到上述结论。 综上可得到以下定理： 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。 即 == 练一练： 在△ABC中，分别求下列条件下的∠C和c. a=5,b=5,∠A=30°; a=5，b=,∠A=45°. 解： （1）由正弦定理得=, 即= 所以∠B=60°或∠B=120°. 当∠B=60°时，∠C=90°, 所以c=90°·=10. 当∠B=120°时，∠C=30°, 所以c=a=5. 解： （2）由正弦定理得=·=, 所以∠B=30°或∠B=150°. 又∠A=45°,a>b, 所以∠B<45°. 由此得到∠B=30°，∠C=105°, 当∠B=60°时，∠C=90°, 因此c=°·=. 由例题可以发现，已知两边a,b和其中一边的对角∠A解三角形时，会出现两种解的情况，还会出现其他情况吗 为半径画弧，则此弧与除去顶点A的射线，以边长a我们以点C为圆心，共点个数即为三角形解的个数. 当∠A是锐角时，此时三角形解的个数有四种情况： 扩充的正弦定理：三角形各边与它所对角的正弦的比值为一个常数，这个常数等于该三角形外接圆的半径。即 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. 新知探究（三）：解三角形应用举例 如图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着南偏东40的方向航行，货轮在B点观测灯塔A在其南偏东70°的方向上，航行半小时到达C点，此时观测灯塔A在其北偏东65的方向上。求C点与灯塔A的距离。 在△ABC中，BC=40×= 20( km)，∠ABC=70°-40°=30°, ∠ACB=40°+65°=105°, 所以 ∠A=180°-(30°+105°)=45° 由正弦定理得 AC===10(km) 因此，C点与灯塔A的距离是10 km. 通过上述例子，我们发现，在运用解三角形的知识解决实际问题时，通常都应根据题意将实际问题转化为解三角形的问题，从中抽象出一个或几个三角形， 然后解这些三角形，得出所要求的量，经检验后得到实际问题的解。其基本步骤如图：
典型例题 典型例题 1、在△ABC中，sinA=sinB,则△ABC是( D ) . A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2、 在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是( B ). A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 3、在△ABC中，a=2bcosC,则这个三角形一定是( ). A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 拓展提高 设R是△ABC的外接圆的半径，S是△ABC的面积，求证: （1）S=; （2）S=2R2sinAsinBsinC. 解：（1）由扩充的正弦定理得sinC=, 所以S=absinC=. （2）由a=2RsinA,b=2RsinB,得 S=absinC=2R2sinAsinBsinC. 学生和教师共同探究完成3个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 余弦定理； 正弦定理； 解三角形应用举例。

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