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《简单的三角恒等变换》教案
课题 2.3简单的三角恒等变换 单元 第二单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用倍角公式推导出半角公式； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握三角函数的相关知识，为三角函数的学习打好基础的同时，也能学习利用三角函数解决实际问题。 4.直观想象：通过向量的数量积想象和差化积与积化和差公式； 5.数学运算:能够正确运算半角公式、和差化积与积化和差公式； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：半角公式；和差化积与积化和差公式。 难点：和差化积与积化和差公式。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换。前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换。 在学习新的公式之前，我们先来复习一下之前学过的公式： 和角公式： sin(+β)=sincosβ+cossinβ cos(+β)=coscosβ-sinsinβ tan(+β)= 差角公式： sin(-β)=sincosβ-cossinβ cos(-β)=coscosβ+sinsinβ tan(-β)= 倍角公式： sin2=2cossin cos2=cos2-sin2 tan2=
新知探究 新知探究（一）：半角公式 你能由cos计算出sin、cos、tan的值吗？ 由于=2×，可思考运用倍角公式来求的正弦、余弦、正切值。 记β=，则=2β. 由cos=cos2=1-2sin2,推出sin2=，即 sin2 =. 由cos=cos2=2cos2-1,推出cos2=，即 cos2=. 由tan=,得tan2=. 将以下三个等式的左右两端分别开平方， sin2 =. cos2=. tan2=. 得 sin=, ① cos=, ② tan=. ③ 上面推导出的公式①②③统称为半角公式，分别记为,,。 半角公式的符号需要根据角所在的象限来判断。 半角公式和倍角公式实质是对同一公式的不同变形。 练一练 当≠2kπ+π(k∈Z)时,求证： （1）sin=; （2）cos=; （3）tan=. 证明： 当≠2kπ+π(k∈Z)时,利用二倍角公式及cos2+sin2=1，可得 （1）sin=2cossin==; （2）cos=cos2-sin2==; （3）tan==. 角(≠2kπ+π(k∈Z)的所有三角函数值都可以用来表示，以上公式被称为“万能公式”。 新知探究（二）：和差化积与积化和差公式 在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式，这应如何转化 借鉴前面通过计算两个单位向量a=(cos,sin)，b=(cosβ,sinβ)的数量积得出差角余弦公式的思路，我们继续尝试用向量的方法来探讨如何将三角函数的和或差转化为积的形式。 方法一： 从坐标原点O出发作OA=(cos,sin),OB=(cosβ,sinβ),则OC=OA+OB=(cos+cosβ,sin+sinβ) OC=(rcos,rsin),其中r=|OC|, ∠xOC=.又因为四边形OACB是菱形， 所以OC是∠AOB的平分线，因而=+=。 故OC=(rcos,rsin). 又r=|OC| =2|OB|cos∠COB =2cos=2cos 所以OC=(2coscos,2cossin) 于是，根据平面向量基本定理可得 cos+cos=2coscos sin+sin=2cossin 这个公式是否对任意角,都成立？ 除了通过几何图形可以得到公式， 你还有其他方法吗？ 方法二： 我们用字母A,B来表示,.设 A=,B=. 则A+B=,A-B=. 于是cos+cos=cos(A+B)+cos(A-B) =cosAcosB-sinAsinB+cosAcosB+sinAsinB =2cosAcosB =2coscos cos-cos=cos(A+B)-cos(A-B) =cosAcosB-sinAsinB-cosAcosB-sinAsinB =-2sinAsinB =-2sinsin. 类似地可以证明： sin+sin=2cossin sin-sin=2cossin 将上述和差化积的公式称为和差化积公式。 练一练 求证: （1）coscos=[cos(+)+cos(-)]; （2）ss=-[cos(+)-cos(-)]. 证明： （1）将公式 cos(+β)=coscosβ-sinsinβ cos(-β)=coscosβ+sinsinβ 左右两边分别相加，得 cos(+)+cos(-)=2coscosβ. 将上式两边同除以2，得 coscos=[cos(+)+cos(-)]; （2）将公式 cos(+β)=coscosβ-sinsinβ cos(-β)=coscosβ+sinsinβ 左右两边分别相减，得 cos(+)-cos(-)=-2sinsinβ. 将上式两边同除以-2，得 ss=-[cos(+)-cos(-)]. 前面学习的和差化积公式，均是coscosβ以及sinsinβ的形式，现在我们来学习如何对sinx+ cosx这种形式进行三角恒等变换。 为了找到变换思路，我们先借助计算机画出函数y= sinx+cosx的部分图象，如图。 通过观察，可以发现图与正弦函数y=Asin(wx+)的图象很相似。于是，我们可以猜测:是否存在某个正数A和角φ，使得y= sinx+cosx可化为y=Asin(wx+)的形式，即能否找到某个正数A和角φ，使sinx+cosx=Asin(wx+)成立 由和角公式可得 Asin(x+)=A(sincos+cossin) =Acos·sin+Asin·cos 要使上式等于sinx+cosx，只需Acos=1和Asin=1同时成立，即 cos=且sin=. 又cos2+sin2=1, 所以()2+()2=1,解得A=. 故cos=sin=,从而取=即可达到要求。 可见y=sinx+cosx可化为y=sin(x+)。 推广到一般情况，要使asinx+bcosx=Asin(wx+)(ab≠0,且A>0)成立，则只需选取A,,使 由cos2+sin2=1,可得()2)2=1,解得A=. 因此，当=,=时， asinx+bcosx=sin(wx+)成立，其中0≦≦2π.
典型例题 典型例题 1、cos()cos()=( D ). A. B.- C. D. 2、 (cos-sin)(cossin)=( D ). A.- B.- C. D. 3、的值为（ C ）。 A. B. C. D. 拓展提高 用几种不同的乐器同时弹奏某一首乐曲时，我们有时能听到比用单一乐器弹奏时更美妙的声音，这实际上是几种声波合成后改变了单一声波的波形。假设某美妙声波的传播曲线可用函数y=cos(2x+)+2sin2x来描述，求该声波函数的周期、最大值和最小值。 解：由已知得y=cos(2x+)+2sin2x =cos2x-sin2x+2sin2x =sin(2x+) 因此，该函数的周期T==π，最大值和最小值分别为和-。 学生和教师共同探究完成3个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 半角公式； 和差化积与积化和差公式。

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