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《复数的四则运算》教案
课题 3.2复数的四则运算 单元 第三单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：了解数系的扩充过程，掌握所学数集间的关系； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握复数的相关知识，为复数的学习打好基础的同时，也能学习利用复数解决实际问题。 4.直观想象：了解复数的四则运算； 5.数学运算:能够正确运算复数的四则运算； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：复数的加减法；复数的乘法与乘方；复数的除法。 难点：复数的加减法；复数的乘法与乘方；复数的除法。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 建立了复数的概念以后，一个很重要的问题就是复数之间如何运算。 实数是怎样运算的呢？ 任意实数进行加减乘除运算（做除法时除数不为0）仍可得到实数。 因此，由实数集扩充得到的复数集里的各种运算应当和实数集里的运算是一致的。
新知探究 新知探究（一）：复数的加减法 复数的加法： 复数的加法按照以下规定的法则进行： 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，则它们的和是 ()+()=(a+c)+(b+d) 两个复数的和依然是一个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个复数虚部的和。 容易验证，复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数、、有 = ()+=+() 复数的减法： 复数的减法是加法的逆运算，即复数减去复数的差是指满足()+(x+yi)=()，记作()-().根据复数相等的定义得 c+x=a,d+y=b. x=a-c,y=b-d. 因此 ()- ()=(a-c)+(b-d) 两个复数的差依然是一个复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个复数虚部的差。 练一练 已知复数=1与=4，试求它们的和与差。 解： =(1)+(4) =(1+4)+(2-3) =5- =(1)-(4) =(1-4)+[2-(-3)] =-3+5 新知探究（二）：复数的乘法与乘方 复数的乘法： 复数的乘法规定为 ()()=(ac-bd)+(ac-bd) 乘法运算的结果可以用多项式的乘法运算得出： ()() =ac+bc+ad+bd =ac+bc+ad+(-1)bd =(ac-bd)+(ac-bd) 两个复数的乘积还是一个复数。 复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在运算过程中要把换成-1，并且把实部与虚部分别合并。 复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律，即对任何复数、、有 = ()=() ()=+ 复数的乘方： 复数的乘方运算是指几个相同复数相乘，在复数集中，实数集中的正整数指数幂运算律仍然成立，即对任何复数、、及正整数m,n有 特别地，我们规定 其中n∈Z. 练一练： 计算： （1）(1+2)(4-3); （2）; （3）; （4）. 解： （1）(1+2)(4-3) =1×4+1×(-3)+2×4+2×(-3) =4-3+8-6 =10+5 （2） = +2×1×+ =2 （3） = 2×1×+ =-2 （4） =[]500 = = =1= 新知探究（三）：复数的除法 我们已经会做复数的加、减、乘法，那么，对任意两个复数，(a,b,c,d∈R) ，当≠0时能否做除法求它们的商 为此，只要将商的分子、分母同乘以适当的非零复数，将分母化为实数即可。 注意到()()=. 当≠0时，实数c、d不同时为0，则。因此，将商的分子、分母同乘以就可将分母化为正实数，从而将商化为复数的标准形式。 = = =+ 因此，对于任意两个复数，(a,b,c,d∈R且≠0)，有 =+ 两个复数的商仍为复数。 练一练： 已知复数，，求及。 解： = = = = = = = = 一般地，称为z的倒数，若z≠0，则=.
典型例题 典型例题 1、已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=( A ) A.-2i B.2i C.-2 D.2 2、若a为实数，且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( B ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3、等于（ D ） A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 拓展提高 在复数范围内解以下方程： （1）； （2） 解： （1） 是方程的两个根，也就是-3的两个平方根。 即=. （2）原方程可化为.方程左边可分解因式： =. 因此，原方程可变形为=0 即=0或=0 若=0，则x=1; 若=0，则 于是方程在复数范围内有三个根，分别为1，，。 学生和教师共同探究完成3个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 复数的加减法； 复数的乘法与乘方； 复数的除法。

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