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《复数的几何表示》教案
课题 3.3复数的几何表示 单元 第三单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：了解复数的几何表示； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握复数的相关知识，为复数的学习打好基础的同时，也能学习利用复数解决实际问题。 4.直观想象：了解复数的几何表示； 5.数学运算:能够正确运算复数的模与共轭复数； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：复数的几何意义；复数的模与共轭复数；复数加减法的几何意义。 难点：复数的几何意义；复数的模与共轭复数。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 我们知道，每个实数a均与数轴上的点一一对应。若以数轴原点为起点，将方向为数轴的正方向、长度等于单位长度的向量记为e，则每个实数a都可用平行于数轴的向量OP=ae来表示，如图所示，这就是实数的几何意义。 类比实数的几何表示，复数有什么几何表示
新知探究 新知探究（一）：复数的几何意义 问题一： 设复数z=(a,b∈R)，以z的实部和虚部组成一个有序实数对(a,b)， 那么复数z与实数对(a,b)之间是一个怎样的对应关系？ 根据复数相等的定义，复数z由实数对(a,b)唯一确定！ 问题二： 有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点之间是一个怎样的对应关系？ 有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应！ 因此，如图，在平面上建立直角坐标系，以每个复数z=的实部a和虚部b组成坐标(a,b)，这就确定了唯一一点Z(a,b)，连接OZ，这就确定了唯一一个向量OZ,这个向量的坐标也是(a,b)。 因此，复数可用平面内唯一一点Z(a,b)表示，也可用平面内唯一向量OZ表示，这就在复数集与平面内的点的集合之间建立了一一对应关系，也在复数集与平面内的全体向量所成的集合之间建立了一一对应关系。即 按上述方式与全体复数建立一一对应关系的平面叫作复平面。 x轴叫作实轴； y轴叫作虚轴； 实轴上的点都表示实数； 除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数； 特别地，数1沿x轴正方向的单位向量=(1,0)表示，数i用沿y轴正方向的单位向量=(0,1)表示。设复平面上的向量OZ的坐标为(a,b)，则OZ=，将这个表达式中的、分别换成1，i，就得到OZ所对应的复数为。 练一练 在复平面上画出与以下复数、、、分别对应的点、、、. =1 =i =4+3i =4-3i 新知探究（二）：复数的模与共轭复数 对任意复数z=(a,b∈R) ，我们将它在复平面上所对应的向量的模称为复数z的模，也称为z的绝对值，记作|z|。写成公式，即 ||= |z|=表示点(a,b)到原点的距离。 对任意复数z=(a,b∈R) ，如果保持它的实部a不变，将虛部b变成它的相反数-b，得到的复数称为原复数z的共轭复数，记为。即 = 反过来也有=，因此=z. 复平面上的两点P、Q关于x轴对称它们所对应的复数相互共轭。 练一练： 分别求复数=2+3i和=3-4i的共轭复数，并分别比较 ·||2、·与||2的大小。 解：由题意可得 复数=2+3i的共轭复数=2-3i，复数=3-4i的共轭复数=3+4i。 因而· =(2+3i)(2-3i)=13=||2 · =(3-4i)(3+4i)=25=||2 根据复数的乘法法则，对任何复数z=(a,b∈R)，有 ()()=, 因此，共轭复数z与的积是一个实数，并且等于这个复数的模的平方，即 z· =||2=||2 新知探究（三）：复数加减法的几何意义 如图所示，设复数，(a,b,c,d∈R)分别对应向量OP、OQ，则OP=(a,b),OQ=(c,d). 由平面向量坐标运算得， +=(a+c)+(b+d)i就对应向量 OS=(a+c,b+d)=OP+OQ, 且OS是以OP、OQ为邻边的 平行四边形的对角线， 即复数的加法由对应向量OP、OQ加法来表示，且复数加法 几何意义就是向量加法的平行四边形法则。 类似地，复数的减法由对应向量的减法来表示： =(a-c)+(b+d)i →OD=(a-c,b-d)=OP-OQ=QP 其中，OD与QP同向平行且长度相等。 复数z与任一实数k相乘， 其积所对应的向量OM可由复数z 所对应的的向量OP与k的积表示： kz=ka+kbi→OM=(ka,kb)=kOP. 也就是说，实数k与复数z相乘就可由实数k与该复数所对应的向量OP的数乘来表示。
典型例题 典型例题 1、下列命题中的假命题是( D ). A.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上; B.在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上; C.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数; D.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。 2、“a=0”是“复数(a,b∈R)是纯虚数”的( A )。 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件 3、“a=0”是“复数(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的( C )。 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件 拓展提高 设z∈C,点Z对应复数z，在复平面内满足下列条件的点Z的集合是什么图形 |z|=2; (2) 2≤|z|≤3. 解： （1）复数z的模等于2，这表明，复数z对应的向量OZ的长度等于2，即点Z到原点O的距离等于2，因此满足条件|z|=2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆。 （2） 不等式2≤|z|≤3可以化为不等式组. 不等式|z|≤3的解集是圆|z|=3和该圆内部所有的点构成的集合;不等式|z|≥2的解集是圆|z|=2和该圆外部所有的点构成的集合。这两个集合的交集，即上述不等式组的解集，也就是满足条件2≤|z|≤3的点Z的集合。因此，所求的集合是以原点O为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界。 学生和教师共同探究完成3个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 复数的几何意义； 复数的模与共轭复数； 复数加减法的几何意义。

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