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《复数的三角表示》教案
课题 3.3复数的三角表示 单元 第三单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：了解复数的三角表示； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握复数的相关知识，为复数的学习打好基础的同时，也能学习利用复数解决实际问题。 4.直观想象：了解复数的旋转任意角以及复数的三角表示方法； 5.数学运算:能够正确表示复数的三角形式； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：的几何意义；旋转任意角；复数的三角表示；复数三角形式的运算。 难点：的几何意义；旋转任意角；复数的三角表示。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 上节课我们学习了复数的几何表示，那复数可以用三角表示吗？
新知探究 新知探究（一）：的几何意义 如图，设平面向量OP=(x,y)对应复数z=x+yi，则OQ=(-x,-y)对应复数-z=(-1)z。由于OQ=-OP=(-1)OP，因此OQ可由OP绕起点O逆时针旋转180°得到。 于是，由(-1)z=-z可知，-1乘复数z的几何意义是将复数z对应的向量OP绕起点旋转180°变成OQ。 按照这样的思路，将z连乘两个-1得到(-1)2z，就是将OP连续旋转两个180°，也就是旋转360°，仍得到OP自己。这就是说(-1)2OP=OP， (-1)2z=z，(-1)2=1. 既然用(-1)2乘复数z的几何意义是将复数z对应的向量OP旋转连个180°，很自然会猜测：用-1的一个平方根i乘z的几何意义应该是将OP旋转半个180°，也就是旋转90°，得到的向量OP与复数iz对应。 下面我们来验证上述猜测是否正确： 由于每个虚数z=x+yi(x,y∈R,y≠0)可以分解为实数x与纯虚数yi之和，因而我们先来讨论实数或纯虚数乘i的几何意义。 练一练 将正实数a连续4次乘i得到ai,-a,-ai,a,并将这些数用复平面上的点B、C、D、A表示。观察这些点的相互位置，你发现了什么？ 解： 由于ai,-a,-ai,a的模都等于a，且它们在复平面上对应的向量OA,OB,OC,OD的模都等于a，方向分别为x轴正方向、y轴正方向、x轴负方向、y轴负方向，如图，将OA依次旋转90°，旋转4次，则依次得到OB、OC、OD、OA。于是，可发现向量每旋转90°，其所对应的复数就相应乘i。 如图，设复平面上的点P表示复数z=，将点P绕原点O旋转90°得到的点P 表示哪一个复数？ 解： 设向量OA、OB分别表示，由z=知OP=OA+OB，OP是矩形OAPB的对角线。 将矩形OAPB绕原点O旋转90°，则OA、OB分别 变为OA 、OB ，矩形OAPB变成OA PB 。于是 OA 、OB 所对应的复数应分别由OA、OB所 对应的复数乘i得到，即OA 对应的复数为. OB 对应的复数为i(bi)=-b. 因此，矩形OA PB 的对角线表示的向量OP =OA +OB 所对应的复数为ai-b=-b+ai,即点P 表示复数-b+ai. 由此可得： 虚数单位i乘任意复数z的几何意义是： 将复数z对应的平面向量旋转90°. 新知探究（二）：旋转任意角 前面已经知道，把复数z对应的向量OP分别旋转90°和180°，相当于将复数z分别乘复数i和一1，如果要将向量OP旋转任意角度，又是用哪个复数乘z呢 当OP=0时，OP对应的复数是0，无论乘哪个复数仍是0。因而以下只考虑OP≠0的情形。 如图，把复数z对应的向量OP旋转角得到OP ，把OP旋转90°得到OQ，则由平面向量基本定理可知，OP 可写成OP，OQ方向上的单位向量， 的实数倍之和，即OP =a+b. 设r=|OP|，则|OP |=|OQ|=r, OP=r, OQ=r. 所以cos=,sin= 即a=rcos, b=rsin. 于是OP =(rcos)+(rsin) =cos·OP+sin·OQ 所以OP 对应的复数为cosz+sin·iz,可看作是由cos+isin乘得到的。 由此可得： 用cos+isin乘任意复数z的几何意义是： 将复数z对应的平面向量旋转角. 新知探究（三）：复数的三角表示 如图，将任意复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内用对应的向量OP表示出来，则|OP|=r=. 我们将以x轴的正半轴为始边，以OP为终边的角,称为复数z=a+bi的辐角，记作arg z=,如图。 从图中可以看出， 所以a+bi=+i =(+i) 其中r=，cos=，sin=。 我们将r(cosisin)称为复数a+bi的三角形式。 如果z=0，则|z|=0，辐角θ可以取任意值，对每个值仍有z= r(cosisin)。 因此，两个复数=||(cos+isin)，=||(cosisin)相等的充分必要条件是 ||=||=0，或||=||>0且=+2kπ，k∈Z. 新知探究（四）：复数三角形式的运算 复数=(cos+isin)，=r2(cosisin)的乘法公式： ·= 上式表明，两个复数乘积的模等于它们模的乘积，乘积的辐角等于它们的辐角之和。 复数=r1(cos+isin)，=r2(cosisin)(≠0)的除法公式： 上式表明，两个复数相除（除数不为0），商的模等于它们模的商，商的辐角等于它们的辐角之差。
典型例题 典型例题 1、计算： 解： 原式= = = =2(0+i) =2i 2、求 解： 先将z=化为三角形式，得z=，则 原式= =() =( 3、把下列复数的代数形式化成三角形式： （1）； （2） . 解：（1）因为r==2, 所以cos=. 又对应的点在第一象限内, 因而=. 所以=2(cos+isin). （2）因为r=1,而=, 所以i=cos+isin. 拓展提高 解方程=1，并将其所有的根用复平面上的点表示，观察以这些点为顶点的多边形是什么形状。 解：设x=r(cosθ+isinθ)，r>0，则 =(cos3θ+isin3θ)=1=cos2kπ+isin2kπ =1且3θ=2kπ r=1且θ=(k∈Z). 由于正弦、余弦函数的周期均是2π，为避免复数根重复，θ只在[0，2π) 范围内取值，于是k取0、1、2三个值，得到三个不同的根 1、 cos、 cos。 在复平面上画出表示这三个根的点，，， 观察发现，以这三点为顶点的△是以原点O为圆心的单位圆的内接正三角形，三个顶点等分圆周。 学生和教师共同探究完成3个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 的几何意义； 旋转任意角； 复数的三角表示； 复数三角形式的运算。

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