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《直线与直线、直线与平面的位置关系》教案
课题 4.3.1直线与直线、直线与平面的位置关系 单元 第四单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：通过具体的事物抽象出空间中直线的位置关系； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握空间几何体的相关知识，为几何体的学习打好基础的同时，也能学习利用几何体解决实际问题。 4.直观想象：掌握平行直线中的传递关系； 5.数学运算:能够正确运用空间中直线的位置关系； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：空间中直线的位置关系及其异面直线的概念；平行直线；异面直线。 难点：空间中直线的位置关系及其异面直线的概念；平行直线。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 我们知道，火车的铁轨是互相平行的，永远没有交点，空中架设的高压线有时互相穿过但不相交，把它们想象成一条条直线，从中你能找出直线与直线的位置关系吗？
新知探究 新知探究（一）：空间中直线的位置关系及其异面直线的概念 观察长方体ABCD-A B C D 的棱AB与棱CC 所在的直线，你有什么发现？ 直线AB与直线CC 既不平行也不相交，它们也不同在任何一个平面内！ 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 空间中的两条直线的三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 共面直线 平行直线：同一平面内，没有公共点 异面直线：两条直线不在任何一个平面内，没有公共点 新知探究（二）：平行直线 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，在空间中，是否有类似规律？让我们来探究一下： 思考：长方体ABCD-A B C D 中，AA //BB ,DD //AA ,BB 与DD 平行吗？ 平行！ 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。 语言符号： 设a,b,c为空间中三条不重合的直线， 且a//b,a//c, b//c. 公理4的实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都是用。 公理作用：判断空间两条直线平行的依据。 练一练： 如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFDH是平行四边形。 证明：连接AC、BD。 E、F是△ABC中AB、BC的中点， EF//AC. 同理可证HG//AC. EF//HG 同理可证EH//FG. 四边形EFGH是平行四边形。 观察下图并思考：∠ADC与∠A D C 、∠ADC与∠A B C 的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ ∠ADC=∠A D C，∠ADC+∠A B C =180° 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 新知探究（三）：异面直线 异面直线的画法： 由异面直线的定义可知，我们不能把两条异面直线置于同一平面内，因而画异面直线时，一般画成下图这样，以显示出它们不共面的特点。 异面直线的夹角： 如图，已知异面直线a,b经过空间中任一点O作直线a //a,b //b,我们把a 与b 所形成的的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所形成的角（夹角）。 注意： a 与b 所形成的角的大小只由a、b的相互位置确定，与O点的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0,]； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形。 练一练： 如图，已知a ,A ,B∈,B a. 求证：直线AB与a是异面直线。 证明：假设直线AB与在同一个平面内，那么这个平面一定经过点B和直线a。 因为B a，经过点B与直线a只有一个平面， 所以直线AB与a应在平面内。 所以A∈，这与已知A 矛盾。 所以直线AB与a是异面直线。 由此可得到判断两条直线为异面直线的方法： 与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线。
典型例题 典型例题 1、分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( D ）. A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交 2、若P为两条异面直线l、m外的任意一点,则( B ). A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行 B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直 C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交 D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面 3、空间两个角、β,且与β的两边对应平行,且=60°，则β为 ( D ). A.60° B.120° C.30° D.60°或120° 4、E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点,若对角线BD=2,AC=4,则的值是( B ). A.12 B.10 C.5 D.不能确定 拓展提高 在空间四边形ABCD中，AD=BC=2a,E、F分别是AB、CD的中点,EF=√3a,求AD、BC所成的角。 解： 取BD中点M，由题意可知EM是△BAD的中位线，∴EM∥1/2AD. 同理MF∥1/2BC, ∴EM=a,MF=a,且∠EMF（或其补角）为所求角。 在等腰△MEF中，取EF的中点N，连MN，则MN⊥EF. 又已知EF=√3a,∴EN=√3/2a. 故有sin∠EMN= / =√3/2. ∴∠EMN=60°,从而∠EMF=120°>90°. ∴AD、BC所成的角为∠EMF的补角。 即AD和BC所成的角为60°。 学生和教师共同探究完成4个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 空间中直线的位置关系及其异面直线的概念； 平行直线； 异面直线

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