资源简介

《空间中直线与平面的位置关系》教案
课题 4.3.2空间中直线与平面的位置关系 单元 第四单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：通过具体的事物抽象出直线与平面的位置关系； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握空间几何体的相关知识，为几何体的学习打好基础的同时，也能学习利用几何体解决实际问题。 4.直观想象：掌握直线与平面平行的判定定理与性质定理； 5.数学运算:能够正确运用直线与平面垂直的判定定理与性质定理； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：空间中直线与平面的位置关系；直线与平面平行；直线与平面垂直。 难点：空间中直线与平面的位置关系；直线与平面平行；直线与平面垂直。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 站在海边或开阔的原野上，我们看到在远处海天一线或天地相交。远处的地平线是一条优美的弧线。然而事实上，两个平面相交其交线是一条直线，并非曲线，你的眼睛有时也会欺骗你。这节课我们就从理论上探究空间中直线与平面的位置关系。
新知探究 新知探究（一）：空间中直线与平面的位置关系 直线在平面内： 观察笔和本子的位置关系，你有什么发现？ 笔在本子内！ 直线与平面相交： 观察笔和本子的位置关系，你有什么发现？ 笔与本子相交！ 直线与平面平行： 观察笔和本子的位置关系，你有什么发现？ 笔与本子平行！ 练一练： 若一条直线上有两点在已知平面外，则下列说法正确的是（ B ）。 A.直线上所有的点都在平面外 B.直线上有无数多个点在平面外 C.直线上有无数多个点在平面内 D.直线上至少有一个点在平面内 易判定直线与平面相交或平行。 新知探究（二）：直线与平面平行 判定定理： 根据直线与平面平行的定义，只需判定直线与平面有没有公共点。但是，直线无限延伸，平面无限延展，如何判断这样两个没有边际的对象有没有公共点呢 看来根据定义进行判断直线与平面是否平行不太好操作,那么有没有简便的方法呢 如图所示，直线a与平面平行吗 不一定 如果在平面内有直线b与直线a平行，那么直线a与平面是否平行 是否一定能保证直线a与平面平行？ 由于平面的延展性，直线a与平面不一定平行，也可能在平面内。 如果知道a在平面外，那么是否就能保证直线a与平面平行呢 若内有直线b与a平行，那么a与的位置关系如何 是否可以保证直线a与平面平行 平行 直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。 语言符号： a ,b,且a∥b a//. 由上述判定定理可知，画一条直线与已知平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行，如图所示。 性质定理： 教室内日光灯管所在直线与地面平行，要想在地面上作一条直线 ,使之和灯管所在直线平行，该如何作 只要所画的直线与灯管不是异面直线,在一个平面内就平行.如图:即当a//平面时,若b ,且a、b共面，就有a//b.并且在平面内与b平行的所有直线(如b ,b )都与a平行(有无数条)，否则，都与a是异面直线。 下面我们来证明这一结论： 证明： ∩=b, b . a∥, a与b无公共点. a ,b . a∥b. 直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。 语言符号： a//，a ，∩=b， a∥b. 新知探究（三）：直线与平面垂直 直线与平面垂直的定义： 如图，在阳光下观察直立于地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么 在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动,但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意条过点B的直线垂直.实际上,旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B C 也是垂直的. 在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动,但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直。 也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意条过点B的直线垂直.实际上,旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B C 也是垂直的。 如何定义一条直线与一个平面垂直呢 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面垂直，记作l⊥。 直线l叫做平面的垂线； 平面叫做直线l的垂面； 它们的交点叫做垂足。 语言符号： l⊥,b, l⊥b. 判定定理： 请同学们准备块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD.将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD.DC与桌面接触): (1)折痕AD与桌面垂直吗 不一定 (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面a垂直 容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时,AD所在直线与桌面所在的平面垂直. 如图所示： 所以，当折痕AD垂直于平面内的一条直线时，，折痕AD与平面不垂直，当折痕AD垂直于平面内的两条直线时,折痕AD与平面垂直.AD是BC边上的高时，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥DC,AD⊥BD.这就是说，当AD垂直于桌面内的两条相交直线BD、DC时,它就垂直于桌面。 直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 语言符号： m,n,m∩n=P l⊥m, l⊥n l. 性质定理： 观察长方体ABCD-A B C D 的棱AA 、BB 、CC 、DD 所在的直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？ 通过观察，我们发现它们之间都具有平行关系。 已知，如图，直线a,b和平面，如果a⊥, b⊥,那么直线a,b一定平行吗？ 证明：（反证法） 如图，假定b与a不平行，且b∩a=O, 作直线b ,使O∈b ,a∥b . 直线b 与直线b确定平面, 设∩=c,则O∈c. a⊥,b⊥, a⊥c,b⊥c. 又a∥b ,b ⊥c. 这样在平面内，经过直线c上同一点O就有两条直线b,b 与c垂直，俨然是不可能的。 因此a∥b. 直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行。 语言符号： a⊥, b⊥ a∥b. 注意：直线与平面的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在关系。
典型例题 典型例题 1、下列说法正确的是（ D ）。 A.直线l平行于平面内无数条直线，则l∥； B.若直线a在平面外，则a∥； C.若直线a∥b,直线b ,则a∥； D.若直线a∥b,直线b ,那么直线a就平行于平面内的无数条直线。 2、若A是直线m外一点，过点A且与m平行的平面（ A ）。. A.存在无数个 B.不存在 C.存在但只有一个 D.只存在两个 3、如果直线l和平面内无数条直线垂直，则直线l与平面的位置关系是（ D ）。 A.l⊥ B.l∥ C.l D.以上都不正确 拓展提高 已知：A∈,A∈a,B ,B∈a. 求证：直线a与平面相交。 解：如图可知，平面ABC∩平面BCD于BC，平面ABD∩平面BCD于BD. 解析：问题的实质就是证明直线a与平面 除点A以外不存在其他公共点，于是有下面的证明思路:否定性命题，用反证法。 如图，假设直线a与和平面 不相交， 即a∥ 或a . 若a∥ ,就与A∈ ,A∈a矛盾。 若a ,就与B ,B∈a矛盾。 ∴假设不成立。 ∴直线a与平面 相交。 学生和教师共同探究完成3个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 空间中直线与平面的位置关系； 直线与平面平行； 直线与平面垂直。

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