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《平面与平面垂直》教案
课题 4.4.2平面与平面垂直 单元 第四单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：通过具体的事物抽象出平面与平面垂直的关系； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握空间几何体的相关知识，为几何体的学习打好基础的同时，也能学习利用几何体解决实际问题。 4.直观想象：掌握平面与平面垂直的判定定理与性质定理； 5.数学运算:能够正确运用平面与平面垂直的判定定理与性质定理； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：二面角；平面与平面垂直的判定定理；平面与平面垂直的性质定理。 难点：平面与平面垂直的判定定理；平面与平面垂直的性质定理。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 生活中，修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度，我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5°。这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，那怎样定义这个“角”呢？
新知探究 新知探究（一）：二面角 角： 角:从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形。 构成:射线-点(顶点)-射线. 表示:∠AOB 二面角： 请同学们拿出一张纸，如图所折，观察其形状，你有什么发现？ 两个平面之间形成了一个角！ 二面角:从空间直线出发的两个半平面所组成的图形. 构成:半平面线(棱)半平面. 表示:二面角-l-β或-AB-β. 二面角的度量： 二面角定义反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二面角的大小呢 拿出二面角的模型，在其棱上任取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线( 如图)，通过实验操作研究面角大小的度量方法——二面角的平面角。 二面角的度量： 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。 ∠AOB的大小与点O在l上的位置有关吗 为什么 无关！ 直二面角： 平面角是直角的二面角叫作直二面角。 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.若平面, β互相垂直，则记作⊥β.在画两个垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成与表示水平平面的平行四边形的横边垂直。如图所示。 练一练： 如图所示，在四面体ABCD中.△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等.且AB=AC=,BC=2,求以BC为棱，以△BCD和△BCA为面的二面角的大小。 解析：分析题目可知，本题主要考查二面角的概念和全等三角形的有关知识以及解三角形的有关知识，解决本题的关键是:看清图形的对称性，由于是具有公共边的两个等腰三角形，所以根据二面角的平面角的定义很容易作出二面角的平面角。 解：取BC的中点E,连接AE、DE, AB=AC,AE⊥BC. 又△ABD≌△ACD,AB=AC,DB=DC,DE⊥BC ∠AED为二面角A-BC-D的平面角。 又△ABC≌△DBC,且△ABC是以BC为底的等腰三角形,△DBC也是以BC为底的等腰三角形。 AB=AC=DB=DC=,又△ABD≌△BDC,AD=BC=2 在Rt△DEB中，DB=,BE=1, DE==,同理AE=. 在△AED中，AE=DE=,AD=2, , ∠AED=90°, 以△BCD和△BCA为面的二面角的大小为90°. (1)求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件。即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直。在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧。如本例中，充分利用图形的对称性(即有公共底边的两个等腰三角形)，取BC的中点，很快作出二面角的平面角，也就是利用定义作出二面角的平面角。 (2)求二面角大小的基本程序是:先作出二面角的平面角，再以此角作出(或找到)相关三角形，解此三角形即可求出二面角的大小。 新知探究（二）：平面与平面垂直的判定定理 除了定义外，还有什么方法判定两个平面垂直？ 观察上图中的长方体，可以发现，平面ABB A 内的直线A B与AB 都不垂直于平面ABCD，但有一条直线AA 垂直于平面ABCD，并且平面ABCD与平面ABB A 互相垂直。 一般地，有以下两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 语言符号： a , a⊥ ⊥. 练一练： 如图，在四棱柱ABCD-A B C D 中，四个侧面都是矩形。求证：平面BB C C⊥平面ABCD。 证明： 侧面BB C C是矩形， CC ⊥BC. 侧面CC D D是矩形， CC ⊥CD. 又BC∩CD=C，因此CC ⊥平面ABCD. 又CC 平面BB C C， 平面BB C C⊥平面ABCD 新知探究（三）：平面与平面垂直的性质定理 如图，长方体ABCD-A B C D 中，平面A ADD 与平面ABCD垂直，直线A A垂直于其交线AD，平面A ADD 内的直线A A与平面ABCD垂直吗？ 直线A A与平面ABCD垂直 证明： 在长方体ABCD-A B C D 中， 面A ADD ⊥面ABCD. A A⊥AD,AB⊥A A, AD∩A A=A, A A⊥面ABCD 一般地，有以下两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。 语言符号： ⊥,∩ =CD, AB , AB⊥CD AB⊥. 通过直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直;而由平面与平面垂直的定义及性质定理可以得出直线与平面垂直、直线与直线垂直.我们将线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系用框图来表示:
典型例题 典型例题 1、自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（ B ）。 A.相等 B.互补 C.互余 D.无法确定 2、经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（ D ）。 A.0个. B.1个 C.无数个 D.1个或无数个 3、给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行; ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是（ B ）。 A.4 B.3 C.2 D.1 拓展提高 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点。 （1）求证：MN⊥CD. （2）若∠PDA=45°，求证MN⊥平面PCD. 解： （1）取PD中点E，连接AE、NE。 N、M分别为PC、AB的中点， 则NE∥CD且NE=CD，AM=AB, NE∥AM. 四边形AMNE是平行四边形。 MN∥AE. PA⊥平面ABCD. PA⊥CD.又CD⊥AD,PA∩AD=A, CD⊥平面PAD. CD⊥AE,又MN∥AE, MN⊥平面PCD. 学生和教师共同探究完成3个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 二面角； 平面与平面垂直的判定定理； 平面与平面垂直的性质定理。

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