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《随机事件的独立性》教案
课题 5.4随机事件的独立性 单元 第五单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用具体事件理解随机事件独立性的定义； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握随机事件的相关知识，为随机事件的学习打好基础的同时，也能学习利用随机事件解决实际问题。 4.直观想象：通过具体事件了解随机事件独立性的性质； 5.数学运算:能够正确计算随机事件的独立性； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：随机事件独立性的定义；随机事件独立性的性质。 难点：随机事件独立性的定义；随机事件独立性的性质。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 在相同的条件下分别抛掷甲、乙两枚质地均匀的硬币。设A表示“甲正面朝上”，B表示“乙正面朝上”，则A∩B表示“甲、乙都正面朝上”。分别计算事件A、B、A∩B的概率，你有何发现
新知探究 新知探究（一）：随机事件的独立性 记H表示正面朝上，T表示反面朝上，则该试验的样本空间为 Q={HH, HT, TH, TT}。 又事件A={HH, HT},，B={HH, TH}，A∩B={HH}， 因此P(A)=，P(B)=，P(A∩B)=。 这时可以发现P(A∩B)=P(A)P(B)。 在概率论中，设A，B为两个事件，若P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A、R相互独立，简称为独立。 由独立事件的定义可知，必然事件Ω及不可能事件 都与任何事件独立。 练一练： 一个家庭中有若干小孩，假定生男孩与生女孩是等可能的，设A=“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B=“一个家庭中最多有一个女孩”，对下述两种情形，讨论事件A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩。 解： (1)有两个小孩的家庭，样本空间Ω={(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)}。 它有4个基本事件，由等可能性知概率各为，这时 A={(男,女)，(女,男)}， B={(男,男)，(男,女)，(女,男)}， A∩B=(男,女)，(女,男)}。 于是P(A)=，P(B)=，P(A∩B)=， 由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)， 所以事件A、B不独立。 （2） 有三个小孩的家庭，样本空间Ω={(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)、(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女女女)}. 由等可能性知这8个基本事件的概率均为. 这时A含有6个基本事件，B含有4个基本事件，A∩B含有3个基本事件， 于是P(A)==，P(B)==，P(A∩B)=， 显然有P(A∩B)=P(A)P(B)成立，从而事件A与事件B是独立的。 例子说明两个事件是否独立不能全靠直觉，要对随机现象进行研究后才能得出正确结论。 根据定义，若事件A, B独立，则计算P(A∩B)的公式为 P(A∩B)=P(A)P(B) 根据以上公式，可以得到： 若事件A, B独立，则A与，与B，与也独立。 下面只证明若事件A，B独立，则事件A与B独立，其他类似可以证明。因为A=A∩Ω=A∩(BU)=ABUA， 于是P(A)=P(ABUA)，而AB与A互斥， 因此P(A)=P(AB)+P(A)。 故P(A)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B) =P(A)[1- P(B)]=P(A)P()。 所以P(A∩)=P(A)P()，也就是说事件A, 也独立。 虽然两个事件是否独立不能全靠直觉，要对随机现象进行研究，经过计算后才能得出正确结论，但在实际应用时，如果根据问题的实际背景，可以判断出事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，或者事件B是否发生对事件A发生的概率也没有影响，那就可以说事件A、B独立，从而运用事件独立的概念进行推导和计算。
典型例题 典型例题 设随机事件A与B满足：P(A)P(B)=0。证明： 若事件A与B相互独立，则AB≠ ； 若AB= ，则随机事件A与B不相互独立。 解:(1) 由于随机事件A与B相互独立， 所以P(AB)=P(A)P(B)≠0， 这表明AB≠ 。 (2)由于AB= ， 因此P(AB)=P( )=0， 但是P(A)P(B)≠,0， 所以P(AB)≠P(A)P(B)。 这表明，A与B不相互独立。 拓展提高 甲、乙两人练习射击，甲命中的概率为0.8，乙命中的概率为0.7，两人同时射击，且中靶与否独立，求： (1)甲或乙命中的概率； (2)甲中、乙不中的概率； (3)甲不中、乙中的概率。 解： 设A=“甲命中”，B=“乙命中”，则A∪B=“甲或乙命中”，A∩=“甲中、乙不中”，∩B=“甲不中、乙中”，且 P(A)=0.8，P(B)=0.7。 (1)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.94. (2)P(A∩)=P(A)P()=0.8×0.3=0.24. (3)P(∩B)=P()P(B)=0.2×0.7=0.14. 学生和教师共同探究完成2个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 随机事件独立性的定义； 随机事件独立性的性质。

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