资源简介

《走进异彩纷呈的数学建模世界》教案
课题 6.1走进异彩纷呈的数学建模世界 单元 第六单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用具体事件理解数学建模世界； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握数学建模的相关知识，为数学建模的学习打好基础的同时，也能学习利用数学建模解决实际问题。 4.直观想象：了解万有引力等著名的数学建模案例； 5.数学运算:能够正确计算数学建模； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：万有引力定律的发现；马尔萨斯人口模型；哥尼斯堡七桥问题。 难点：万有引力定律的发现；马尔萨斯人口模型；哥尼斯堡七桥问题。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 在日常生活中，大家可能都有过下面的经历： 在雨中行走的时候，人们通常会选择以尽可能快的速度行走，以减少淋雨时间。我们是否思考过这样的问题：对于同段路程，在雨中行走速度越快(即淋雨时间越少)，淋雨量(人在雨中行走时全身所接收到的雨的体积)就一定会越少吗？ 在足球比赛中，若球员沿直线带球跑动，一般需要寻找与球门张成最大角度的位置来射门。你想过没有，是否可用数学方法来确定出那个具有最大角度的位置？ 对于上述这些我们身边的问题，都可以通过数学建模(即将实际问题抽象成数学语言来进行描述)，并运用所学的数学知识使问题得到解决。 利用数学建模，人们不仅能够认识自然，有时还会从中受到启发来改造自然。
新知探究 新知探究（一）：万有引力定律的发现 万有引力是英国伟大的物理学家、数学家和天文学家牛顿提出来的，它是指:任意两个质点通过连心线方向上的引力相互吸引.该引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比，而与两物体的化学组成和其间介质种类无关。其数学表达式为 F=G 上式中，F表示两个物体间的引力，G为万有引力常数，表示两个物体的质量，r表示两个物体间的距离。 牛顿坐在苹果树下思考引力问题的传奇故事世人皆知，但万有引力定律的发现则是一个较为漫长艰辛的数学建模与求解过程。由于需要的数学工具大大超出了当时数学的范围，经过长达近20年的思考，牛顿才利用开普勒第三定律以及牛顿第二定律，从离心力定律演化出来的向心力定律和自己独立发明的微积分方法，最终建立了万有引力定律模型。 万有引力定律的发现是人类自然科学发展史上最伟大的成果之一， 这条定律对自然科学，尤其是对物理学与天文学的发展有着深远的影响。 新知探究（二）：马尔萨斯人口模型 人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题。英国经济学家、人口学家马尔萨斯最先研究了这个问题，他发现人口的自然增长率在一定的时间内是一个常数，人口的变化率和当前的人口数目成正比。 根据马尔萨斯的观点，现在我们来建立一个可用来描述人口数量随时间变化的数学模型。 假设某地区在时刻t时的人口总数为N(t)，经过时间△t后该地区人口的变化率与人口数成正比，比例系数为r(r>0)，则人口总数的增长可用下列数学模型描述: 即 如果让△t充分小，可以得到下面被称为马尔萨斯方程的人口增长模型: N(t)= 其中为开始时刻该地区的人口总数。 马尔萨斯人口增长模型是一个指数型函数，因此又被称为指数增长模型。大量数据表明，在自然状态下，上述模型既可以用来描述某种生长过程，如人口等生物种群的数量变化， 某人在银行存款数量的变化等， 也可以描述某种传播过程， 例如疾病传染、信息时间的传播等。 马尔萨斯模型在一个种群的发展初期是合理的，其结论对人类的发展具有启示作用，它提醒人们要防止人口的过快增长，注意人口与生活资源比例协调。但发展到一定时期后，其缺陷便会凸显出来。由于没有考虑自然条件与生存环境对人口的制约，人口可以无限制增长，显然用该模型做长期的人口预测是不合理的，需要进一步修改。 但不能否认的是，马尔萨斯人口模型是人类关于人口理论研究的开创性模型。在一般情况下，马尔萨斯人口模型中的参数，即增长率是未知的，如何求解增长率，则是求解数学模型时需要解决的问题。 新知探究（三）：哥尼斯堡七桥问题 18世纪时的哥尼斯堡是东普鲁士的一座风景优美的小城，穿过该小城的普雷格尔河的中心有一座美丽的小岛，河流及其两条支流把包含岛区在内的哥尼斯堡城分为四个区域:东区(A)，北区(B)，岛区(C)以及南市民在哥区(D)。架在河流上的七座桥将这四个区域连接起来，如图所示。尼斯堡城行走时提出这样的问题:是否能次走通这七座桥，每座桥只允许走一次，最后回到原出发点 这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。 当地人热衷于上述问题的解决，尝试了各种不同的行走路线都不得其解，该问题引起了瑞士数学家欧拉的强烈兴趣。开始时，欧拉试图将所有的走法列举出来，然后对这些走法进行验证，经过计算后欧拉发现不同的走法共有5040种，这样做既浪费时间，而方法也没有通用性。经过大约一年时间的思考，欧拉将该实际问题抽象成一个数学问题， 通过建立数学模型完全解决了哥尼斯堡七桥问题。 欧拉的做法是，首先将岛屿和岸抽象为点，将桥抽象成线，从而将七桥问题抽象成如下一笔画问题：是否可以笔尖不离开纸面，一笔(不重复经过任何一条路线)画出如图所示的图形 这就是欧拉为了求解七桥问题而建立的数学模型。进一步，欧拉得到了上述数学模型的求解方法。 从图中可以看出，每个点都是某些曲线的端点，欧拉将 连有偶(奇)数条曲线的点命名为偶(奇)顶点。容易看出， 除去起点和终点外，对于其余的每一个点， 如果笔沿某 条线进入该点的话，则它必须沿着另一条线出来，从而该顶点一定是偶顶点。从而得到 “一笔画” 的充分必要条件为:奇顶点个数为0或2。奇顶点个数为0意味着任意一点都可以作为起点、 终点以及中间点，而奇顶点个数为2时，其中一个奇顶点为起点(即只有出线)，另一个奇顶点为终点(即只有入线)。 由于七桥问题对应的图形中有4个奇顶点，不满足“一笔画”的要求，如此说来人们希望找到的不重复路线根本不存在。 对于长久困扰人们的哥尼斯堡七桥问题，欧拉将其抽象成一个简单的数学模型就轻易解决了。 这表明，用数学的眼光观察问题，用适当的数学语言、模型描述问题，并运用数学的思想、方法解决实际问题，在我们的生产生活中具有多么强大的威力。欧拉所提出的数学模型具有深远的意义，由此开创了一个新的数学分支——图论，该模型也为新的数学分支——拓扑学的产生奠定了基础。 作为本节的结束，我们来对数学模型做一个般的表述： 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据其特有的内在规律做出一些必要的简化假设，并运用合适的数学工具得到的一个数学结构。而数学建模过程，则是应用数学方法，通过建立数学模型来解决实际问题的过程。
课堂小结 万有引力定律的发现； 马尔萨斯人口模型； 哥尼斯堡七桥问题。

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