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《数学建模案例（一）最佳视角》教案
课题 6.3数学建模案例（一）最佳视角 单元 第六单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用具体事件理解数学建模的过程； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握数学建模的相关知识，为数学建模的学习打好基础的同时，也能学习利用数学建模解决实际问题。 4.直观想象：了解数学建模案例的过程； 5.数学运算:能够正确计算数学建模； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：问题解析；模型建立与求解；模型的进一步讨论。 难点：问题解析；模型建立与求解；模型的进一步讨论。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 当我们和朋友一起流连忘返于展览大厅欣赏精美的艺术品，或在节假日陪伴家人沉醉于大自然美景时，可能常常不经意地调整观察路线，便于我们能够对感兴趣的目标有一个最清晰的观察。这种最清晰的观察就可以通过建立最佳视角的数学模型来完成。 从数学上看，对什么是最佳视角并没有一个严格的定义，针对不同的问题，取佳视角的含义有所不同。例如，当我们希望对物体的全貌进行最清晰的观察时，取佳视角是关于面积最大的问题，而在6.1节提出的足球运动员射门角度问题中，其最佳视角则对应于球员与所对球门张成的最大角度。本节我们仅从观察者与所观察物体张成的最大角度出发，讨论与之有关的最佳视角模型。
新知探究 新知探究（一）：问题解析 最佳视角问题在我们的生活中还有很多，例如: (1)如图，观众在观看某美术馆墙上悬挂的一幅画作时， 经常会前、后左、右移动，以使得观看该画最清晰，你能够从最大视角的角度解释他脚步移动的原因吗 (2)对于一座山或高大建筑物(不可及但高度知道)，且在平地上可以看见山或建筑物顶上有一个标志性塔或旗杆，如何在平地上寻找位置，使在该位置观塔或旗杆的视角最大 下面我们通过建立数学模型的方法来解决最佳视角问题。 新知探究（二）：模型建立与求解 最佳视角问题可以抽象成下面的数学模型：如图，直线AB垂直于地面，垂足为O，设OA=a, OB=b(a>b>0)，过O点任作一条垂直于OA的直线l，问题:在直线l上找出点C,使得在这点的视角∠ACB最大。 最大视角问题早期常见解法包括平面几何法与三角函数法，下面我们用三角函数法讨论其求解方法： 设OC=x,∠ACO=β,∠BCO=.利用差角的正切公式 tan∠ACB=tan(β-)==, 当且仅当=,即=时等号成立，此时tan∠ACB取最大值。 由于y=tanx在(0,)上是增函数，且∠ACB∈(0,)， 故当=时，tan∠ACB最大，此时视角∠ACB也最大。 按照数学建模的流程，还需要对模型解的正确性进行检验。以观赏一幅悬挂在美术馆墙面上的画作为例，参观者脚步的左右移动和前后移动分别对应于通过脚步移动寻找人眼与画作在横向以及纵向上的最大张角。你可以选择模型所得到最佳视角的位置以及其他的位置，体验模型结果的合理性。 (2)更一般的问题：当人们眺望对面山顶景物(如岩崖画、观光塔)时，可能位于水平地面上、有一定坡度的山坡上或者上述两者兼而有之。如何找出视野最清晰的观景位置。
课堂小结 问题解析； 模型建立与求解； 模型的进一步推广。

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