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《数学建模案例（二）曼哈顿距离》教案
课题 6.4数学建模案例（二）曼哈顿距离 单元 第六单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用具体事件理解数学建模的过程； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握数学建模的相关知识，为数学建模的学习打好基础的同时，也能学习利用数学建模解决实际问题。 4.直观想象：了解数学建模案例的过程； 5.数学运算:能够正确计算数学建模； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：问题解析；模型建立与求解；模型的进一步讨论。 难点：问题解析；模型建立与求解；模型的进一步讨论。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 城市观光客行走在大街小巷，若测量他们沿直线行走的距离，我们可以该直线为轴建立数轴，确立起点A和终点B的坐标、后，则其行走距离表示为d(A,B)= ||。 在现实生活中，许多城市的街道是相互垂直或平行的，人们往往要通过直角拐弯行走才能到达目的地，比如图的场景。 此时，按照街道的垂直和平行方向建立直角坐标系后，则从A(,)处走到B(,)处的距离d(A,B)为从A(,)处走到A (,)处的距离加上从A (,)处走到B(,)处的距离，即 d(A,B)=||+||. 我们称该距离为“曼哈顿距离”。 不难验证，对于平面上任意三点A. B, C,曼哈顿距离这个满足 d(A,C)≧d(A,B)+d(B,C). 一般情况下，设平面上有点A(x,y)，则点A到点(,)(i=1,2,3,…,n)，则点A到点(i=1,2,3,…,n)的曼哈顿距离Z定义为点A到n个点(i=1,2,3,…,n)的曼哈顿距离之和，即 Z= 本节重点讨论与曼哈顿距离有关的数学模型。
新知探究 新知探究（一）：问题解析 许多以曼哈顿距离为背景的实际应用问题都是以某点到已知各点的曼哈顿距离最小作为约束条件，建立数学模型以确定该点的位置。 下面从一个实际例子出发来探讨相应的数学建模过程。 首先考虑一个较简单问题的数学建模。 问题如图，某地三个新建居民区的位置分别位于三点A(3, 20)，B(一10,0)，C(14,0)处。现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心，试确定点P的位置，使其到三个居民区的曼哈顿距离最小。 新知探究（二）：模型建立与求解 设点P(x,y),y≥0，则点P到三个点的曼哈顿距离 Z=d(x,y)=|x-3|+|y-20|+|x+10|+lyl+|x-14l+|y| =(|x-3|+|x+10|+|x-14|)+(|y-20|+2|y|). 由于水平方向与垂直方向的距离分别为X=h(x)=|x-3|+|x+10|+|x-14|与Y=v(y)=ly-20|+2|y|，它们互不影响，且Z=X+Y=h(x)+v(y)，因此Z的最小值等于水平距离X的最小值 与垂直距离Y的最小值之和，即有 =+= 因为 X=h(x)=|x-3|+|x+10|+|x-14|≧|x+10|+|x-14|, 当且仅当x=3时，不等式等号成立。 |x+10|+|x-14|≧-(x+10)+(x-14)=24. 对于都成立。因此仅当x=3时，等号成立，此时=24. 类似可得，当y=3时, =20. 上述讨论表明，当文化中心修建在点P(3,0)时，满足条件。 对于上述问题，如果我们添加个条件， 例如，假设以O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，人们不能进入，其他假设不变。试重新确定P的位置，使其到三个居民区的曼哈顿距离最小。此时，只需要将限制条件改用数学语言来描述，单位圆内部区域不能进入相当于在模型的求解中添加限制条件y≧1。同样可以解得文化中心的位置为P(3,1)。此时文化中心到三个居民区的曼哈顿距离的最小值为45。 新知探究（三）：模型的进一步讨论 在实际生活中，还有许多的问题可以归结为基于曼哈顿距离的数学模型来求解。下面以设置机器零件检验台的位置为例来说明。 如图，工作效率相同的n台机器位于一条直线上，每台机器生产的零件均需送到同一个检验台上检验，检验合格后才能进入下一道工序。已知零件在这条直线上的传送速度均相同，问检验台的位置设在哪里可以使得零件传送时总的距离最小 上述问题的数学模型为 y= |+||+…+||, 其中(k=1, 2, …,n)是第k个零件的位置，x是待求的检验台位置，y是零件传送的总距离。 将n个常数,,…, 从小到大排列，则有 当n= 2m+1(m∈)时，则当x= 时，y取得最小值，且最小值为. 当n=2m(m∈)时，则当x∈[, ]时，y取得最小值，且最小值为. 除了上面描述的曼哈顿距离外，许多实际问题还可以转化为以其他距离最值为约束条件的数学模型来解决。
课堂小结 问题解析； 模型建立与求解； 模型的进一步推广。

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