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《概率的运算》教案
课题 5.2.2概率的运算 单元 第五单元 学科 数学 年级 高一
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用具体事件理解概率的加法公式； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握随机事件的相关知识，为随机事件的学习打好基础的同时，也能学习利用随机事件解决实际问题。 4.直观想象：通过概率了解互斥事件概率加法公式以及一般概率的加法公式； 5.数学运算:能够正确计算互斥事件概率加法公式以及一般概率的加法公式； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 难点 重点：互斥事件概率加法公式；一般概率的加法公式。 难点：互斥事件概率加法公式；一般概率的加法公式。
教学过程
教学环节 教师活动
新课导入 情境导入： 事件作为集合经过并、交、差和补的运算后得到的结果还是事件，于是可以计算经过运算后的事件的概率。 下面我们来学习两个互斥事件的概率加法公式：
新知探究 新知探究（一）：互斥事件的加法公式 将仅颜色不同而大小质地相同的7个红球、2个绿球、1个黄球放入一个盒子中。先从中任取一球，记事件A=“取出一个球是红球”，事件B=“取出一个球是绿球”，事件C=“取出一个球是红球或绿球”。 由前面的知识可知，事件A、B互斥，且事件C=A∪B。 由于样本空间有10个样本点，A和B分别有7个样本点和2个样本点，因此P(A)=，P(B)==. 由于A∪B也是事件，含有9个样本点，所以 P(A∪B)==+=P(A)+P(B)。 由此可以猜测，对于两个互斥事件，有如下概率加法公式： 如果中的事件A、B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。 猜测一定正确吗？ 下面，我们来证明上述公式： 设有n个样本点，A有m(m≤n)个样本点，B有k(k≤n-m)个样本点，则 P(A)=，P(B)=. 由于A、B互斥，所以 A∪B中样本点个数=A中样本点个数+B中样本点个数=m+k. 于是得到 P(A∪B)==+=P(A)+P(B)。 我们把概率加法公式反映的性质称为概率的可加性，可加的前提是两个事件互斥。 我们还可以将两个互斥事件的概率加法公式进行推广： 如果事件两两互斥，那么事件发生（是指中至少有一个发生）的概率，等于这n个事件的概率的和，即 P()=P()+P()++P(). 对于对立事件A与，从集合的角度看，由事件所含样本点组成的集合是全集中的事件A所含样本点组成的集合的补集。 因此对于对立事件，其概率之间有如下关系： 如果A是样本空间的事件，则 P()=1-P(A). 练一练： 若从一副52张扑克克牌(不含大小王)中随机抽取一张，则事件A=“取到红桃”的概率为，事件B=“取到方块”的概率为，试求: ： (1)事件C=“取到红色牌”的概率； (2)事件D=“取到黑色牌”的概率。 分析： 一副扑克牌由红色牌与黑色牌组成，其中红色牌包括“红桃”与“方块”。易知事件A与事件B互斥，且事件C=A∪B，因而可用互斥事件的概率加法公式求得事件C的概率。而事件D与事件C是对立事件，因此可运用对立事件的概率间关系式求得P(D)。 解： （1）由于事件A与事件B互斥，且事件C=A∪B， 因此P(C)=P(A∪B) =P(A)+P(B) = +=. （2）由于事件D与事件C是对立事件， 因此P(D)=1-P(C) =1-=. 新知探究（二）：一般概率加法公式 已经知道，若中的事件A、B互斥，则有P(A∪B)=P(A)+P(B)。如果中的事件A、B不互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)仍然成立吗？ 我们先来看一个具体事例： 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，其中一枚为红色，一枚为蓝色。记事件A=“红骰子点数等于6”，事件B=“蓝骰子点数等于6”。下面计算事件A∪B= “至心有一枚骰子点数等于6”的概率。 用(i,j)表示红骰子的点数是i，蓝骰子的点数是j，则样本空间有36个样本点。 而事件A={(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含6个样本点，事件B={(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4, 6)，(5,6)，(6,6)}，也包含6个样本点，事件AUB={(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，(1,6)，(2,6)，(3, 6)，(4,6)，(5,6)}，共包含11个样本点。 由古典概型概率计算公式可得 P(A)=，P(B)=，P(A∪B)=. 此时可发现P(A∪B)≠P(A)+P(B)。 这是什么原因呢？ 样本(6,6)在P(A)、P(B)中各算了一次，且A∩B=。 又P(A∩B)=， 这时可以发现 P(A∪B)=+-=P(A)+P(B)-P(A∩B)。 于是，我们猜测有如下一般概率加法公式： P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。 我们在古典概型的情况下来推导上述加法公式： 设A、B是中的两个事件，如图所示： 由图可以看出，A∪B中的样本点个数等于A中的样本点个数加上B中的样本点个数，并减去A∩B中的样本点个数。 所以 P(A∪B)= = =P(A)+P(B)-P(A∩B)。 在一般概率加法公式中，若= ，即P(AB)=0，则有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。 这就是说，互斥事件的概率加法公式是一般概率加法公式的特殊情形。 练一练： 从1、23、…30中任意选一个数，求这个数是偶数或能被3整除的概率。 解： 设A=“选到偶数”，B=“选到能被3整除的数”， 则A={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30}，共包含15个元素，B={3,6, 9,12,15,18,21,24,27,30}，共包含10个元素， A∩B={6,12,18,24,30}，共包含5个元素，因而 P(A)==，P(B)==，P(A∩B)==， 因此，这个数是偶数或能被3整除的概率为 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=.
典型例题 典型例题 1、某企业有三个分厂，现将男女职工人数统计如下： 若从中任意抽取一名职工，则该职工是女性或是第三分厂职工的概率是多少？ 解： 设A=“抽到女工”，B=“抽到第三分厂职工”，则 P(A)==，P(B)==，P(A∩B)==， 因此，该职工是女性或是第三分厂职工的概率为 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=. 拓展提高 某射箭运动员在次射箭中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这名射箭运动员在一次射箭中命中9环或10环(最高环数)的概率。 解： 将该射箭运动员在一次射箭中“命中10环或9环”记为事件A，将其“命中10环”、 “命中9环”、“命中8环”、“命中不够8环”分别记为事件B、C、D、E，则P(C)=0.28，P(D)=0.19，P(E)=0.29。 因为事件C、D、E彼此互斥， 所以P(C)=P()+P()+P() =0.28+0.19+0.29 =0.76. 又因为事件B与事件C为对立事件，故 P(B)=1-P(C) =1-0.76 =0.24. 而事件B与事件C互斥，且A=BC， 因此P(A)=P(BC) =P(B)+P(C) =0.24+0.28 =0.52 故这名射箭运动员在一次射箭中命中9环或10环(最高环数)的概率为0.52。 学生和教师共同探究完成1个练习题。 通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.
课堂小结 互斥事件概率加法公式； 一般概率的加法公式。

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