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5.3 三角形三边的关系
三角形具有稳定性。这一特性在生活中有着广泛的应用。
两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫作两点间的距离。
三角形任意两边的和大于第三边。如果用a、b、c表示三角形三条边的长度，则有：a+b>c，a+c>b，b+c>a。
例1：用一根40厘米的铁丝刚好围成了一个三角形（接头处忽略不计），这个三角形的最长边不可能是（ ）厘米。
A．15 B．18 C．20
答案：C
分析：三角形任意两边之和大于第三边，所以三角形最长边的长度一定小于三角形周长的一半，据此即可解答。
详解：40÷2＝20（厘米）
这个三角形的最长边不可能是20厘米。
故答案为：C
例2：如果一个三角形的两条边分别是6cm和12cm，那么它的第三条边最长是( )cm，最短是( )cm。（长度取整厘米数）
答案： 17 7
分析：根据三角形三边的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行解答即可。
详解：12－6＜第三边＜12＋6
6＜第三边＜18
因为边的长度为整厘米数，
所以第三条边最长是17cm，最短是7cm。
例3：用三根分别长2厘米、2厘米和5厘米的小棒能摆成一个三角形。( )
答案：×
分析：根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；解答验证即可。
详解：2＋2＜5，所以长2厘米、2厘米和5厘米的三根小棒不能摆成一个三角形。说法错误。
故答案为：×
例4：小明尝试用下面三根小棒围三角形（如下图）。
2cm
4cm
6cm
（1）先判断：小明能围成三角形吗？
请在正确答案后面的□里打√。
我的判断：能□ 不能□
再说明判断的理由：
（2）如果想围成一个三角形，要更换其中一根小棒长度。那么如何换？请写出你的方法。
答案：（1）不能
理由：2＋4＝6（厘米），两个边等于第三个边，不满足条件。
（2）6厘米可以换成5厘米（答案不唯一）
分析：根据三角形三边的关系来解答，两条边长之和大于第三边，两边之差小于第三边。
详解：（1）（厘米）
两边之和等于第三边，所以小明不能围成三角形。
故答案为：不能
（2）将6厘米的小棒换成5厘米的小棒，则：
245
254
452
满足三角形三边关系的条件。
基础过关练
一、选择题
1．在（ ）处建桥可以使小南家到小宇家的距离最近。
A．A B．B C．C
2．一个三角形的两条边分别是6cm和9cm，则这个三角形的第三条边可能是（ ）。
A．2cm B．4cm C．15cm D．17cm
3．下列能组成三角形的线段的长（单位：厘米）是（ ）。
A．10，10，12 B．6，7，1 C．3，3，7 D．2，4，6
4．如果一个三角形的两条边分别是30厘米、40厘米，第三条边的长度要在下面的三个量中选出，只能选（ ）。
A．50厘米 B．80厘米 C．90厘米
5．下面各组小棒中，有一部分被遮住了，其中一定不能拼成三角形的是（ ）。
A． B．
C． D．
6．下面每一组都有3根小棒，其中能围成三角形的是第（ ）组。
A．4cm、3cm、7cm B．9cm、15cm、7cm C．9cm、12cm、2cm
二、填空题
7．如果一个三角形的两条边分别是6cm和12cm，那么它的第三条边最长是( )cm，最短是( )cm。（长度取整厘米数）
8．一个三角形，一条边长9cm，另一条边长5cm，那么第三条边最长是( )，最短是( )。（边长取整厘米数）
9．三角形的两条边分别是4厘米和7厘米，另一条边可能是( )厘米（取整厘米数）。
10．一个三角形中一条边长是3cm，另一条边长是5cm，若第三条边是整厘米数，则第三条边最大是( )cm，最小是( )cm。
11．有4根分别长3厘米、5厘米、2厘米、6厘米的小棒，明明从中取出3根，首尾相连围成一个三角形，这个三角形的周长可能是( )厘米。
三、判断题
12．用三根分别长2厘米、2厘米和5厘米的小棒能摆成一个三角形。( )
13．三根分别长4厘米、5厘米、9厘米小棒能摆成一个三角形。( )
14．有三条线段，一条线段长15厘米，另外两条线段的和大于15厘米，这样的三条线段一定能围成一个三角形。( )
15．用2厘米、2厘米、5厘米的三根小棒可以拼成一个三角形。( )
16．用3cm、4cm、5cm长的三根小棒，可以拼一个三角形。( )
17．用三条线段一定能拼成一个三角形。( )
18．三根长分别是1cm、6cm、7cm的木条不能围成一个三角形。( )
培优提升练
四、解答题
19．小明尝试用下面三根小棒围三角形（如下图）。
2cm
4cm
6cm
（1）先判断：小明能围成三角形吗？
请在正确答案后面的□里打√。
我的判断：能□ 不能□
再说明判断的理由：
（2）如果想围成一个三角形，要更换其中一根小棒长度。那么如何换？请写出你的方法。
20．小明上学走哪条路最近？
21．数学课上，同学们正在进行“剪小棒摆三角形”的探索活动。他们首先尝试把长度为12厘米的小棒剪成三段（三段的长度均为整厘米数），再把这三段首尾相接摆一个三角形。（12厘米长的小棒如下图，图中每个一样长）

（1）淘气想到了两种剪法，如下图（“”表示剪的位置）。按这两种剪法剪开后的小棒能分别摆成三角形吗？如果能，请在括号里画“√”，如果不能，请在括号里画“×”。
①第一种剪法：（ ）
②第二种剪法：（ ）
（2）如果先从小棒左边剪下2厘米长的一段作为三角形的一条边，如下图（“ ”表示剪的位置），要想摆成一个三角形，接下来应该从哪里剪开才能得到三角形的另外两条边？请你在图中画“ ”表示出接下来要剪的位置，并写出你的思考过程。

思考过程：
（3）请你结合以上对“剪小棒摆三角形”的探索，提出一个想继续研究的数学问题。
我提出的数学问题：_________________
22．王老师准备了一条10厘米长的铁丝，用来做一个三角形框架。小明说：如果用这条铁丝围成一个三角形，那么这个三角形的任何一条边一定小于5厘米。小明说得对吗？请你写出小明的思考过程。
23．空调的室外机需要一个支架。王叔叔根据三角形的稳定性决定将其做成三角形形状。已经有两根铝合金，它们的长度分别是7分米和12分米，第三根铝合金最长是多少分米？（取整数）
1．B
分析：根据三角形的特性：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以在点B处建桥小南家到小宇家的距离最近。据此解答即可。
详解：由分析可知，在B处建桥可以使小南家到小宇家的距离最近。
故答案为：B
2．B
分析：三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。
详解：6＋9＝15（cm）
9－6＝3（cm）
第三条边的长度应比15cm短，比3cm长。
A．2cm＜3cm；
B．3cm ＜4cm＜15cm；
C．15cm＝15cm；
D．17cm＞15cm；
这个三角形的第三条边可能是4cm。
故答案为：B
3．A
分析：判断三角形能否构成，关键是看三条线段是否满足：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较。
详解：A．10＋10＝20＞12，两边之和大于第三边，可以组成三角形；
B．1＋6＝7，两边之和等于第三边，不能组成三角形；
C．3＋3＝6＜7，两边之和小于第三边，不能组成三角形；
D．2＋4＝6，两边之和等于第三边，不能组成三角形。
故答案为：A
4．A
分析：根据三角形的特性：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边的差小于第三边，结合题意列出合理的不等式；进行解答即可。
详解：40－30＜第三条边的长度＜30＋40
10＜第三条边的长度＜70
10＜50＜70＜80＜90
第三条边的长度要在下面的三个量中选出，只能选50厘米。
故答案为：A
5．D
分析：根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答。
详解：A．，，，该组数据可以组成三角形；
B．根据图示可知，第三边最长是5厘米，，，该组数据可能组成三角形；
C．根据图示可知，第三边最长是5厘米，，，该组数据可能组成三角形；
D．根据图示可知，第二边、第三边最长都是5厘米，，该组数据不可能组成三角形。
由分析可知：给出的各组小棒中，有一部分被遮住了，其中一定不能拼成三角形的是（）。
故答案为：D
6．B
分析：根据三角形两边之和必然大于第三边，逐项分析即可。
详解：A．3＋4＝7，所以不能围成三角形；
B．9＋7＞15，所以能围成三角形；
C．2＋9＜12，所以不能围成三角形。
故答案为：B
7． 17 7
分析：根据三角形三边的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行解答即可。
详解：12－6＜第三边＜12＋6
6＜第三边＜18
因为边的长度为整厘米数，
所以第三条边最长是17cm，最短是7cm。
8． 13cm 5cm
分析：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；据此解答即可。
详解：9－5＝4（cm）
9＋5＝14（cm）
一个三角形，一条边长9cm，另一条边长5cm，那么第三条边最长是13cm，最短是5cm。
9．8
分析：根据三角形三边关系：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边；进行解答即可。
详解：因为7－4＜第三边＜7＋4，
所以3＜第三边＜11，
即第三边的取值在3～11厘米之间（不包括3厘米和11厘米），
所以第三边可能是8厘米。
10． 7 3
分析：根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；进行解答即可。
详解：因为5－3＜第三边＜5＋3，
所以2＜第三边＜8，
即第三边的取值在2～8cm（不包括2cm和8cm），
因为第三条边是整厘米数，所以第三条边最大是8－1＝7（cm），最小是2＋1＝3（cm）。
11．13或14
分析：任意选3根小棒，只要其中两根的长度之和大于第3根的长度即可组成三角形，据此可知3厘米、5厘米、6厘米这3根小棒可以围成三角形，5厘米、2厘米、6厘米这3根小棒也可以围成三角形，再把3根小棒的长度相加，即可求出其周长。
详解：5＋2＋6
＝7＋6
＝13（厘米）
3＋5＋6
＝8＋6
＝14（厘米）
这个三角形的周长可能是13厘米或14厘米。
分析：熟记三角形的三边关系，根据三边关系先确定3根小棒的长度。
12．×
分析：根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；解答验证即可。
详解：2＋2＜5，所以长2厘米、2厘米和5厘米的三根小棒不能摆成一个三角形。说法错误。
故答案为：×
13．×
分析：三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此判断即可。
详解：4厘米＋5厘米＝9厘米，9厘米＝9厘米；
由此可知，三根分别长4厘米、5厘米、9厘米小棒不能摆成一个三角形。
故答案为：×
分析：熟练掌握三角形三边的关系，是解答本题的关键。
14．×
分析：三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答。
详解：根据分析：一条线段长15厘米，另外两条线段的和大于15厘米，假设另外两条线段分别长17厘米和1厘米，17＋1＝18（厘米），18厘米＞15厘米，而17－15＝2（厘米），2厘米＞1厘米，两边之差大于第三边，这样的三条线段不能围成一个三角形，原题说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查的是三角形三边之间的关系的实际应用。
15．×
分析：根据三角形任意两边之和大于第三边，解答此题即可。
详解：因为2＋2＜5，所以用2厘米、2厘米、5厘米的三根小棒不可以拼成一个三角形。
故答案为：×
分析：熟练掌握三角形的三边关系，是解答此题的关键。
16．√
分析：三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边；据此判断。
详解：3＋4＞5
符合三角形的三边关系，所以用3cm、4cm、5cm长的三根小棒，可以拼一个三角形。
原题说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查三角形三边关系的应用，掌握判断能否组成三角形的方法是看较小的两条边的和是否大于第三条边。
17．×
分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。所以并不是任意三条线段能围成一个三角形的，据此解答。
详解：因为三条线段要组成三角形；
必须任意两条线段之和大于第三条线段，任意两条线段之差小于第三条线段；
比如三条线段分别是2、2、4，2＋2＝4，这样的三条线段并不能拼成一个三角形。
所以原题的说法错误。
故答案为：×
分析：本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键。
18．√
分析：三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。
详解：1＋6＝7，则长1cm，6cm，7cm的三根木条不能围成一个三角形。题干说法正确。
故答案为：√
分析：熟练掌握三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系解决问题。
19．（1）不能
理由：2＋4＝6（厘米），两个边等于第三个边，不满足条件。
（2）6厘米可以换成5厘米（答案不唯一）
分析：根据三角形三边的关系来解答，两条边长之和大于第三边，两边之差小于第三边。
详解：（1）（厘米）
两边之和等于第三边，所以小明不能围成三角形。
故答案为：不能
（2）将6厘米的小棒换成5厘米的小棒，则：
245
254
452
满足三角形三边关系的条件。
20．中间这条路最近
分析：这个图可以看成上下两个三角形，根据三角形三边的关系，任意三角形的两边之和要大于第三条边，据此解答即可。
详解：根据分析可知：小明家到邮局的距离＋邮局到学校距离＞小明家到学校的距离
小明家到商店的距离＋商店到学校距离＞小明家到学校的距离
答：小明上学走中间这条路最近。
21．（1）①×；②√；（2）见详解；（3）两边之差与第三边的关系
分析：（1）根据三角形的特性：三角形任意两边之和大于第三边；进行解答即可。
（2）从小棒左边剪下2厘米长的一段作为三角形的一条边，还剩下12－2＝10厘米，10厘米可以分成：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5，再根据三角形的特性判断。
（3）前面用到了三角形的特性：三角形任意两边之和大于第三边；可联想到继续研究两边之差与第三边的关系（答案不唯一）。
详解：（1）淘气想到了两种剪法，如下图（“”表示剪的位置）。按这两种剪法剪开后的小棒能分别摆成三角形吗？如果能，请在括号里画“√”，如果不能，请在括号里画“×”。
①第一种剪法：
分成了6厘米、5厘米、1厘米的三根小棒，5＋1＝6，不能组成三角形。（×）
②第二种剪法：
分成了4厘米、4厘米、4厘米的三根小棒，4＋4＞4，能组成三角形。（√）
（2）
思考过程：从小棒左边剪下2厘米长的一段作为三角形的一条边，还剩下12－2＝10厘米，10厘米可以分成：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5；
1＋2＜9，不能组成三角形；2＋2＜8，不能组成三角形；2＋3＜7，不能组成三角形；2＋4＝6，不能组成三角形；2＋5＞5，能组成三角形。
（3）我提出的数学问题：两边之差与第三边的关系。
分析：熟悉三角形的三边关系，能够结合题意列出合理的不等式，是解答此题的关键。
22．说得的对；思考过程见详解
分析：三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，此题依此解答即可。
详解：如果三角形中有一条边等于5厘米，10－5＝5（厘米），则另外两边之和就等于5厘米，因此不满足。
如果三角形中有一条边大于5厘米，则另外两边之和就小于5厘米，因此不满足。
如果三角形中有一条边小于5厘米，则另外两边之和就大于5厘米，另外两边之差就小于5厘米，因此满足。
由此可知，这个三角形的任何一条边一定小于5厘米，即小明说得对。
分析：熟练掌握三角形三边的关系，是解答本题的关键。
23．18分米
分析：三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；据此解答。
详解：7＋12＝19（分米），19分米＞18分米
12－7＝5（分米），5分米＜6分米
第三边长度大于6分米小于18分米，最长为18分米
答：第三根铝合金最长是18分米。
分析：掌握三角形三边的关系是解答本题的关键。

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