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5.4 三角形的分类
按角分类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
①三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
②有一个角是直角的三角形是直角三角形。
③有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
按边分类：等腰三角形、等边三角形。
①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②三条边都相等的三角形是等边三角形。
等腰三角形两个底角相等，等边三角形三个角都相等。
等边三角形三条边都相等，三个角都相等。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
例1：下列说法错误的是（ ）。
A．三角形具有稳定性
B．任意一个三角形都至少有两个锐角
C．有一个角是60°的等腰三角形一定是正三角形
D．直角三角形只有一条高
答案：D
分析：根据对三角形的认识分析每一个选项，选出错误选项。
详解：A．稳定性是三角形最明显的特性，选项正确；
B．三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，在这三种三角形中，每种都至少有2个锐角，选项正确；
C．等边三角形是特殊的等腰三角形，每个角都为60°，一定是正三角形，选项正确；
D． 直角三角形也有三条高，选项错误。
故答案为：D
例2：一个三角形的三个内角都是60°，按角分，这是一个( )三角形，按边分，是个( )三角形。
答案： 锐角 等边
分析：我们知道，角分三种，大于90°的角是钝角，等于90°的角是直角，小于90°的角是锐角，据此即可解答；按边分，每个角都是60°，对应每个边都是相等的，据此即可解答。
详解：一个三角形的三个内角都是60°，按角分，这是一个（锐角）三角形，按边分，是个（等边）三角形。
分析：本题主要考查三角形的分类。
例3：在一个三角形中，最大的角是锐角，它有可能钝角三角形。( )
答案：×
分析：当一个三角形中最大的角是锐角，说明这三个角都是锐角。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。而钝角三角形中有一个钝角和2个锐角。据此判断。
详解：在一个三角形中，最大的角是锐角，它是锐角三角形。说法错误。
故答案为：×
例4：观察下面每个三角形的边，它们有什么共同特点？再量一量。
答案：共同特点：每个三角形中，至少有两条边相等，它们都是等腰三角形。
（边的长度见详解）
分析：用直尺分别量出每个三角形的边的长度，找到它们的共同特点。
详解：
共同特点：每个三角形中，至少有两条边相等，它们都是等腰三角形。
基础过关练
一、选择题
1．下列说法错误的是（ ）。
A．三角形具有稳定性
B．任意一个三角形都至少有两个锐角
C．有一个角是60°的等腰三角形一定是正三角形
D．直角三角形只有一条高
2．把一根11分米长的细木条据成3段（每段都是整分米数），围成一个等腰三角形，围成的等腰三角形的底边不可能是（ ）。
A．1分米 B．3分米 C．5分米 D．7分米
3．在5、5、8、8、10的五根小棒中任选三根围成一个等腰三角形，有（ ）种不同的围法。
A．2 B．3 C．4 D．5
4．根据三角形露出的部分，不能判断出这个三角形类型（按角分）的是（ ）。
A． B．
C． D．
5．下图是王阿姨家的等腰三角形置物架，但是底边上放花盆的木板已损坏，现需要更换木板，王阿姨需要更换的木板长度可能为（ ）。

A．1.2米 B．0.4米 C．1.5米
6．如图，点O是线段AB的中点，P点上下移动，所形成的三角形ABP可能是（ ）。
A．等腰直角三角形B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
二、填空题
7．一根铁丝围成一个等腰三角形，其中两条边分别长18厘米和9厘米，这根铁丝长( )厘米。
8．下图共有( )个钝角三角形，( )个直角三角形。
9．一根铁丝围成的平行四边形的邻边分别是12厘米和6厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米；用这根铁丝围成等边三角形的话，边长是( )厘米。
10．如图中共有( )个等边三角形。
11．一个等腰三角形，有两条边分别是6cm和12cm，另一条边是( )cm。
12．丁丁要用三根木棍做一个等腰三角形，已经准备好了长7厘米和15厘米的两根木棍，那么第三根可以准备长( )厘米的木棍。
13．一个三角形的三个内角都是60°，按角分，这是一个( )三角形，按边分，是个( )三角形。
14．一个等腰三角形的周长是27厘米，它的底边长13厘米，那么它的一条腰长( )厘米；如果一个三角形每一个角都是60°，那么它是一个( )。（按边分类）
三、判断题
15．一个等腰梯形可以分成一个平行四边形和一个等腰三角形。( )
16．用4cm和8cm两种长度的线段围一个等腰三角形，围成三角形的周长有两种情况。( )
17．两个完全一样的三角形，可能拼成一个正方形。( )
18．一个三角形有三个内角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。( )
19．三根木棒的长是8dm、8dm、16dm，它们可以搭成一个等腰三角形。( )
20．用一根12cm长的小棒和两根7cm长的小棒首尾相接可以围成一个等腰三角形。( )
培优提升练
四、解答题
21．向林用3个相同的等边三角形拼成了一个梯形（如图），已知这个梯形的周长比3个等边三角形的周长和少10厘米，你知道一个等边三角形的周长是多少毫米吗？
22．王叔叔用一根铁丝围成了一个边长12厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个底边是18厘米的等腰三角形，那么这个三角形的一条腰长是多少厘米？
23．李叔叔要从邮局去学校，走哪条路最近？
24．边长为12厘米的正方形铁丝框，拆开后围成一个等边三角形，这个等边三角形的边长是多少厘米？
25．一根铁丝围成一个边长为25厘米的正方形，如果改围成一个底边长是10厘米的等腰三角形，那么腰长是多少厘米？
26．一个直角三角形的三条边长分别是3厘米、4厘米、5厘米。分别以这三条边为边长画三个正方形，这三个正方形的面积各是多少？

如果直角三角形三条边的边长分别是6厘米、8厘米、10厘米或5厘米、12厘米、13厘米呢？
1．D
分析：根据对三角形的认识分析每一个选项，选出错误选项。
详解：A．稳定性是三角形最明显的特性，选项正确；
B．三角形按角分可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，在这三种三角形中，每种都至少有2个锐角，选项正确；
C．等边三角形是特殊的等腰三角形，每个角都为60°，一定是正三角形，选项正确；
D． 直角三角形也有三条高，选项错误。
故答案为：D
2．D
分析：等腰三角形的两条边长相同，且三角形的两条边的和一定大于第三边，据此作答即可。
详解：A．底边为1分米，腰长为5分米，组成等腰三角形；
B．底边为3分米，腰长为4分米，组成等腰三角形；
C．底边为5分米，腰长为3分米，组成等腰三角形；
D．底边为7分米，另外两条边和为4分米，不能构成三角形。
故答案为：D
3．B
分析：根据三角形的三边关系，及等腰三角形的两腰相等的特点，解答此题即可。
详解：可选5厘米、5厘米、8厘米；8厘米、8厘米、5厘米；8厘米、8厘米、10厘米。共有3种不同的围法。
故答案为：B
分析：熟练掌握等腰三角形的特征，是解答本题的关键。
4．D
分析：三角形中，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，根据各个图形判断出三角形的类型即可解答。
详解：A．图中三角形露出的角是钝角，这个三角形是钝角三角形。
B．根据图中两个已知角可以判断出第三个角也是锐角，两个已知角也是锐角，这个三角形是锐角三角形。
C．图中三角形露出的角是直角，这个角形是直角三角形。
D．图中三角形露出的角是锐角，不能确定另外两个角的类型，所以不能判断出这个三角形的类型。
故答案为：D
5．B
分析：等腰三角形的两条腰相等，均是0.6米。三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边。据此可知，底边应小于（0.6＋0.6）米，据此解答。
详解：0.6＋0.6＝1.2（米）
需要更换的木板长度要小于1.2米。
A．1.2米＝1.2米，不符合要求；
B．0.4米＜1.2米，符合要求；
C．1.5米＞1.2米，不符合要求呢；
故答案为：B
6．D
分析：两腰相等，且有一个角是直角的三角形是等腰直角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；依此选择即可。
详解：A．此时所形成的三角形ABP是等腰直角三角形；
B．此时所形成的三角形ABP是锐角三角形；
C．此时所形成的三角形ABP是钝角三角形；
D．所形成的三角形ABP可能是等腰直角三角形，也可能是锐角三角形，还可能是钝角三角形。
故答案为：D
7．45
分析：等腰三角形的两条腰相等，则第三条边可能是18厘米或者9厘米。根据三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，明确第三条边的长度，再将三条边的长度相加，即可求出这根铁丝的长度，据此作答。
详解：根据上述分析可得：
假设等腰三角形的两条腰为9厘米，则第三条边长18厘米。
9＋9＝18（厘米），则长9厘米、9厘米、18厘米的三条线段不能围成一个三角形。
假设等腰三角形的两条腰为18厘米，则第三条边长9厘米。
18＋18＝36（厘米）＞9厘米
18－18＝0（厘米）＜9厘米
则长18厘米、18厘米、9厘米的三条线段可以18围成一个三角形。
18＋18＋9
＝36＋9
＝45（厘米）
所以一根铁丝围成一个等腰三角形，其中两条边分别长18厘米和9厘米，这根铁丝长45厘米。
8． 2 8
分析：钝角三角形有一个钝角，直角三角形是其中一个角是直角的三角形。找出图中有几个锐角三角形，几个直角三角形。
详解：大长方形对角的连线形成的上下两个三角形为钝角三角形；
以中间线为一条边，左右上下分别形成四个直角，即四个直角三角形，以大长方形的宽和长为三角形的两条边，长方形的两条边互相垂直，即有4个直角三角形。
共有2个钝角三角形，8个直角三角形。
9． 36 12
分析：根据平行四边形的特征，对边平行且相等，平行四边形的周长为相邻两边长度和的2倍，据此解答即可。用这根铁丝围成一个等边三角形，则等边三角形的周长等于这根铁丝的长度，也就等于平行四边形的周长。等边三角形的边长＝周长÷3，据此解答即可。
详解：（12＋6）×2
＝18×2
＝36（厘米）
36÷3＝12（厘米）
即这个平行四边形的周长是36厘米；用这根铁丝围成等边三角形的话，边长是12厘米。
分析：本题考查平行四边形和等边三角形的周长，熟记平行四边形和等边三角形的特征是解题关键。
10．27
分析：根据图形，单个的小三角形有16个，由4个小三角形组成的三角形有7个，9个小三角形组成的大三角形有3个，16个小三角形组成的大三角形有1个，再相加即可求解，据此解答。
详解：单个的小三角形有16个，
由4个小三角形组成的三角形有7个，
9个小三角形组成的大三角形有3个，
16个小三角形组成的大三角形有1个，
（个）
答：如图中共有27个等边三角形。
分析：本题考查等边三角形的特征，熟练掌握并灵活运用。
11．12
分析：根据题意，一个等腰三角形，有两条边分别是6cm和12cm，则有两种可能性，腰为6cm或腰为12cm；即这个等腰三角形的三边长为别是6cm、6cm、12cm或6cm、12cm、12cm；然后根据三角形三边关系中两边之和大于第三边解答即可。
详解：若这个等腰三角形的腰为6cm，根据三角形中两边之和大于第三边，那么两条腰长是6＋6＝12cm，等于第三边，不能组成三角形，因此6cm不能为腰长；若这个等腰三角形的腰为12cm，那么两条腰长是12＋12＝24cm，大于第三边，能组成三角形。
综上所述，一个等腰三角形，有两条边分别是6cm和12cm，另一条边是12cm。
分析：本题主要考查了三角形三边关系的应用。
12．15
分析：等腰三角形的两腰相等，如果7厘米的木棍为腰，则7厘米＋7厘米＜15厘米，不符合三角形任意两边之和大于第三边的要求，所以只能是15厘米的木棍为腰，7厘米的木棍为底，所以第三根可以准备长15厘米的木棍，据此即可解答。
详解：根据分析可知，丁丁要用三根木棍做一个等腰三角形，已经准备好了长7厘米和15厘米的两根木棍，那么第三根可以准备长15厘米的木棍。
分析：先判断用哪根木棍为腰是解答本题的关键。
13． 锐角 等边
分析：我们知道，角分三种，大于90°的角是钝角，等于90°的角是直角，小于90°的角是锐角，据此即可解答；按边分，每个角都是60°，对应每个边都是相等的，据此即可解答。
详解：一个三角形的三个内角都是60°，按角分，这是一个（锐角）三角形，按边分，是个（等边）三角形。
分析：本题主要考查三角形的分类。
14． 7 等边三角形/正三角形
分析：等腰三角形的的两腰相等，因此用这个等腰三角形的周长减底边的长度，然后再除以2，即可计算出它的一条腰长；三个角都相等的三角形是等边三角形，依此填空。
详解：27－13＝14（厘米）
14÷2＝7（厘米）
它的一条腰长7厘米；如果一个三角形每一个角都是60°，那么它是一个等边三角形。
分析：熟练掌握等边三角形和等腰三角形的特点，是解答此题的关键。
15．√
分析：如下图，把一个等腰梯形分成了一平行四边形和一个等腰三角形，据此即可解答。
详解：根据分析可知，一个等腰梯形可以分成一个平行四边形和一个等腰三角形，原说法正确。
故答案为：√
16．×
分析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，据此判断围成等腰三角形的情况。进而判断。
详解：如果腰是4cm，底是8cm：
4＋4＝8，8＝8，不符合三角形三边关系，腰不能是4cm；不能围成腰是4cm的三角形，无法求出周长；
如果腰是8cm，底是4cm：
8＋8＝16，16＞4，符合三角形三边关系，可以围成腰是8cm，底是4cm的三角形，进而求出周长。
由此可知，用4cm和8cm两种长度的线段围一个等腰三角形，围成三角形的周长有一种情况。
原题干说法错误。
故答案为：×
17．√
分析：因正方形的四条边都相等，四个角都是直角，所以两个完全一样的三角形一定是两条边相等，且有一个角是直角，才可拼成一个正方形。据此解答。
详解：要拼成一个正方形，需要两个完全一样的等腰直角三角形，以斜边为公共边来拼。如图：
所以，两个完全一样的三角形，有可能拼成一个正方形，但前提条件是：两个完全一样的等腰直角三角形；所以原题说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查平面图形的拼接，明确正方形的特征是解题的关键。
18．√
分析：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
详解：一个三角形有三个内角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。
故答案为：√
分析：熟记三角形的分类是解题关键。
19．×
分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，即可得出答案。
详解：8＋8＝16（dm）
所以三根长是8dm、8dm、16dm的木棒，不能组成三角形，故题中说法错误。
故答案为：×。
分析：本题主要考查的是三角形的三边关系，求出第三边的取值范围是解题关键。
20．√
分析：根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，再结合等腰三角形的特征判断即可。
详解：因为7＋7＞12，符合三角形的三边关系和等腰三角形的特征，所以原题干说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查三角形的三边关系，明确任意两边之和大于第三边是解题的关键。
21．75毫米
分析：梯形的周长是指梯形一周的长度之和；三角形周长是三角形3条边长度之和；三个边相等的三角形是等边三角形。这个梯形是由3个等边三角形拼成，通过观察可知这个梯形的周长相当于5个等边三角形的边长，3个等边三角形的周长和有（3×3）条这样的边长。这个梯形的周长比3个等边三角形的周长和少的长度就是少的边数和，用少的长度除以少的边数即可求出等边三角形边长，再乘3即可。
详解：10厘米＝100毫米
3×3＝9（条）
9－5＝4（条）
100÷4＝25（毫米）
25×3＝75（毫米）
答：一个等边三角形的周长是75毫米。
22．15厘米
分析：根据题意，先利用正方形的边长×4求出正方形的周长，也是等腰三角形的周长，等腰三角形的两条腰相等，利用周长减去底的长度除以2即可。
详解：12×4＝48（厘米）
（48－18）÷2
＝30÷2
＝15（厘米）
答：这个三角形的一条腰长是15厘米。
分析：本题考查了等腰三角形的特征及周长的应用。
23．答：从邮局→学校最近。
分析：首先观察图形，根据题意可得路线可知：有3条路线：邮局→体育馆→学校；邮局→学校；邮局→图书馆→学校；接下来根据三角形边的关系分析这3条路线，即可得到答案。
详解：从邮局→学校最近，因为三角形任意两边之和大于第三边。
24．16厘米
分析：根据题意可知，正方形的周长与等边三角形的周长相等，12乘4等于正方形的周长，也是等边三角形的周长，再除以3即等于等边三角形的边长，据此即可解答。
详解：12×4÷3
＝48÷3
＝16（厘米）
答：这个等边三角形的边长是16厘米。
25．45厘米
分析：先根据正方形的周长＝边长×4，求出这根铁丝的长度。再根据等腰三角形的腰长＝（周长－底边）÷2进行解答。
详解：25×4＝100（厘米）
（100－10）÷2
＝90÷2
＝45（厘米）
答：腰长45厘米。
分析：本题考查正方形和等腰三角形的周长公式的应用，关键是熟记公式。
26．见详解
分析：分别以直角三角形的三条边为边长画三个正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算，求出这三个正方形的面积，并找出它们面积之间的规律。
详解：直角三角形的三条边长分别是3厘米、4厘米、5厘米；
3×3＝9（平方厘米）
4×4＝16（平方厘米）
5×5＝25（平方厘米）
发现：9＋16＝25（平方厘米）
直角三角形的三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米；
6×6＝36（平方厘米）
8×8＝64（平方厘米）
10×10＝100（平方厘米）
发现：36＋64＝100（平方厘米）
直角三角形的三条边长分别是5厘米、12厘米、13厘米；
5×5＝25（平方厘米）
12×12＝144（平方厘米）
13×13＝169（平方厘米）
发现：25＋144＝169（平方厘米）
答：直角三角形的三条边长分别是3厘米、4厘米、5厘米时，这三个正方形的面积各是9平方厘米、16平方厘米、25平方厘米。
直角三角形的三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米时，这三个正方形的面积各是36平方厘米、64平方厘米、100平方厘米。
直角三角形的三条边长分别是5厘米、12厘米、13厘米时，这三个正方形的面积各是25平方厘米、144平方厘米、169平方厘米。
我发现：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
分析：本题考查正方形面积公式的运用以及直角三角形的特征，计算出各正方形的面积，发现规律。

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