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5.5 三角形的内角和
三角形的内角和是三个内角度数相加的和。
∠1+∠2+∠3=平角=180°三角形的内角和是180度。
三角形的内角和与三角形的大小和形状无关，是三角形的一种本质属性，任意一个三角形的内角和都是180°。
例1：在一个三角形中，如果两个内角度数的和等于第三个内角的度数，那么这个三角形是（ ）。
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形
答案：C
分析：根据三角形的内角和是180°，已知两个内角度数的和等于第三个内角的度数，那么第三个内角的度数是（180°÷2），再根据三角形按角的分类，确定这个三角形的类型。
详解：假设三角形的三个内角分别是∠1、∠2、∠3；
∠3＝∠1＋∠2
∠1＋∠2＋∠3＝180°
∠3×2＝180°
∠3＝180°÷2
∠3＝90°
这个三角形是直角三角形。
故答案为：C
例2：如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的2倍，那么较大的锐角是( )°。
答案：60
分析：根据三角形的内角和是180°，已知直角三角形有一个角是90°，用180°减90°，得到两个锐角的度数和也是90°；因为一个锐角是另一个锐角的2倍，则把一个锐角看作1份，另一个锐角就是2份，两个锐角的度数和就是1＋2＝3（份），用总度数90°除以总份数3，即得到1份的锐角的度数，再乘2即得到较大的角的度数。据此解答。
详解：180°－90°＝90°
90°÷（1＋2）
＝90°÷3
＝30°
30°×2＝60°
所以，较大的锐角是60°。
例3：三角形如果已知有两个角是锐角，就一定是锐角三角形。( )
答案：×
分析：三角形的内角和是180°，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形；依此判断。
详解：在钝角三角形中，假设钝角是91°，则另外两个角的度数之和是：180°－91°＝89°，89°是一个锐角，则另外两个角肯定都是锐角。
在直角三角形中，直角为90°，则另外两个角的度数之和是：180°－90°＝90°，90°是一个直角，则另外两个角肯定都是锐角。
在锐角三角形中，有三个锐角；
由此可知，三角形如果已知有两个角是锐角，则这个三角形可能是钝角三角形，也可能是直角三角形，还可能是锐角三角形。
故答案为：×
分析：解答此题的关键是要熟练掌握三角形的分类标准，以及熟记三角形的内角和度数。
例4：妈妈给小亮买了一个等腰三角形的风筝，它的顶角是100度，它的一个底角是多少度？
答案：40度
分析：等腰三角形的两个底角相等，根据三角形的内角和为180°可知，一个底角＝（180－100）÷2度。
详解：（180－100）÷2
＝80÷2
＝40（度）
答：它的一个底角是40度。
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一、选择题
1．一个三角形中，两个内角的和小于第三个角，这是一个（ ）三角形。
A．锐角 B．直角 C．钝角
2．在一个三角形中，如果两个内角度数的和等于第三个内角的度数，那么这个三角形是（ ）。
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形
3．等边三角形如果按角分类，它是（ ）三角形。
A．直角 B．钝角 C．锐角
4．任意一个三角形都至少有（ ）。
A．一个钝角 B．一个直角 C．两个锐角
5．任何一个钝角三角形中，两个锐角和都（ ）90度。
A．大于 B．小于 C．等于
6．用两个同样的等腰直角三角形，一定不可能拼成（ ）。
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形
二、填空题
7．在一个三角形中，已知两个锐角分别是50°和65°，则第三个角是( )°。这个三角形按角分，它是一个( )三角形；按边分，它是一个( )三角形。
8．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的2倍，那么较大的锐角是( )°。
9．如图，三角形ABC是等腰三角形，根据图中的信息算一算，∠1＝( )°。
10．下图中，∠1＝( )°，∠2＝( )°。
11．直角三角形的一个内角是58°，另外两个内角分别是( )度和( )度。
12．等腰三角形的两个内角之比是2∶5，这个等腰三角形的底角最大可能是( )°。
三、判断题
13．三角形如果已知有两个角是锐角，就一定是锐角三角形。( )
14．如下图，如果把三角形ABC的边BC延长到D点，那么。( )

15．三角形中两个内角和大于第三个内角，这三角形一定是钝角三角形。( )
16．将正方形纸按左图折出一个正三角形，那么∠1＝30°。( )
17．将一张正方形纸对折，得到的图形内角和可能是360°，也可能是180°。( )
18．玲玲画了一个三角形，其中三角形的最小的内角是61°。( )
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四、计算题
19．算出下面各个未知角的度数。
五、解答题
20．埃及金字塔的四个侧面的形状都是等腰三角形，每个等腰三角形的顶角约是52°。金字塔每个侧面的底角大约是多少度？
21．如下图，在正方形中剪去一个等腰直角三角形，剩下五边形的内角和是多少度？（请先在图上画一画，再解答。）
22．在一个直角三角形中，较大锐角的度数是较小锐角的4倍，较大锐角的度数是多少度？
23．公园有一块三角形的草地，草地的最大角是100°，是最小角的4倍，这块三角形草地的第三个角是多少度？按角分类，这块草地是什么三角形？
24．我们研究过三角形和四边形的内角和，如下图：。
请你根据已有经验，画一画，算一算，求出下面这个多边形的内角和。
1．C
分析：0°＜锐角＜90°，直角＝90°，90°＜钝角＜180°，已知两个内角的和小于第三个角，结合三角形内角和等于180°进行判断即可。
详解：A．锐角三角形中，3个角均是锐角＜90°，三个锐角之和是180°，所以任意两个角之和一定大于第三个角，不符合题意；
B．直角三角形中，锐角之和等于直角，一个直角和一个锐角之和大于另一个锐角，不符合题意；
C．钝角三角形中，钝角＞90°，三角形内角和等于180°，所以两个锐角之和小于钝角，符合题意。
故答案为：C
分析：本题考查锐角、直角、钝角的概念，及三角形内角和。
2．C
分析：根据三角形的内角和是180°，已知两个内角度数的和等于第三个内角的度数，那么第三个内角的度数是（180°÷2），再根据三角形按角的分类，确定这个三角形的类型。
详解：假设三角形的三个内角分别是∠1、∠2、∠3；
∠3＝∠1＋∠2
∠1＋∠2＋∠3＝180°
∠3×2＝180°
∠3＝180°÷2
∠3＝90°
这个三角形是直角三角形。
故答案为：C
3．C
分析：三角形的内角和是180°，根据等边三角形的特征可知，等边三角形的3条边相等，3个内角也相等；用内角和除以3，求出等边三角形每个内角的度数，再根据三角形按角的分类方法，确定这个三角形的类型。
三角形按角分为：
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形；
直角三角形：有一个角是直角的三角形；
钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
详解：180°÷3＝60°
等边三角形的3个内角都是60°，如果按角分类，它是锐角三角形。
故答案为：C
4．C
分析：三角形的内角和等于180度，如果一个三角形有两个大于或等于90度的角，那么三角形的内角和就大于180度，所以一个三角形至少有2个锐角，至多有1个钝角或1个直角。
详解：根据分析可知，任意一个三角形至少有2个锐角，至多有1个钝角或1个直角。
故答案为：C
5．B
分析：根据三角形的内角和是180度，钝角三角形中，钝角是大于90度小于180度的角，两个锐角的和一定小于90度。
详解：任何一个钝角三角形中，两个锐角和都小于90度。
故答案为：B
6．C
分析：等腰直角三角形的两腰相等、两个底角也相等，其中一个顶角为90°，那么两个底角分别为（180°－90°）÷2，据此解答。
详解：根据分析：两个底角分别为：
（180°－90°）÷2
＝90°÷2
＝45°
A．等腰三角形两腰相等，那么用两个同样的等腰直角三角形，两个三角形各一个底角拼在一起，可以拼成等腰三角形；
B．直角三角形其中一个角为90°，那么用两个同样的等腰直角三角形，两个三角形各一个底角拼在一起正好是45°＋45°＝90°，所以可以拼成直角三角形；
C．锐角三角形的三个角都是锐角，锐角小于90°，而用两个同样的等腰直角三角形，两个三角形各一个最小的角拼在一起正好是45°＋45°＝90°，所以不能拼成锐角三角形；
那么一定不可能拼成锐角三角形。
故答案为：C
7． 65 锐角 等腰
分析：根据三角形的内角和为180°可知，第三个角的度数是180°－50°－65°＝65°。这个三角形中三个角都是锐角，则这个三角形是锐角三角形。这个三角形中，有两个角大小相等，则这个三角形是等腰三角形。
详解：180°－50°－65°＝65°
在一个三角形中，已知两个锐角分别是50°和65°，则第三个角是65°。这个三角形按角分，它是一个锐角三角形；按边分，它是一个等腰三角形。
8．60
分析：根据三角形的内角和是180°，已知直角三角形有一个角是90°，用180°减90°，得到两个锐角的度数和也是90°；因为一个锐角是另一个锐角的2倍，则把一个锐角看作1份，另一个锐角就是2份，两个锐角的度数和就是1＋2＝3（份），用总度数90°除以总份数3，即得到1份的锐角的度数，再乘2即得到较大的角的度数。据此解答。
详解：180°－90°＝90°
90°÷（1＋2）
＝90°÷3
＝30°
30°×2＝60°
所以，较大的锐角是60°。
9．126
分析：等腰三角形的两个底角相等，顶角是132°，根据三角形的内角和为180°可知，∠ACB＝（180°－132°）÷2。∠ACB和∠1、30°的角组成一个平角，则∠1＝180°－30°－∠ACB。
详解：∠ACB
＝（180°－132°）÷2
＝48°÷2
＝24°
∠1＝180°－30°－∠ACB
＝180°－30°－24°
＝126°
如图，三角形ABC是等腰三角形，根据图中的信息，∠1＝126°。
10． 60 30
分析：观察图可知∠1和120°角组成一个平角，所以∠1＝180°－120°；在直角三角形中，∠1、∠2和直角相加等于180°，∠2＝180°－90°－∠1。
详解：∠1＝180°－120°＝60°
∠2＝180°－90°－∠1＝90°－60°＝30°
下图中，∠1＝（60）°，∠2＝（30）°。
11． 90 32
分析：直角三角形有一个直角和两个锐角，两个锐角的和等于90°，所以90°减58°等于另一个锐角的度数，据此即可解答。
详解：90°－58°＝32°
所以直角三角形的一个内角是58°，另外两个内角分别是90度和32度。
12．75
分析：等腰三角形的两个底角相等，所以当2份的角做底角时，三角形的内角和被分成了2＋2＋5＝9份，当5份的角做底角时，三角形的内角和被分成了2＋5＋5＝12份，据此作答即可。
详解：2＋2＋5＝9
180÷9×2
＝20×2
＝40（度）
2＋5＋5＝12
180÷12×5
＝15×5
＝75（度）
40＜75
这个等腰三角形的底角最大可能是75°。
分析：此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和是180度，注意：在没有说明谁大谁小的情况下应分为两种情况。
13．×
分析：三角形的内角和是180°，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形；依此判断。
详解：在钝角三角形中，假设钝角是91°，则另外两个角的度数之和是：180°－91°＝89°，89°是一个锐角，则另外两个角肯定都是锐角。
在直角三角形中，直角为90°，则另外两个角的度数之和是：180°－90°＝90°，90°是一个直角，则另外两个角肯定都是锐角。
在锐角三角形中，有三个锐角；
由此可知，三角形如果已知有两个角是锐角，则这个三角形可能是钝角三角形，也可能是直角三角形，还可能是锐角三角形。
故答案为：×
分析：解答此题的关键是要熟练掌握三角形的分类标准，以及熟记三角形的内角和度数。
14．√
分析：根据三角形的内角和是180°，所以，把三角形ABC的边BC延长到D点后，和组成一个等于180°的平角，所以，根据这两个算式即可推导出它们之间的关系。
详解：根据分析得，
则
则
所以。
故答案为：√
分析：此题的解题关键是灵活运用三角形的内角和以及平角的意义求解。
15．×
分析：根据三角形的内角和为180°可知，若三角形中两个内角和等于第三个内角，则第三个内角应为180°÷2＝90°。而这个三角形中的任意两个内角之和大于第三个内角，第三个内角应小于90°，即三个内角均小于90°，为锐角。据此解答即可。
详解：若一个三角形中的任意两个内角之和大于第三个内角，则三个内角均为锐角，这个三角形一定是锐角三角形。原题干说法错误。
故答案为：×
分析：解决本题的关键是灵活运用三角形的内角和定理求出三个内角均为锐角，再根据三角形的分类解答。
16．√
分析：正三角形也是等边三角形，三角形的内角和为180°，等边三角形的三个角都相等，因此用180°除以3，即可计算出等边三角形每个内角的度数，正方形中四个角都是直角，1直角是90°，因此用90°减等边三角形其中一个内角的度数即可，依此计算并判断。
详解：180°÷3＝60°
90°–60°＝30°
将正方形纸按左图折出一个正三角形，那么∠1＝30°。
故答案为：√
分析：解答此题的关键是应熟练掌握正三角形的特点，以及熟记三角形的内角和度数。
17．√
分析：将一张正方形纸对折，如果对折后是长方形，长方形每个角都是90°的直角，共有4个角，90°×4＝360°；将一张正方形纸对折，如果对折后是三角形，三角形的内角和为180°；据此解答。
详解：根据分析：将一张正方形纸对折，得到的图形内角和可能是360°，也可能是180°，原题说法正确。
故答案为：√
分析：本题考查的是对直角度数的认识，以及三角形的内角和的实际应用。
18．×
分析：根据题意可知，三角形的最小的内角是61°，则其他两个角大于或等于61°，假设三角形的三个内角都是61°，求出三角形的内角和，再根据三角形的内角和是180°作判断即可。
详解：假设三角形的三个内角都是61°，
61°＋61°＋61°＝183°
因为三角形的内角和是180°
183°＞180°
所以据此可知，三角形的最小的内角不可能是61°。原题干说法错误。
故答案为：×
分析：熟练掌握三角形的内角和是180°是解题的关键。
19．（1）78°；（2）60°；（3）135°；
分析：（1）（3）根据三角形内角和是180°可得，用内角和180°减去另外两个三角形已知的度数，可以求得未知角的度数。
（2）根据三角形内角和是180°和直角是90°可得，用内角和180°减去另外两个三角形已知的度数，可以求得未知角的度数。
详解：（1）180°－（65°＋37°）
＝180°－102°
＝78°
（2）直角＝90°
180°－（90°＋30°）
＝180°－120°
＝60°
（3）180°－（25°＋20°）
＝180°－45°
＝135°
20．64度
分析：等腰三角形的特征：两腰相等，两底角也相等；再根据三角形内角和是180°和一个顶角是52°，先求得两个底角的度数，进而求得它的一个底角的度数。
详解：180°－52°＝128°
128°÷2＝64°
答：金字塔每个侧面的底角大约是64度。
分析：此题根据等腰三角形的特征和三角形的内角和解决。
21．画图见详解；540°；
分析：先将五边形分成3个三角形，一个三角形的内角和为180°，因此五边形的内角和为3个180°，依此画图并计算即可。
详解：画图如下：
180°×3＝540°
答：剩下五边形的内角和是540°。
分析：熟练掌握多边形内角和的计算方法，是解答此题的关键。
22．72°
分析：根据三角形的内角和为180°可知，直角三角形的两个锐角度数和是180°－90°＝90°。较大锐角的度数是较小锐角的4倍，则较小锐角的5倍是90°，较小锐角是90°÷5＝18°。用较小锐角的度数乘4，求出较大锐角的度数。
详解：180°－90°＝90°
90°÷（1＋4）×4
＝90°÷5×4
＝18°×4
＝72°
答：较大锐角的度数是72°。
分析：本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，关键是明确较小锐角的5倍是90°。
23．55°；钝角三角形
分析：先用草地的最大角除以4，即可计算出最小角的度数，三角形的内角和为180°，因此用三角形的内角和度数减最大角的度数后，再减最小角的度数即可，然后再根据三角形按角的分类标准进行解答即可。
详解：100°÷4＝25°
180°－100°－25°＝55°
100°＞90°，因此这草地是钝角三角形；
答：这块三角形草地的第三个角是55°，按角分类，这块草地是钝角三角形。
分析：解答此题的关键是要熟练掌握三角形的分类标准，以及熟记三角形的内角和度数。
24．图见详解过程；720°
分析：通过画线可将正六边形分割成4个三角形，根据一个三角形的内角和为180°，所以正六边形的内角和为180°×4，据此解答即可。
详解：如图所示：
180°×4＝720°
所以这个多边形的内角和是720°。
分析：本题主要考查多边形的内角和，关键利用转化思想，把多边形转化为三角形进行计算。

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