2023-2024学年数学四年级下册同步讲义(人教版)5.6探索多边形的内角和

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2023-2024学年数学四年级下册同步讲义(人教版)5.6探索多边形的内角和

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5.6 探索多边形的内角和
三角形的内角和是180°
两个三角形的内角和是180°+180°=360°
四边形的内角和是360°
多边形所分的三角形的个数总比多边形的边数少2,因此,多边形的内角和=180°×(边数 2)。
例1:如图,将两个三角形各截去∠1,剩下甲、乙两部分,下面选项正确的是( )。
A.甲图形的内角和<乙图形的内角和
B.甲图形的内角和=乙图形的内角和
C.甲图形的内角和>乙图形的内角和
答案:B
分析:三角形的内角和等于180°,四边形的内角和等于360°,观察上图可知,甲、乙两个图形都是四边形,它们的内角和都等于360°,所以甲、乙两个图形的内角和相等,据此即可解答。
详解:根据分析可知,甲、乙两个图形都是四边形,它们的内角和都等于360°。
故答案为:B
例2:观察下图,三角形按角分是一个( )三角形,如果沿着虚线剪下,那么剩下图形的内角和是( )度。

答案: 直角 360
分析:由图可知,AB和BC垂直,这是一个直角三角形;剪去∠C,剩下图形是一个四边形,四边形可以分为两个三角形,三角形的内角和是180°,依此计算。
详解:如图所示:
180°+180°=360°
三角形ABC按角分是一个直角三角形,如果沿着虚线剪下∠C,那么剩下图形的内角和是360度。
例3:把一张平行四边形纸的四个角撕下来拼在一起,形成一个平角。( )
答案:×
分析:四边形的内角和是360°,平行四边形的四个角拼在一起,得到一个360°的角,这个角是周角。据此判断。
详解:把一张平行四边形纸的四个角撕下来拼在一起,形成一个周角。原题说法错误。
故答案为:×
分析:本题关键是明确四边形的内角和是360°。
例4:计算下面未知角的度数。
答案:40°;65°
分析:(1)三角形的内角和是180°,减去图中已知的75°和65°即可求解;
(2)平行四边形的内角和是360°,减去已知的三个角即可求解未知角;
据此解决。
详解:(1)180°-75°-65°
=105°-65°
=40°
(2)360°-115°-115°-65°
=245°-115°-65°
=130°-65°
=65°
基础过关练
一、选择题
1.正方形的内角和( )梯形的内角和。
A.大于 B.等于 C.小于 D.不确定
2.计算多边形的内角和,可以将其分割成若干个三角形,再用“180°×三角形的个数”来计算。下面按照这个思路求五边形内角和的是( )。
A. B. C. D.
3.王刚用下图的方法推理求四边形的内角和,下列算式中正确的是( )。
A. B. C. D.
4.成成用三角形内角和的知识研究五边形的内角和,下面是他想的几种解决方法,正确的有( )种。
① ② ③ ④
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图三角形中减去一个90°的角,剩余部分的图形内角和是( )。
A.90 B.180 C.270 D.360
6.小林运用三角形内角和的知识研究六边形内角和,他画出了右面的思考图,根据图示,下面( )算式能计算出六边形内角和。

A.180°×5 B.180°×6-360° C.180°×5-360° D.180°×5-180°
7.计算六边形的内角和,明明用画图得出了答案,并根据图列出相应算式:180°×6-360°。根据算式判断明明画的图是( )。
A. B. C. D.
二、填空题
8.如图,一个六边形的内角和是720°,试一试,推导出( )°。
9.图中,一副三角板叠放在一起,则∠1=( )°,∠2=( )°。
10.平行四边形具有( )的特性,它的内角和是( )。
11.观察下图,三角形按角分是一个( )三角形,如果沿着虚线剪下,那么剩下图形的内角和是( )度。

12.过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成4个三角形,这个多边形是( )边形,内角和是( )度。
13.如下图,把△ABC纸片裁去△BDE,得到四边形DACE,若∠1=80°,∠2=130°,则∠B=( )°。

14.如下图,已知∠1=30°,则∠2=( )°;沿着虚线剪下这个三角形的直角,剩下部分的内角和是( )°。

三、判断题
15.一个多边形的内角和是900°,它是一个五边形。( )
16.六边形的内角和的度数是四边形的内角和的度数的2倍。( )
17.三个完全一样的三角形拼成了一个梯形,这个梯形的内角和是540度。( )
18.三角形的一个内角是,截去这个角(如图),剩下图形的内角和是。( )
19.一个四边形的内角和是360°,一个五边形的内角和是540°。( )
培优提升练
四、计算题
20.求下面各未知角的度数。
五、解答题
21.在研究“四边形内角和”时,有四位同学表达了他们的学习探究过程。

这四种方法你明白了吗?请你用喜欢的方法探究五边形的内角和,现在图中画一画,再算一算。

22.阅读与解答。
同学们,这个学期我们学习了三角形的内角和是180°,其实三角形不仅有三个内角,也有三个外角哦。
阅读材料:
外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中,∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角,∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少呢?我们一起来研究一下!
因为∠1+∠4=180°,∠2+∠5=180°,∠3+∠6=180° 所以三角形的内角和+外角和=3×180°=540°, 又因为三角形的内角和=180° 所以三角形的外角和=540°-180°=360°。
解答应用:
(1)求四边形的外角和
因为四边形的内角和+外角和=4×180°=720°, 又因为四边形的内角和=360°, 所以四边形的外角和=_____________。
(2)求五边形的外角和
因为五边形的内角和+外角和=_____________, 又因为五边形的内角和=( )°, 所以五边形的外角和=_____________。
(3)请你根据前面的推导过程,完成六边形外角和的探究过程吧!
(4)你发现多边形的外角和有什么规律吗?
________________________________________________________________________________
1.B
分析:结合所学知识可知,四边形的内角和是360°,正方形和梯形均是属于四边形,据此判断即可。
详解:四边形的内角和是360°,正方形和梯形都是四边形,故其内角和均为360°。
故答案选:B
2.C
分析:分割需要从五边形的一个顶点作与它不相邻的顶点的连线即可把五边形分成3个三角形,据此解答。
详解:根据分析:按照这个思路求五边形内角和的是。
故答案为:C
3.B
分析:根据图示可知,四边形的内角和=4个三角形的内角和-360°,三角形的内角和是180°,即,依此解答即可。
详解:王刚用下图的方法推理求四边形的内角和,下列算式中正确的是。
故答案为:B
4.C
分析:①把五边形分成3个三角形,利用三角形内角度数和计算,是正确的;
②把五边形分成一个三角形和一个梯形,利用三角形的内角和定理和梯形的内角和定理计算,是正确的;
③把五边形分成4个三角形,用4个三角形的和减去多出的一个平角,是正确的;
④把五边形分成5个三角形,利用三角形的内角和定理计算,等于5个三角形的内角度数和减去1个周角的度数,而不是减去一个平角,所以是错误,据此解答。
详解:成成用三角形内角和的知识研究五边形的内角和,上面是他想的几种解决方法,正确的有①②③,共3种。
故答案为:C
分析:本题主要考查五边形的内角和求法,熟练掌握并灵活运用。
5.D
分析:根据图示可知,三角形中减去一个90°的角,剩余部分的图形是四边形,利用四边形内角和是360°做题即可;据此解答。
详解:根据分析:如图三角形中减去一个90°的角,剩余部分的图形内角和是360°。
故答案为:D
分析:本题主要考查多边形内角和定理的应用。
6.B
分析:上图把六边形分成了6个小三角形,用6个小三角形内角和减去中间的圆周角的360°,即等于六边形的内角和。
详解:根据分析可知,六边形分成6个三角形:再减去一个周角即可求出六边形的内角和,即180°×6-360°。
故答案为:B
分析:本题主要考查学生的观察和分析能力。
7.D
分析:根据图示可知,图A的计算方法是,六边形的内角和=2个三角形的内角和+1个长方形的内角和;图B的计算方法是,六边形的内角和=五边形的内角和+1个三角形的内角和;图C的计算方法是,六边形的内角和=4个三角形的内角和;图D的计算方法是,六边形的内角和=6个三角形的内角和-1个周角的度数;三角形的内角和是180°,长方形的内角和是360°,五边形的内角和是:(5-2)×180°,1周角是360°,依此选择。
详解:A.此图计算六边形的内角和,列式为:180°×2+360°。
B.此图计算六边形的内角和,列式为:(5-2)×180°+180°。
C.此图计算六边形的内角和,列式为:180°×4。
D.此图计算六边形的内角和,列式为:180°×6-360°。
故答案为:D
分析:熟练掌握多边形内角和的计算方法,是解答此题的关键。
8.360
分析:因为∠1+∠7=180°,∠2+∠8=180°,∠3+∠9=180°,∠4+∠10=180°,∠5+∠11=180°,∠6+∠12=180°,
所以(∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6)+内角和=6×180°,
又因为这个六边形内角和是720°,
所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=6×180°-720°。据此计算。
详解:6×180°-720°
=1080°-720°
=360°
所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°。
9. 15 120
分析:根据题图可知,∠1是由三角板中的45°角与30°角拼成的,是这两个角的度数差,则∠1=45°-30°。四边形的内角和是360°,则∠2=360°-90°-90°-60°。
详解:∠1=45°-30°=15°
∠2=360°-90°-90°-60°=120°
10. 不稳定 360°
详解:平行四边形易变形,具有不稳定的特性,生活中的可伸缩挂衣架、伸缩门、推拉门、升降机等,都是应用了平行四边形的不稳定性,此特性的应用为人们的日常生活提供了方便。
n边形的内角和=(n-2)×180°,平行四边形属于四边形,四边形的内角和是:
(4-2)×180°
=2×180°
=360°
11. 直角 360
分析:由图可知,AB和BC垂直,这是一个直角三角形;剪去∠C,剩下图形是一个四边形,四边形可以分为两个三角形,三角形的内角和是180°,依此计算。
详解:如图所示:
180°+180°=360°
三角形ABC按角分是一个直角三角形,如果沿着虚线剪下∠C,那么剩下图形的内角和是360度。
12. 六 720
分析:先画一个三角形,以三角形的一个顶点为三角形的顶点,画出4个三角形,如图可知,这是一个六边形,因为三角形的内角和是180°,而六边形能被分为4个三角形,所以六边形的内角和是4个180°,计算出180°与4的积即可求出其内角和。
详解:
180°×4=720°
过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成四个三角形,这个多边形是六边形,内角和是720度。
13.30
分析:四边形的内角和为360°,那么∠A+∠C=360°-∠1-∠2;三角形的内角和为180°,那么∠B=180°-(∠A+∠C);据此解答。
详解:根据分析:∠A+∠C=360°-80°-130°=150°,∠B=180°-150°=30°,所以∠B=30°。
分析:掌握多边形的内角和是解答本题的关键。
14. 60 360
分析:三角形的内角和是180度,从图中可知三角形ABC为直角三角形,所以∠2=90°-∠1,沿着虚线剪下这个三角形的直角,剩下部分是一个四边形,四边形内角和是360度,据此解答。
详解:∠2=90°-∠1
=90°-30°
=60°
沿着虚线剪下这个三角形的直角,剩下部分的内角和是360度。
分析:本题考查三角形和四边形的内角和,应熟练掌握并灵活运用。
15.×
分析:n边形的内角和=(n-2)×180°,据此计算即可。
详解:(5-2)×180°
=3×180°
=540°
所以五边形的内角和是540°,故原题说法错误。
故答案为:×
分析:此题主要考查了多边形内角和公式的应用,要熟练掌握。
16.√
分析:如图:六边形的内角和是(180°×4),四边形的内角和是(180°×2)。据此解答。
详解:180°×4=720°
180°×2=360°
720°÷360°=2
六边形的内角和的度数是四边形的内角和的度数的2倍。
故答案为:√
分析:多边形的内角和公式是(n-2)×180°,n表示多边形的边数。
17.×
分析:梯形是个四边形,四边形内角和360度,据此分析。
详解:三个完全一样的三角形拼成了一个梯形,这个梯形的内角和是360度,所以原题说法错误。
故答案为:×
分析:关键是掌握多边形内角和的求法,四边形可以分成两个三角形。
18.×
分析:由图示可知,三角形截去这个角,剩下的图形有4个角,多边形的内角和=(多边形的边数-2)×180°,依此计算并判断。
详解:(4-2)×180°
=2×180°
=360°
由此可知,剩下图形的内角和是360°。
故答案为:×
分析:熟练掌握多边形内角和的计算方法,是解答此题的关键。
19.√
分析:多边形的内角和=(多边形的边数-2)×180°,四边形的边数是4,五边形的边数是5,依此计算并判断。
详解:(4-2)×180°
=2×180°
=360°
(5-2)×180°
=3×180°
=540°
即一个四边形的内角和是360°,一个五边形的内角和是540°。
故答案为:√
分析:熟练掌握多边形的内角和的计算方法是解答此题的关键。
20.;;;
分析:(1)三角形的内角和是,已知三角形其中两个角的度数,求的度数,用减去已知的两个角的度数即可。
(2)从题图中可知,与构成了一个平角,所以。而可根据三角形内角和是求出。
(3)本题根据四边形的内角和是和平角是进行求解。
详解:(1)
(2)
(3)
21.画图见详解;540°
分析:根据观察,这四种方法我明白了,我喜欢用把四边形分成两个三角形,三角形的内角和是180°,所以四边形的内角和是180°×2=360°。同理:把五边形分成3个三角形,那么五边形的内角和是180°×3=540°,据此解答。
详解:画法如下图:

180°×3=540°
答:这四种方法我明白了,我喜欢用把四边形分成两个三角形求内角和的方法,五边形的内角和是540°。
分析:本题考查了根据多边形的内角和的求法。
22.(1)720-360=360°
(2)5×180°=900°;540°;900°-540°=360°
(3)六边形的内角和+外角和=6×180°=1080°
又因为六边形的内角和=720°
所以六边形的外角和=1080°-720°=360°
(4)多边形的外角和都等于360°。
分析:(1)由三角形的外角和计算过程可知,四边形的外角和=四边形的外角和与内角和之和-四边形的内角和。据此解答。
(2)由三角形和四边形的外角和计算过程可知,是几边形,外角和与内角和之和就等于几个180°;五边形的内角和为(5-3)×180°;所以五边形的外角和就是2个180°。
(3)根据三角形、四边形、五边形外角和推导过程,写出六边形外角和推导过程即可。
(4)通过三角形、四边形、五边形、六边形外角和推导过程,可以发现几个图形的外角和都是360°。据此解答。
详解:(1)由分析可知,四边形的外角和为:720°-360°=360°。
(2)由分析可知,五边形的外角和+内角和为:5×180°=900°
五边形的内角和为:
(5-2)×180°
=3×180°
=540°
所以五边形的外角和为:900°-540°=360°
(3)因为六边形的内角和+外角和=6×180°=1080°,
又因为六边形的内角和=(6-2)×180°=4×180°=720°,
所以五边形的外角和=1080°-720°=360°。
(4)根据三角形、四边形、五边形、六边形外角和推导过程可知,多边形外角和都为360°。
分析:本题主要考查运用多边形内角和与平角的特性求多边形的外角和规律,解答此题时要注意根据已有推导入手。

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