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第二单元 因数与倍数
（知识梳理+专项训练）
1、如果a÷b=c（a,b,c均是不为0的自然数），那么，b，c就是a的因数，a就是b和c的倍数。因数和倍数是相互依存的。
2、找一个数的因数的方法
（1）列乘法算式找，根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的每个乘数都是该数的因数。
（2）列除法算式找，用此数除以大于等于1而小于它本身的整数，所得的商没有余数，这些除数和商都是该数的因数。
3、找一个数的倍数的方法
用这个数依次与非零自然数相乘，所得的乘积就是这个数的倍数；也可以用一个非零自然数除以这个数，如果商没有余数，那么被除数就是这个数的倍数。
4、自然数中个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数；个位上是0的数，同时是2和5的倍数。
5、整数中，是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数)，不是2的倍数的数叫做奇数。
6、用一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
7、拓展。
2的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8；
5的倍数的特征：个位上是0或5；
3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数。
综上所述，同时是2，3和5的倍数的特征是个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。
8、一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数(或素数)。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。
9、用“排除法”找100以内的质数：（1）先画去“1”，再画去10以内质数的所有倍数（它们本身除外）这样剩下的数就是100以内的质数。
100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
10、两数之和的的奇偶性。
两个数想加，奇数加奇数的和是偶数，偶数加偶数的和是偶数，奇数加偶数的和是奇数。
奇数+奇数=偶数　奇数+偶数=奇数　偶数+偶数=偶数
11、两数之积的的奇偶性。
奇数×奇数=奇数　奇数×偶数=偶数　偶数×偶数=偶数
12、判断多个自然数之和的奇偶性。
偶数（或奇数）个偶数的和是偶数，偶数个奇数的和是偶数，奇数个奇数的和是奇数。
一、解答题
1．王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了3个足球，售货员说应付134元，王老师认为不对。你能解释这是为什么吗？
2．有153颗糖，分装到包装袋里。每袋装的糖同样多。用哪种包装袋正好装完？
3．车牌号码一共有7位数。其中第一位是省的简称，是汉字。第二位是地市代码，为英文字母。第三至七位是车牌顺序号，是数字或字母。唐老师的车牌号从第三至第七位都是数字，依次是：①既是奇数又是合数的数；②既不是质数也不是合数的奇数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数。聪明的同学，你知道唐老师车牌号的数字部分是多少吗？请写下来。
4．水果店进来一批苹果，每箱有35～40个。售货员想把一箱苹果分装成盒卖，装的时候发现6个装一盒刚好装完，这箱苹果有多少个？
5．五（1）班学生把二十几张书法作品张贴在教室墙壁上。如果每排贴5张，剩余的张数不够贴一排且是一个偶数。这些书法作品有可能是多少张？
6．亮亮把自然数m的最小因数和m的另一个因数相加，发现得数是4，几个小朋友根据亮亮的发现做了以下几种猜测：聪聪：m一定是偶数。明明：m一定是合数。乐乐：m一定是3的倍数。三个小朋友的猜测中，哪些是正确的？请你说明理由。
7．实验小学抽调35名教师分别到甲、乙两个社区参加创城志愿者服务活动。如果抽调到甲社区的教师人数为奇数，那么抽调到乙社区的教师人数为奇数还是偶数？如果抽调到甲社区的教师人数为偶数呢？请分这两种情况，用你喜欢的方式（如文字、算式、列表等）说明理由。
8．乐乐绘制了一幅山水画，这幅山水画是长方形，且长和宽都是质数，而且这幅画的周长是36分米，这幅山水画的面积可能是多少平方分米？
9．实验小学的长方形花圃里有几行玫瑰，每行的棵数都相等。下面是三位小朋友数出的总棵数，其中只有一个小朋友数对了，这个小朋友是谁呢？说明理由。
10．图书管理员在书店买了一些《数学故事》和《科学探索》，给了售货员100元，售货员找回了27元，你认为找回的钱对吗？说说你的理由。
。
11．妈妈只买了如图中的这一种饮料，给了售货员100元，找回24元。找的钱对吗？为什么？
12．为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域指定了一个长方形场地作为专用停车场。规划后发现这个场地的长和宽的数值正好都是质数，并且周长是36米，这个长方形停车场的面积最大是多少平方米？
13．把20个月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多（每盒最少2个），有几种装法？每种装法各需要几个盒子？
14．慧慧和宁宁带100元钱去玩具店购物，她们选了一些好玩的竹蜻蜓和水枪，结账时售货员找给她们75元。售货员找的钱对吗？为什么？
15．30名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，乙队人数为奇数还是偶数？如果甲队人数为偶数呢？
16．新新小学五一班有40名同学，现在派他们到2个社区参加创卫活动，每个社区只能派质数名同学，并且2个社区的人数相差最少。分派到2个社区的学生数分别是多少？
17．你知道下面的数各是多少吗？
18．实验小学学校植物园里种植了若干行的月季花，每行的月季花的棵数是相同的。如表是几位一年级同学数出的月季花总棵数，其中只有一位同学数对了，聪明的你知道他是谁吗？说明理由。
陈明 王一 许强 张雪
41棵 43棵 45棵 47棵
19．秦始皇兵马俑是世界文化遗产，其中二号俑坑中部有264个步兵俑。如果3个3个地数，能正好数完吗？如果5个5个地数呢？为什么？
20．中秋节是我国重要的传统节日之一，又因月圆象征着团圆，被称为团圆节。中秋节有祭月、赏月、吃月饼、玩花灯、赏桂花、饮桂花酒等民俗，经久不息。
（1）中秋节到了，淘气一家要回家和奶奶一起过节，他们去超市买些月饼带回家。如图有两款月饼，这两款月饼哪个更划算？
（2）中秋之夜，淘气一家围坐在一起吃团圆饭。饭后奶奶拿出洗好的水果，淘气无论3个3个地数，还是5个5个的数，都多1个，奶奶洗的水果的个数在20～40之间。奶奶可能洗了多少个？
21．张老师在体育用品店买了3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了，售货员说应付139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。
22．用一根40厘米的铁丝围成一个长方形，要求它的长和宽都是整厘米数，且长和宽一个质数，一个是合数。围成的长方形的面积最大可能是多少？
23．小欣在文体店买了一些中国风杯垫和山水画书签，中国风杯垫10元1个，山水画书签5元1个，小欣给了售货员50元，找回17元，你能很快地帮小欣判断找回的钱对不对吗？说说你的方法。
24．一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数字既是奇数又是合数，它的百位数字是1，它的个位数字是最小的质数，这个四位数是多少？写出所有可能的情况。
25．小明到爷爷办的养牛场去玩。小明问：“爷爷，这里有多少头奶牛呢？"爷爷说：“这群奶牛，4头4头地数，多3头；6头6头地数，多5头；15头15头地数，多14头。而且这群奶牛的数量在150~200 头之间。你计算一下，这群奶牛有多少头？”
参考答案
1．见详解
【分析】3的倍数特点是各个数位上的数字相加，和是3的倍数，那这个数就是3的倍数。
【详解】根据“总价÷数量＝单价”，134÷3＝单价，1＋3＋4＝8，8不是3的倍数，所以134不是3的倍数，因此，王老师认为不对。
【分析】考查3的倍数特点，知道3的倍数特点是各个数位上的数字相加，和是3的倍数，那这个数就是3的倍数。
2．每袋装3颗的包装袋正好装完。
【分析】根据2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数，据此解答即可。
【详解】因为1＋5＋3＝9，9是3的倍数，所以153是3的倍数，也就是每袋装3个正好装完。
答：每袋装3颗的包装袋正好装完。
【分析】本题考查2、3、5的倍数，明确2、3、5的倍数特征是解题的关键。
3．91274
【分析】根据奇数、偶数、质数和合数的定义可知：①既是奇数又是合数的数是9；②既不是质数也不是合数的奇数是1；③既是质数，又是偶数的数是2；④10以内最大的质数是7；⑤最小的合数是4；据此解答即可。
【详解】由分析可知：
唐老师车牌号的数字部分是91274。
【分析】本题考查奇数、偶数、质数和合数，明确它们的定义是解题的关键。
4．36个
【分析】一箱苹果分6个装一盒，刚好装完，说明这箱苹果的个数是6的倍数，只要求出35～40之间6的倍数即可。据此解答。
【详解】40÷6＝6……4
6×6＝36
答：这箱苹果有36个。
【分析】本题考查了倍数的认识和求法，关键是利用最小的倍数翻倍。
5．22、24、27或29张
【分析】
一共二十几张书法作品，一排贴5张，剩余的张数不够贴一排且是一个偶数，那么剩余张数有可能是2张或4张，用5乘4及5×5加上2、4即可得出作品可能有多少张。
【详解】5×4＝20（张）
5×5＝25（张）
20＋2＝22（张）
20＋4＝24（张）
25＋2＝27（张）
25＋4＝29（张）
答：这些书法作品有可能是22、24、27或29张。
6．乐乐；见详解
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
根据题意可知，任何自然数的最小因数都是1，1和m的另一个因数的得数是4，由此可得出m的另一个因数是3，也就是说m是3的倍数，再与每个小朋友的猜测对比，得出谁的猜测是正确的。
【详解】乐乐的猜测是正确的。
因为任何自然数的最小因数都是1，m的另一个因数是4－1＝3，所以m的另一个因数是3，也就是说m一定是3的倍数。
假设m＝3，则m是奇数，且是质数，所以聪聪和明明的猜测都不正确；
因为m的因数中有3，则m一定是3的倍数，所以乐乐的猜测是正确的。
【分析】本题考查3的倍数特征及偶数、合数、质数的认识。
7．偶数；奇数；理由见详解
【分析】由运算性质的奇偶性可知，奇数与奇数的差为偶数，奇数与偶数的差为奇数，假设出抽调到甲社区的教师人数，求出抽调到乙社区的教师人数，最后判断乙社区的教师人数为奇数还是偶数，据此解答。
【详解】情况1：假设抽调到甲社区了15人。
35－15＝20（人）
因为20为偶数，所以当抽调到甲社区的教师人数为奇数时，抽调到乙社区的教师人数为偶数。
情况2：假设抽调到甲社区了10人。
35－10＝25（人）
因为25为奇数，所以当抽调到甲社区的教师人数为偶数时，抽调到乙社区的教师人数为奇数。
答：如果抽调到甲社区的教师人数为奇数，那么抽调到乙社区的教师人数为偶数，如果抽调到甲社区的教师人数为偶数，那么抽调到乙社区的教师人数为奇数。
【分析】熟练掌握奇数和偶数的运算性质是解答题目的关键。
8．77或65平方分米
【分析】长方形周长÷2＝长与宽的和，再结合除了1和它本身以外不在有其他因数，这样的数叫质数，据此将长宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积即可。
【详解】36÷2＝18（分米）
18＝11＋7＝13＋5
11×7＝77（平方分米）
13×5＝65（平方分米）
答：这幅山水画的面积可能是77或65平方分米。
9．小丽；理由：见详解
【分析】由题意可知，实验小学的长方形花圃里有几行玫瑰，每行的棵数都相等，则玫瑰的总棵树应该是一个合数，再根据合数的定义进行解答即可。
【详解】83的因数只有1和83，所以83是质数；
87的因数有1，3，29，87，所以87是合数；
89的因数只有1和89，所以89是质数。
答：玫瑰的棵数是一个合数，所以这个小朋友是小丽。
【分析】本题考查合数，明确合数的定义是解题的关键。
10．不对；见详解
【分析】由题意可知，买这些书共花了100－27＝73元，《数学故事》和《科学探索》的价格都是5的倍数，所以不管买多少本《数学故事》和《科学探索》，所花的钱一定是5的倍数，再结合5的倍数特征进行解答即可。
【详解】100－27＝73（元）
73不是5的倍数
答：找回的钱不对，因为73不是5的倍数。
【分析】本题考查5的倍数，明确所花的钱一定是5的倍数是解题的关键。
11．不对；见详解
【分析】
饮料单价是5元，那么只买这种饮料，需要花的钱数是5的倍数。妈妈给了售货员100元，那么找回的钱数也应是5的倍数。据此解题。
【详解】答：不对；因为每瓶饮料5元，妈妈只买了一种饮料，所以所花的钱数应该是5的倍数，钱数的末尾应该是0或5，找回的钱数末尾也应该是0或5，不会是4，所以找错了。
12．77平方米
【分析】根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，据此求出长方形的长与宽的和，然后根据质数的定义找出长方形的长与宽，最后根据长方形的面积公式：S＝ab，据此解答即可。
【详解】36÷2＝18（米）
18＝7＋11＝5＋13
5×13＝65（平方米）
11×7＝77（平方米）
65＜77
答：这个长方形停车场的面积最大是77平方米。
【分析】本题考查质数，结合长方形的面积和周长公式是解题的关键。
13．5种；见详解
【分析】
先列举出20的所有因数，这些因数就是每盒装月饼的个数，结合“每盒最少2个”的要求，排除每盒装1个的装法，进而得出不同的装法，据此解答。
【详解】20的因数有：1，2，4，5，10，20；
每盒最少2个，装法有：
①每盒装2个，装10盒；
②每盒装4个，装5盒；
③每盒装5个，装4盒；
④每盒装10个，装2盒；
⑤每盒装20个，装1盒；
一共有5种装法。
答：有5种装法，分别是①每盒装2个，装10盒；②每盒装4个，装5盒；③每盒装5个，装4盒；④每盒装10个，装2盒；⑤每盒装20个，装1盒。
14．不对；理由见详解
【分析】由奇数和偶数的运算性质可知，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，无论购买几个竹蜻蜓，所需的钱数都是偶数，同理可得，购买水枪的钱数也是偶数，那么购买两种玩具需要的总钱数一定也是偶数，两人带的总钱数是偶数，偶数－偶数＝偶数，所以最后售货员找回的钱数应该是偶数，据此解答。
【详解】100－（10×水枪的数量＋2×竹蜻蜓的数量）
＝100－（偶数＋偶数）
＝100－偶数
＝偶数－偶数
＝偶数
因为找回的钱数一定是偶数，而75是奇数，所以售货员找的钱不对。
答：售货员找的钱不对，因为找回的钱数应该是偶数但75是奇数。
【分析】熟练掌握奇数和偶数的运算性质是解答题目的关键。
15．奇数；偶数
【分析】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，解答即可。
【详解】30是偶数，如果甲队人数为奇数，那么乙队也为奇数；如果甲队人数是偶数，那么乙队人数也是偶数。
16．17和23名
【分析】试算出两个质数相加等于40，再进行减法运算，找出相差最少的两个质数。据此解答。
【详解】3＋37＝40（名）
37－3＝34（名）
11＋29＝40（名）
29－11＝18（名）
17＋23＝40（名）
23－17＝6（名）
34名＞18名＞6名
答：派到两个社区的学生分别是17和23名。
【分析】用试算法找出两个质数的和是40的两个质数，再进行差的运算，找出相差最少的两个质数，本题即可解答。
17．3和7；13和7；最小质数2，最小合数4。
【分析】只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身之外还有别的因数的数是合数，由此找出符合题意的数即可。
【详解】3＋7＝10，3×7＝21，3和7都是质数，所以这组数是3和7；
13＋7＝20，13×7＝91，13和7都是质数，所以这组数是13和7；
最小的质数是2，最小的合数是4。
18．这位同学是许强。
【分析】根据找一个数的因数的方法：找配对如：41＝1×41，所以41的因数有：1、41；43＝1×43，所以43的因数有：1、43；45＝1×45、45＝5×9，所以45的因数有：1、5、9、45；47＝1×47，所以47的因数有：1、47；结合题意可知只有许强数对了。
【详解】经过查找，只有45÷5＝9，表示共5行，每行植9棵；或共9行，每行植5棵，故这位同学是许强。
答：这位同学是许强。
【分析】此题考查了找一个数的因数的方法的应用。
19．3个3个地数，能，264是3的倍数；5个5个地数，不能， 264不是5的倍数
【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。
步兵佣如果是3的倍数，能正好数完，不是则不能；步兵佣如果是5的倍数，能正好数完，不是则不能，据此分析。
【详解】2＋6＋4＝12
264是3的倍数。
个位上的数字是0或5的数是5的倍数，264不是5的倍数。
答：3个3个地数，能正好数完，因为264是3的倍数；5个5个地数，不能正好数完，因为264不是5的倍数。
20．（1）一盒六个的月饼更合适。
（2）31个
【分析】（1）用买一盒月饼需要的钱数，除以每盒的月饼数，求出两种盒子中每块月饼需要多少钱，哪种盒子中月饼单价低，就是哪款月饼划算。
（2）无论3个3个地数，还是5个5个的数，都多1个，并且个数在20～40之间，可以分别写出20～40之间3的倍数和5的倍数，因为无论怎么数都多1，所以是3和5共同的倍数再加上1，即为奶奶洗的个数。
【详解】由分析可得：
（1）39.8÷4＝9.95（元）
56.46÷6＝9.41（元）
9.95＞9.41，
答：一盒六个的月饼更合适。
（2）20～40之间3的倍数：21、24、27、30、33、36、39；
20～40之间5的倍数：20、25、30、35、40；
3和5共同的倍数为30，所以水果数量为：
30＋1＝31（个）
答：奶奶可能洗了31个。
【分析】本题考查了小数除法和倍数的灵活运用，解题的关键是能找出一定数值中3和5的共同的倍数。
21．售货员说得不对，因为139不是3的倍数。
【分析】根据3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。进行分析得出答案。
【详解】139元，1＋3＋9＝13，13不是3的倍数。
答：售货员说得不对，因为139不是3的倍数。
22．99平方厘米
【分析】根据长方形的周长公式，可得长＋宽＝40÷2＝20厘米，再根据质数和合数的定义，质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。找出符合要求的质数和合数，最后利用长方形的面积公式即可得解。
【详解】40÷2＝20（厘米）
长和宽的米数是由一个质数和一个合数组成的。
20＝2＋18＝5＋15＝9＋11
2×18＝36（平方厘米）
5×15＝75（平方厘米）
9×11＝99（平方厘米）
36＜75＜99
答：它的面积最大是99平方厘米。
【分析】此题主要考查质数和合数的定义以及长方形的周长、面积的计算方法。
23．不对，买若干个中国风杯垫和山水画书签的总钱数一定是5的倍数，个位上一定是0或5，则找回的钱的个位上也一定是0或5，所以找回17元不对。
【分析】中国风杯垫10元1个，山水画书签5元1个，小欣买两种物品的钱一定是5的倍数，根据5的倍数特征：个位上是0或5的是5的倍数。据此可判断小欣找回的钱是否正确，据此可得出答案。
【详解】小欣买两种物品的价钱应是5的倍数，根据5的倍数特征，付出的钱只能个位上是0或5；小欣给了售货员50元，则找回来的钱数应该个位也是0或5，不会找回17元。
答：小欣找回的钱不对；小欣买两种物品的价钱是5的倍数，则拿出50元。找回的钱也应该是5的倍数，所以不可能找回17元。
24．9102、9132、9162、9192
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此解答。
【详解】10以内（不包括10）的奇数有1、3、5、7、9，合数有4、6、8、9；所以既是奇数又是合数的数是9，即千位上的数是9；
百位上的数是1；
最小的质数是2，即个位上的数是2；那么这个四位数就能被2整除；
十位上是0时，9＋1＋0＋2＝12，12是3的倍数，满足条件；
十位上是1时，9＋1＋1＋2＝13，13不是3的倍数，不满足条件；
十位上是2时，9＋1＋2＋2＝14，14不是3的倍数，不满足条件；
十位上是3时，9＋1＋3＋2＝15，15是3的倍数，满足条件；
十位上是4时，9＋1＋4＋2＝16，16不是3的倍数，不满足条件；
十位上是5时，9＋1＋5＋2＝17，17不是3的倍数，不满足条件；
十位上是6时，9＋1＋6＋2＝18，18是3的倍数，满足条件；
十位上是7时，9＋1＋7＋2＝19，19不是3的倍数，不满足条件；
十位上是8时，9＋1＋8＋2＝20，20不是3的倍数，不满足条件；
十位上是9时，9＋1＋9＋2＝21，21是3的倍数，满足条件；
所以十位上的数是0、3、6、9，均符合题意。
答：这个四位数是9102、9132、9162、9192。
【分析】此题主要考查偶数与奇数、质数与合数的意义以及2、3的倍数的特征。
25．179头
【分析】根据题意可知，奶牛的数量是比15的倍数多14，奶牛的数量在150~200 头之间，据此先找出符合的数；然后判断这些数是否符合比4的倍数多3，且是否符合比6的倍数多5；据此解答。
【详解】比15的倍数多14，且在150~200之间的数有：
15×10＋14
＝150＋14
＝164
15×11＋14
＝165＋14
＝179
15×12＋14
＝180＋14
＝194
164÷4＝41
164不符合题意；
179÷4＝44……3
179÷6＝29……5
179符合题意；
194÷4＝48……2
194不符合题意。
答：这群奶牛有179头。
【分析】本题可从“比15的倍数多14”推导出符合另外两种情况的数。

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