2023-2024学年五年级下册数学期中专项讲义(苏教版)第三单元-因数与倍数(知识梳理+专项训练)(含答案)

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2023-2024学年五年级下册数学期中专项讲义(苏教版)第三单元-因数与倍数(知识梳理+专项训练)(含答案)

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第三单元 因数与倍数
(知识梳理+专项训练)
1、求一个数的因数的方法。
(1)利用写“乘法算式”的方法来找一个数的因数,就是看这个数能写成哪两个整数相乘的形式,这些整数就是这个数的 因数。
(2)一个数的因数的个数是有限的,一个数的最小的因数是1,最大的因数是它本身。
2、求一个数的倍数的方法。
(1)求一个数的倍数,可以用这个数分别乘1、2、3、4......
(2)一个数的倍数的个数是无限的,一个数的最小倍数是它本身,没有最大的倍数。
3、2、5的倍数的特征。
(1)个位上的数字是5或0的数是5的倍数。个位上的数字是2、4、6、8或0的数是2的倍数;
(2)是2的倍数的数叫作偶数,不是2的倍数的数叫作奇数;
(3)个位上的数字是0的数,既是2的倍数,又是5的倍数。
4、3的倍数的特征。
把一个数的各个数位上的数字加起来,如果所得的和是3的倍数,那么这个数就是3的倍数。
5、质数和合数的意义。
一个数只有1和它本身两个因数,这样的数叫作质数。一个数除了1和它本身意外还有别的因数,这样的数叫作合数。1既不是质数,也不是合数。
最小的质数是2,最小的合数是4。
6、公因数的含义。
几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。
7、求公因数、最大公因数的方法。
(1)求两个数的公因数,可以用列举法先找出每个数的因数,再找出两个数的公因数;也可以先找一个数的因数,再从这个数的因数中找出另一个数的因数。
(2)两个数的公因数的个数是有限的,其中最大的公因数叫作这两个数的最大公因数。
8、公倍数的含义。
两个自然数公有的倍数叫作这两个自然数的公倍数。一个数的倍数是最小的,但没有最大的,故两个自然数的公倍数的个数是无限的。
9、求两个数的公倍数和最小公倍数的方法。
用列举法可以找出两个数的公倍数和最小公倍数,先列举出较大数的倍数,再从较大数的倍数中找出较小数的倍数,确定这两个数的公倍数及最小公倍数。
一、解答题
1.小明家卫生间的地面是一个长3米、宽2.4米的长方形,如果给卫生间的地面铺上地砖,选择下面哪种规格的地砖能正好铺满?请简要说明理由。
2.五年级1班排队做课间操,若每排站8人,则多2人;若每排站10人,则多2人,这个班至少有多少人?
3.五(1)班的同学们排队做操,排成9人一队,还缺4人,排成15人一队,还是缺4人,五(1)班同学最少有多少人?
4.一条跑道长96米,原来从起点到终点每隔3米插一面红旗,现在改成每隔4米插一面红旗,不需要移动的红旗有几面?
5.端午节是我国的传统节日,人们有吃粽子的习俗。今年端午节,小红家包了许多粽子,妈妈先把30个肉粽平均分给几家邻居,接着又把18个蜜枣粽平均分给了这几家,都正好分完。这些粽子最多分给了几家邻居?
6.兰花、菊花分别是花中四君子之一。兰花不竞繁华,空谷幽香;菊花隐逸远世,鬓染秋霜。兰花每12天浇一次水,菊花每8天浇一次水。张阿姨4月28日给兰花和菊花同时浇了水,下一次再给这两种花同时浇水应是几月几日?
7.甲、乙两人做抽卡片游戏,每人从卡片2、4、6、7中任意抽取一张。如果它们的和能被2整除,则甲获胜;如果它们的和能被3整除,则乙获胜。如果和既能被2整除又能被3整除,或者既不能被2整除又不能被3整除则重来。谁胜的可能性大?为什么?
8.63个小朋友参加表演,如果每5个小朋友分成一组,那么至少再来几个小朋友才能正好分完?如果既能平均分成五组又能平均分成两组,那么至少要去掉几个小朋友?
9.小丽到文具店买日记本,日记本的单价已看不清楚,她买了3本日记本,售货员阿姨说应付15.2元,小丽认为不对,你能解释这是为什么吗?
10.五年级学生排队做操,每行15人或每行18人,都没有剩余。已知这个年级的人数在200~300之间,五年级一共有学生多少人?
11.五年级(1)班学生人数在40~60之间。参加植树活动时,如果每4人一组或6人一组都刚好分完而且无剩余。这个班有多少人?
12.五星广场是1路和4路公共汽车的起点站,1路车每15分钟发一次车,4路车每25分钟发一次车。这两路公共汽车从早上6:00同时发车后,下次同时发车是几时几分?(列表找出答案)
1路车 6:00
4路车 6:00
答:
13.两根钢管,一根长35米,另一根长21米,把它们锯成同样长的管子且没有剩余,每段管子最长是多少米?一共可以锯几段?
14.体育老师买来60瓶可乐和72瓶矿泉水,把它们分别平均分给了几个训练小组,正好全部分完。请你算一算最多有几个训练小组?每个小组分得两种饮料各多少瓶?
15.在252米长的直路上挂红、蓝、紫三种颜色的灯笼,蓝灯笼每隔6米挂一个,紫灯笼每隔9米挂一个。如果蓝灯笼和紫灯笼重复的地方就改挂一个红灯笼,那么除两端外,中间挂有多少个红灯笼?
16.某社区广场舞队由60人组成,跳舞时要排成一个长方形的队形,要求每行或每列的人数都不能少于5人,共有几种排法?试着写一写。
17.大赛组委会把46本编程图书和37个益智玩具分别平均分给一等奖获得者,结果编程图书少2本,益智玩具剩1个,那么最多有多少位同学获得一等奖?
18.把一张长18厘米、宽12厘米的长方形纸裁剪成大小相同的正方形,要求正方形尽可能大且纸没有剩余。一共可以剪多少个这样的正方形?
19.小红准备把一张长42厘米,宽36厘米的长方形纸剪成一些大小相同的正方形,要求没有剩余。正方形的边长最多是多少厘米?可以剪几个这样的正方形?
20.某旅行社有甲、乙两位客人,星期二晚同住一客房。已知甲每3天来住一次,乙每4天来住一次。问下次再同住一客房要过多少天?这天是星期几?
21.王明过生日,妈妈买来16块小蛋糕和30块饼干平均分给王明和他的朋友们,结果小蛋糕少了2块,饼干多了3块。王明最多一共来了多少个朋友?
22.有一包糖果,无论是平均分给12个小朋友,还是平均分给15个小朋友,都正好分完。这包糖里至少有多少颗?
23.同学们做了24朵红花和56朵黄花,把这些花分成相同的若干束,最多可以分成几束?每束里红花和黄花各有几朵?
24.某小学组织学生参加“童心追梦”团体操比赛,所有队员排成一个方阵。每行站12人和每行站15人都没有剩余,已知总人数在280-350之间。算一算,这个方阵一共有多少人?
25.五、六年级学生去春游,五年级去了64人,六年级去了96人,要把每年级去的学生都分成若干小队,每队人数相等且不超过20人,每队最多有多少人?共分成几队?
参考答案
1.6分米;理由见详解
【分析】根据题意,要将正方形地砖铺满长方形的区域,找到长和宽的公因数作为正方形的边长,则可正好铺满,据此解答。注意地砖的边长以分米为单位,可先将所有单位换算为分米,1米=10分米。
【详解】3米=30分米
2.4米=24分米
30的因数有:1、2、3、5、6、10、15、30;
24的因数有:1、2、3、4、6、8、12、24;
30和24的公因数有:1、2、3、6;
5不是30和24的公因数,6是30和24的公因数,所以选边长是6分米的正方形地砖能正好铺满;
答:选边长是6分米的正方形地砖能正好铺满,因为6是30和24的公因数。
2.42人
【分析】根据题意,求出8和10的最小公倍数,再加上2即可;用质因数分解法可以求两个数的最小公倍数,全部公有的质因数和各自独立的质因数,它们连乘的积就是这两个数的最小公倍数;据此解答。
【详解】8=2×2×2
10=2×5
所以8和10的最小公倍数是:
2×2×2×5
=4×2×5
=8×5
=40
40+2=42(人)
答:这个班至少有42人。
【分析】此题考查了最小公倍数的应用,解答可以用质因数分解法,也可以用短除法。
3.41人
【分析】五年级同学最少有多少人,即求9和15的最小公倍数少4人,先求出9和15的最小公倍数,然后减去4即可。
【详解】9=3×3
15=3×5
所以9的和15的最小公倍数是
3×3×5
=9×5
=45
45-4=41(人)
答:五(1)班同学最少有41人。
【分析】明确要求的问题即求比9和15的最小公倍数少4的数,是解答此题的关键。
4.9面
【分析】3和4的最小公倍数是12,所以每12米有1面红旗不需要移动,96÷12+1=9(面),注意不能遗漏第1面!
【详解】3和4的最小公倍数是12
96÷12+1
=8+1
=9(面)
答:不需要移动的红旗有9面。
5.6家
【分析】由题意“30个肉粽平均分给这几家和18个蜜枣粽平均分给这几家都正好分完”最多分给了几家邻居可知:实际上是在求30和18的最大公因数,先把30和18进行分解质因数,根据求两个数的最大公因数的方法:即这两个数的公有质因数的连乘积;进行解答即可。
【详解】30=2×3×5
18=2×3×3
18和30的最大公因数:2×3=6
答:这些粽子最多分给了6家邻居。
【分析】解答该题关键是会求两个数的最大公因数,并用它解决实际问题。
6.5月22日
【分析】兰花每12天浇一次水,菊花每8天浇一次水,可知张阿姨给兰花和菊花同时浇了水的日子是6的倍数也是8的倍数,即是6和8的公倍数的时间,要求至少就是求6和8的最小公倍数,据此解答即可。
【详解】12=2×2×3
8=2×2×2
所以12和8的最小公倍数是
2×2×2×3
=4×2×3
=8×3
=24
2+22=24(天)
答:下一次再给这两种花同时浇水应是5月22日。
【分析】这道题主要考查最小公倍数在实际问题中的运用。
7.甲获胜可能性大;原因见详解
【分析】先把任意两个数的和列出来,看一共有几种情况,再看能被2整除和能被3整除的数的个数,再进行比较,个数越多,获胜的可能性越大,据此解答。
【详解】2+4=6
2+6=8
2+7=9
4+6=10
4+7=11
6+7=13
甲获胜的数字有6,8,10,一共3个;
乙获胜的数字有6,9,一共2个;
和既能被2整除又能被3整除的数字没有,既不能被2整除,又不能被3整除的数有11,13一共2个。
3>2,甲获胜的可能性大于乙获胜的可能性。
答:甲获胜的可能性大,因为几个数字任意抽取一张,和能被2整除的可能性大于和能被3整除的可能性。
【分析】本题考查可能性大小,明确可能性的大小与数量的多少有关是解答本题的关键。
8.2个;3个
【分析】5个小朋友分成一组,要求正好分完,则小朋友的个数是5的倍数,即个位上是0或者5,比63大的个位上是5的数最小是65,所以至少再来65-63=2(个)小朋友。既能平均分成五组又能平均分成两组,则小朋友的个数是2和5的倍数,即个位上是0,比63小的个位上是0的数最大是60,所以至少要去掉63-60=3(个)小朋友。据此解答。
【详解】(个)
(组)
(个)
(个)
(个)
答:如果每5个小朋友分成一组,那么至少再来2个小朋友才能正好分完;如果既能平均分成五组又能平均分成两组,那么至少要去掉2个小朋友。
9.见详解
【分析】根据3的倍数的特征解决此题。
【详解】因为15.2元=1520分,3本日记本的总价应是3的倍数,但1520并不是3的倍数,所以售货员计算有误。
【分析】3的倍数的特征:各个数位上的数字之和是3的倍数。
10.270人
【分析】每行15人或每行18人,都没有剩余,可得学生人数是15和18的公倍数,两个数的公倍数都是最小公倍数的倍数,可以先求出15和18的最小公倍数,再求出200~300之间的公倍数。
【详解】[15,18]=90
90×3=270(人)
答:五年级一共有学生270人。
【分析】此题考查了公倍数,关键要知道两个数的公倍数都是最小公倍数的倍数。
11.48人
【分析】根据题意可知,五(1)班学生人数是4和6的公倍数,先求出4和6的最小公倍数,列出最小公倍数的倍数,再根据人数在40~60之间,找出这个班的人数。
【详解】6=2×3
4=2×2
6和4的最小公倍数是:2×2×3=12
12的倍数:12、24、36、48、60……
由于48在40~60之间。
答:这个班有48人。
【分析】此题属于最小公倍数的实际应用,利用求两个数的最小公倍数的方法解决问题。
12.7时15分
【分析】根据题意,1路车每15分钟发一次车,4路车每25分钟发一次车,这两路公共汽车从早上6:00同时发车,按时间间隔在表中写出这两路车的发车时刻,即可找出下次同时发车的时刻。
【详解】如下表:
1路车 6:00 6:15 6:30 6:45 7:00 7:15
4路车 6:00 6:25 6:50 7:15 7:40 8:05
答:下次同时发车是7时15分。
【分析】本题考查运用列表法求两个数的最小公倍数,掌握时间的进率“1时=60分”是进行时间计算的关键。
13.7米;8段
【分析】据题意,管子最长是35米和21米的最大公因数。所以,先求出35和21的最大公因数,再利用除法求出两根钢管各能锯成几段,再利用加法求出一共能锯成几段。
【详解】35=5×7
21=3×7
所以,35和21的最大公因数是7。
35÷7+21÷7
=5+3
=8(段)
答:每段管子最长是7米,一共可以锯8段。
【分析】本题考查了最大公因数,掌握最大公因数的求法是解题的关键。
14.训练小组:12个;可乐:5瓶;矿泉水:6瓶
【分析】求出60和72的最大公因数,即为有几个训练小组;分别用可乐和矿泉水的瓶数除以最大公因数,即可求出两种饮料各多少瓶。
【详解】60=2×2×3×5
72=2×2×2×3×3
60和72的最大公因数是2×2×3=12。
60÷12=5(瓶)
72÷12=6(瓶)
答:最多有12个训练小组;每个小组分得可乐5瓶;矿泉水6瓶。
【分析】两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积。
15.13个
【分析】由于蓝灯笼和紫灯笼重复的地方就改挂一个红灯笼,那么只需要找6和9的公倍数,注意两端要除外,据此即可找出相应的红灯笼数量。
【详解】6=2×3
9=3×3
则6和9的最小公倍数是:2×3×3=18
18的倍数有:18、36、54、72、90、108、126、144、162、180、198、216、234。
答:一共挂有13个红灯笼。
【分析】本题主要考查公倍数的求法,要注意252千米不要换成红灯笼。
16.5和12,12和5,6和10,10和6,共4种。
【分析】根据题意可知,先找出60的因数,可以一对一对的找;因为每行或每列不得少于5人,所以60的因数中,小于5的不考虑;去掉小于5的因数,60的因数中还剩下5、6、10、12,而5×12=6×10=60,进而可确定出每行每列的人数。
【详解】60的因数有:1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60。
因为每行或每列不得少于5人,
所以行、列分别是5和12,12和5,6和10,10和6,共4种。
答:共有4种排法。
【分析】解答本题关键是掌握找一个数的因数的方法。
17.12位
【分析】由题意可知,图书和益智玩具如果分的没有剩余,则图书有46+2=48(套),益智玩具有37-1=36(个),要想每人分得的数量相等,最多有多少位同学获得一等奖,就是求48和36的最大公因数。据此解答。
【详解】46+2=48(套)
37-1=36(个)
48=2×2×2×2×3
36=2×2×3×3
48和36的最大公因数是:2×2×3=12
答:最多有12位同学获得一等奖。
【分析】此题考查的是最大公因数的应用,求两个数的最大公因数的方法是把两个数共有的因数相乘。
18.6个
【分析】要使正方形尽可能大且没有剩余,则正方形的边长是18和12的最大公因数,据此求出正方形的边长,用18除以边长得到列数,用12除以边长得到行数,行乘列即可求出总个数。
【详解】18=2×3×3
12=2×2×3
18和12的最大公因数是:2×3=6
(18÷6)×(12÷6)
=3×2
=6(个)
答:一共可以剪6个这样的正方形。
【分析】此题考查了灵活应用求最大公因数的方法来解决实际问题的能力。
19.6厘米;42个
【分析】要使剪出的正方形没有剩余,正方形的边长应该是42和36的公因数,要使边长最长,即为42和36的最大公因数,根据求最大公因数的方法,求出正方形的边长; 求可以剪出正方形的个数,分别用纸的长和宽去除以正方形的边长,再相乘即可。
【详解】42=2×3×7
36=2×2×3×3
42和36的最大公因数是:2×3=6
正方形的边长最多是6厘米。
(42÷6)×(36÷6)
=7×6
=42(个)
答:正方形的边长最多是6厘米,可以剪42个这样的正方形。
【分析】最大公因数的求法:两个数的公有质因数的连乘积就是两个数的最大公因数。
20.12天;星期日
【分析】根据题意,可知下次两人同住一客房要经过的天数,就是3和4的最小公倍数,根据求两个数最小公倍数的方法:两个数的公有质因数与每一个数独有质因数的连乘积;如果两个数为互质数,两个数的最小公倍数是两个数的乘积;如果两个数为倍数关系,最小公倍数是较大的那个数,据此求出3和4的最小公倍数,再根据3和4的最小公倍数,就可以判定是星期几。
【详解】3和4是互质数,3和4的最小公倍数是:3×4=12
再同住一客房要过12天;
12÷7=1(周)……5(天)
上次是星期二,5天后是星期天。
答:下次再住一客房要过12天,这天是星期日。
【分析】熟练掌握最小公倍数的求法以及年月日推算是解答本题的关键。
21.8个
【分析】根据妈妈买来16块小蛋糕和30块饼干平均分给王明和他的朋友们,结果小蛋糕少了2块,饼干多了3块,可知这些小朋友的人数是(16+2)、(30-3)的公因数,求出最大公因数,最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积,然后减去1即可求出王明最多一共来了多少个朋友。
【详解】16+2=18
30-3=27
18=2×3×3
27=3×3×3
最大公因数是3×3=9
9-1=8(个)
答:王明一共来了8个朋友。
【分析】本题考查了最大公因数的应用,掌握最大公因数的计算方法是解答本题的关键。
22.60颗
【分析】求这包糖里有多少颗,就是求出12和15的最小公倍数,根据求最小公倍数的方法:两个数的公有质因数与每一个数独有质因数的连乘积,就是两个数的最小公倍数,据此解答。
【详解】12=2×2×3
15=3×5
12和15的最小公倍数是:2×2×3×5=60
这包糖里至少有60颗。
答:这包糖里至少有60颗。
【分析】熟练掌握两个数最小公倍数的求法是解答本题的关键。
23.8束;红花3朵,黄花7朵
【分析】根据题意,把这些花分成相同的若干束,求最多可以分成几束,就是求24和56的最大公因数。先用短除法求出两个数的最大公因数,即是它们平均分成的份数,再分别用24和56除以份数即可求出每束里红花和黄花各有几朵。
【详解】
24和56的最大公因数是2×2×2=8,则最多可以分成8束。
24÷8=3(朵)
56÷8=7(朵)
答:最多可以分成8束。每束里红花有3朵,黄花有7朵。
【分析】本题考查最大公因数的应用。明确“求最多可以分成几束,就是求24和56的最大公因数”,继而用短除法解答是解题的关键。
24.300人
【分析】每行站12人或每行站15人,都能正好排成一个方阵,说明方阵的人数是 12 和15 的公倍数。先求出12和15的最小公倍数是 60, 再依次乘2、3、4……直到得数为280到350之间。即可解答。
【详解】12=2×2×3
15=3×5
所以12和15的最小公倍数是
3×2×2×5
=6×2×5
=12×5
=60
60×5=300(人)
60×2=120
60×3=180
60×4=240
60×5=300
60×6=360
280<300<350
这个方阵一共有300人。
【分析】本题考查公倍数的计算及应用。理解题意,找出最小公倍数是解决本题的关键。
25.16人;10队
【分析】根据题意,要求两个年级每队的人数相等且不超过20人,即求两个年级总人数的公因数,可以通过列举法找出此数,确定每队的人数,就可以进一步用除法计算出两个年级分别分成多少队,再相加即可。
【详解】64和96的公因数有1、2、4、8、16、32,每队人数相等且不超过20人,所以每组有16人。
64÷16+96÷16
=4+6
=10(队)
答:每队最多有,16人,共分成10队。
【分析】明确题目要求的是公倍数还是公因数,是解答此题的关键。

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