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第四单元 分数的意义和性质
（知识梳理+专项训练）
1、分数的意义。
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。
2、分数单位的意义。
像整数一样，分数也是由基本单位组合而成的。把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫作分数单位。
3、分数与除法的关系。
两数相除，如果不能用整数表示结果，就可以用分数表示。被除数÷除数=(除数不为0)，如果用a表示被除数，用b表示除数(b不为0)，那么分数与除法之间的关系，可以用字母表示为a÷b=(b不为0)。
4.求一个数是另一个数的几分之几的解题方法。
一个数÷另一个数=，即比较量÷标准量=。
5、真分数。
分子比分母小的分数叫作真分数，真分数小于1。如，…
6、假分数。
分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫作假分数，假分数大于或等于1。如，…
7、带分数。
（1）分子不是分母倍数的假分数，可以写成整数和真分数合成的数。这样的假分数通常叫作带分数。
（2）带分数由一个整数和一个真分数组成，左边的整数是带分数的整数部分，右边的真分数是带分数的分数部分。带分数均大于1。
（3）读法：读带分数时，先读整数部分，再读分数部分。整数部分是几就读作几，分数部分按照真分数的读法去读，同时在整数部分和分数部分之间加一个“又”字。
（4）写法：写带分数时，先写整数部分，再写分数部分。“又”前面的数是整数部分，“又”后面的数是分数部分。如二又二分之一，写作:2。
8、假分数化成整数的方法。
分子是分母倍数的假分数，可以化成整数。可根据分数的意义进行转化，也可以直接用分子除以分母计算结果。
9.假分数化成带分数的方法。
把假分数化成带分数时，可以借助图示转化;也可以根据假分数的意义进行推想;还可以直接用分子除以分母，商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子，分母不变。
10、分数和小数的互化
（1）分数化成小数的方法。
把分数化成小数时，直接用分数的分子除以分母，除不尽的保留相应的位数。
（2）小数化成分数的方法。
小数可以看作是分数的另一种形式。把小数化成分数，原来是几位小数，就在1的后面写几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子。
11、分数的基本性质。
分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变。
12、约分。
把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫作约分。
13、约分的方法。
(1)分步约分法:用分子和分母的公因数(1除外)逐次去除分子、分母，得出最简分数。
(2)一次约分法:用分子和分母的最大公因数直接去除分子和分母，得出最简分数。用最大公因数进行一次约分比较简便。
14、最简分数。
分子、分母只有公因数1的分数，叫作最简分数。
15、通分的意义。
把几个分母不同的分数(也叫作异分母分数)分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。相同的分母叫作这几个分数的公分母。
16、通分的方法。
通分时，用原来几个分母的公倍数作公分母，一般选用最小公倍数作公分母，然后把各分数分别化成用这个公分母作分母的分数。
17、异分母分数的大小比较。
可以用不同的方法比较，其中先通分再比较，是比较异分母分数大小的基本方法。
一、解答题
1．周末张林和爸爸骑车去距家6千米的葡萄采摘园，骑行了2千米的时候，休息了5分钟。他们还要骑行全程的几分之几才能到达葡萄采摘园？
2．五（106）班50名学生，母亲节这天都向妈妈送了祝福。有15位同学送了鲜花，25位同学给母亲写了信，其他的同学送了自制的贺卡，送贺卡的同学占全班的几分之几？
3．把一根3米长的彩带剪成同样长的小段，剪7次，每段是这根彩带的几分之几？每段是几分之几米？
4．超市进了相同数量的甲、乙、丙三种品牌牛奶，卖了几天后，甲品牌牛奶还剩，乙品牌牛奶还剩，丙品牌牛奶还剩。你觉得超市下次进货，应多进哪种品牌牛奶？
5．我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正因数叫作a的真因数。如：8的正因数有1、2、4、8，其中1、2、4是8的真因数。把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”。如：8的“完美指标”是：，请试着计算9、16的“完美指标”。
6．学校买来5箱粉笔，一箱60盒，平均分给12个班。
7．张强骑摩托车25分钟行了13千米，李华用8分钟行了3千米。张强平均每分钟行几分之几千米？李华行的路程是张强行的路程的几分之几？
8．收割同一块地的麦子，用第一台收割机小时完成，用第二台收割机小时完成。哪一台收割机收割得快一些？
9．看图回答问题。
10．某公司九月份销售了一批零件，发货检验环节，有2个零件不合格，需返厂重做，其余98件合格的零件正常发货，那么这批零件中合格零件占零件总数的几分之几？
11．端午节前夕，五年级举行包粽子比赛，共有36个同学参加比赛，最后有8个人获得了一等奖，问获一等奖的同学占参赛总人数的几分之几？
12．50人参加大课间活动，其中10人跳绳，25人跑步，其他人踢毽子。跳绳和跑步的人数共占全班人数的几分之几？踢毽子的人数占全班人数的几分之几？
13．学校图书馆买来7箱图书，一共420本，平均分给15个班，每个班分到多少本？每个班分到几分之几箱？
14．小敏要在批发市场购买一批铅笔，她连跑了三家摊位，发现甲摊位5元
8支；乙摊位6元9支；丙摊位7元买8支送2支。请你帮小敏算一算，选哪个摊位购买最划算？
15．一盒糖果有8块，小婷吃了其中的4块，妈妈吃了其中的3块，小婷和妈妈各吃了这盒糖果的几分之几？还剩下这盒糖果的几分之几？
16．“龟兔赛跑”是我们非常熟悉的故事，大意是乌龟和兔子赛跑，开跑不久兔子就超过乌龟很远，于是兔子就在路边睡了一觉，而乌龟一直往目的地奔跑，最终乌龟获得了胜利。
如果兔子跑完全程用了12分钟，乌龟跑完全程用了10分钟，那么乌龟所用时间是兔子的几分之几？
17．小明家花坛里种了月季花11棵，郁金香13棵。月季花是郁金香的几分之几？郁金香占两种花总棵数的几分之几？
18．速算比赛，小明3分钟做了22道题，小强4分钟做了29道题，小平5分钟做了36道题，他们谁的速度最快？
19．幼儿园买来5箱苹果，一共90千克，平均分给6个班。
（1）每个班分到多少千克？
（2）每个班分到几分之几箱？
（3）每个班分得这些苹果的几分之几？
20．学校合唱队有男生24人，女生30人。女生占合唱队总人数的几分之几？后来又加入了2名男生，这时男生占合唱队总人数的几分之几？
21．李师傅加工一批零件，已经加工了43个，还剩17个没有加工，已经完成了这批零件的几分之几？
22．《水浒传》，又名《忠义水浒传》，是我国古代四大名著之一，是英雄传奇小说的经典之作，也是描绘人物最多的小说之一。书中描写了一百单八将梁山伯上的108个头领，一百单八将有三十六天罡读“gā”即36员猛将和七十二地煞即72位头领组成，其中男性有105位，其余的是女性。
（1）天罡人数是地煞人数的几分之几？
（2）女性人数是男性的几分之几？
23．两台拖拉机共同耕完一块麦地，大拖拉机耕了11公顷，小拖拉机耕了5公顷。
（1）大拖拉机耕地面积是小拖拉机的多少倍？
（2）小拖拉机耕了这块地的几分之几？
24．学校图书馆买来5箱图书，一共300本，平均分给12个班。每班分到多少箱？每班分到这些图书的几分之几？
25．习主席提出“绿水青山就是金山银山，我们要像保护眼睛一样保护生态环境。”3月12日植树节，新华小学五年级要植一些树。
（1）植树时发现，如果每行植16棵，最后一行缺1棵；如果每行植12棵，最后一行也缺1棵。这批树苗最少有多少棵？
（2）在这次植树活动中，新华小学五（1）班植了11棵松树，17棵杨树。
①植的松树棵数是杨树的几分之几？
②杨树棵数是植树总棵数的几分之几？
参考答案
1．
【分析】骑了2千米占了总路程6千米的几分之几，用除法得出骑得路程占总路程的。将总路程看成单位“1”，则骑了，剩下未骑。
【详解】
答：他们还要骑行全程的才能到达葡萄采摘园。
2．
【分析】全班有50名学生，课间活动中，15位同学送了鲜花，25位同学给母亲写了信，则送贺卡的同学有（50－15－25）位。求送贺卡的同学占全班的几分之几，用送贺卡的学生数除以该班学生总人数即可。
【详解】（50－15－25）÷50
＝（35－25）÷50
＝10÷50
＝
答：送贺卡的同学占全班的。
【分析】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。
3．；米
【分析】根据题意，剪了7次，一共剪了8段，每段就占8段的，求每段多少米，用全长的长度除以段数计算。
【详解】1÷（1＋7）
＝1÷8
＝
3÷8＝（米）
答：每段是这根彩带的，每段是米。
【分析】本题考查分数的意义及分数与除法的关系。
4．乙品牌
【分析】根据题意可知，三种品牌的牛奶原来同样多，哪种品牌剩下的越少，说明卖出的越多，下次进货，就需要多进这种品牌的牛奶。根据分数比较大小的方法，先通分，再按照同分母分数比较大小的方法比较即可。
【详解】甲品牌牛奶剩下：；
乙品牌牛奶剩下：；
丙品牌牛奶剩下：；
＜＜，多进乙品牌牛奶。
答：我觉得超市下次进货，应多进乙品牌牛奶。
【分析】本题主要考查异分母分数比较大小的方法，熟练掌握分数的基本性质是解题的关键。
5．9的“完美指标”是：（1＋3）÷9＝；16的“完美指标”是：（1＋2＋4＋8）÷16＝
【分析】根据“完美指标”的意义及计算方法，分别找出9和16的正因数，在分别找出它们的真因数，最后再由“完美指标”的定义，列式即可回答。
【详解】（1＋3）÷9
＝4÷9
＝
9的正因数有：1，3，9，其中1，3是9的真因数，完美指标是。
（1＋2＋4＋8）÷16
＝15÷16
＝
16的正因数有：1，2，4，8，16，其中1，2，4，8是16的真因数，完美指标是。
答：9的“完美指标”是：（1＋3）÷9＝；16的“完美指标”是：（1＋2＋4＋8）÷16＝
【分析】正确理解“完美指标”的意义及计算方法，是解答此题的关键。
6．25盒；箱
【分析】已知粉笔有5箱，每箱60盒，则一共有（5×60）盒，求每个班分到多少盒，则用5×60÷12即可求出结果；求每个班分到几分之几箱，则用5÷12即可求出结果。
【详解】5×60÷12＝25（盒）
5÷12＝（箱）
答：每个班分到25盒；每个班分到箱。
【分析】本题考查了运用乘除法解决问题，关键是明确谁做被除数。
7．千米；
【分析】求每分钟行的路程，可以看作把13千米平均分成25份，求一份的距离，用除法列式计算，结果写成分数即可；求一个数是另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，结果用分数表示即可。
【详解】由分析可知：
（千米）
答：张强平均每分钟行千米；李华行的路程是张强行的路程的。
【分析】本题考查分数的意义，求一个数是另一个数的几分之几用除法。
8．第二台
【分析】由于两台收割机收割同一块地，所以用时少的收割机收割得快一些。
【详解】＝，＝。
因为＞ ，所以＞。
由此可见，第二台收割机用时少，收割得快一些。
答：第二台收割机收割得快一些。
【分析】本题解题关键是理解：两台收割机收割同一块地，用时少的收割机收割得快一些的道理，熟练掌握分数大小比较的方法。
9．女生是男生人数：；女生占全班人数：
【分析】根据图示，男生25人，女生比男生少5人，则女生有25－5＝20人。全班总人数为男生人数加女生人数，即25＋20＝45人。求一个数是另一个数的几分之几用除法。据此求解。
【详解】25－5＝20（人）
20＋25＝45（人）
女生人数是男生的：20÷25＝＝
女生人数占全班的：20÷45＝＝
答：女生人数是男生人数的，女生人数占全班人数的。
【分析】本题主要考查一个数是另一个数的几分之几的计算。
10．
【分析】用2＋98，求出总零件个数，再用合格零件个数÷总零件个数，化简，即可解答。
【详解】98÷（98＋2）
＝98÷100
＝
答：这批零件中合格零件占零件总数的。
【分析】熟练掌握求一个数占另一个数的几分之几是多少的计算方法是解答本题的关键，注意先求出总零件的个数。
11．
【分析】一共有36个同学参加比赛，最后有8个同学获一等奖，求获一等奖的人数占参赛总人数的几分之几，用获一等奖的人数除以参加比赛的总人数即可求出，注意把最后的结果化成最简分数。
【详解】8÷36＝＝
答：获一等奖的同学占参赛总人数的。
【分析】求一个数是另一个数的几分之几，就用这个数除以另一个数。
12．；
【分析】50人参加大课间活动，其中10人跳绳，25人跑步，其他人踢毽子，则踢毽子有（50－10－25）人，求跳绳和跑步的人数共占全班人数的几分之几，用跳绳和跑步人数之和除以全班人数；求踢毽子的人数占全班人数的几分之几，用踢毽子的人数除以全班人数（或把总人数看作单位“1”，用“1”减跳绳和跑步的人数所占的分率）。
【详解】（10＋25）÷50
＝35÷50
＝
（50－10－25）÷50
＝15÷50
＝
答：跳绳和跑步的人数共占全班人数的，踢毽子的人数占全班人数的。
【分析】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。
13．28本；箱
【分析】用总数量除以15个班即可求出每个班分到多少本；每个班分到几分之几箱，用总箱数除以班级数，再根据分数和除法的关系，分子相当于被除数，分母相当于除数，据此即可解答。
【详解】420÷15＝28（本）
7÷15＝（箱）
答：每个班分到28本；每个班分到箱。
【分析】本题主要考查平均分以及一个数是另一个数的几分之几的求法，熟练掌握它们的求法并灵活运用。
14．甲摊位
【分析】分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，总价÷数量＝单价，据此分别求出三个摊位铅笔的单价，比较即可。
【详解】甲摊位：（元/支）
乙摊位：（元/支）
丙摊位：
（元/支）
答：选甲摊位购买最划算。
15．，；
【分析】这盒饼干平均分成8块，分母就是8，小婷吃了4块，即这盒糖果的；妈妈吃了3块，即这盒糖果的；剩下一块，即剩下这盒糖果的。要注意将最终结果约分为最简分数。
【详解】＝
8－4－3＝1（块）
答：小婷吃了这盒糖果的，妈妈吃了这盒糖果的，还剩下这盒糖果的。
【分析】本题考查了分数的意义，将一个整体平均分成几块，分母就是几，取其中的几块，分子就是几。
16．
【分析】根据题意，求一个数是另一个数的几分之几用除法计算，即10÷12。
【详解】
答：那么乌龟所用时间是兔子的。
17．；
【分析】根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用11÷13即可求出月季花是郁金香的几分之几；用13÷（11＋13）即可求出郁金香占两种花总棵数的几分之几。
【详解】11÷13＝
13÷（11＋13）
＝13÷24
＝
答：月季花是郁金香的；郁金香占两种花总棵数的。
【分析】本题考查了求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算。
18．小明
【分析】根据题意，求出小明、小强、小平每分钟做多少道题，再进行比较，即可解答。
【详解】22÷3＝（道）
29÷4＝（道）
36÷5＝（道）
＝；＝；＝
＞＞，＞＞，
即小明＞小强＞小平。
答：小明的速度快。
【分析】根据分数与除法的关系以及异分母分数比较大小的方法进行解答。
19．（1）15千克；
（2）箱；
（3）
【分析】（1）求每个班分到多少千克，用总质量÷6即可；
（2）用箱子的数量除以6求出每个班分到几分之几箱；
（3）将这些苹果看成单位“1”，用单位“1”除以6求出每个班分得这些苹果的几分之几。
【详解】（1）90÷6＝15（千克）
答：每个班分到15千克。
（2）（箱）
答：每个班分到箱。
（3）
答：每个班分得这些苹果的。
【分析】本题考查除法、分数的意义及分数与除法关系。
20．；
【分析】根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用女生人数除以男女人数和，即可求出女生占原来合唱队总人数的几分之几；再用24＋2即可求出现在男生人数和，最后用现在男生人数和除以现在合唱队总人数，即可求出男生占合唱队总人数的几分之几。据此解答。
【详解】30÷（24＋30）
＝30÷54
＝
（24＋2）÷（24＋30＋2）
＝26÷56
＝
答：女生占合唱队总人数的；后来又加入了2名男生，这时男生占合唱队总人数的。
【分析】本题考查了求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算。
21．
【分析】用已经加工的零件个数＋没有加工零件的个数，求出这批零件的总个数，再用已经加工零件个数÷这批零件的总个数，即可解答。
【详解】43÷（43＋17）
＝43÷60
＝
答：已经完成了这批零件的。
【分析】熟练掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法是解答本题的关键。
22．（1）
（2）
【分析】用天罡人数是地煞人数。
男生108位，则女生为位，用女生人数除以男生人数。
【详解】
答：天罡人数是地煞人数的。
答：女性人数是男性的。
【分析】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。
23．（1）
（2）
【分析】（1）求大拖拉机耕地面积是小拖拉机的多少倍，用大拖拉机耕的面积÷小拖拉机耕地的面积，即可解答；
（2）用大拖拉机耕地面积＋小拖拉机耕地面积，求出这块地的面积，再用小拖拉机耕的面积÷这块地的面积，即可解答。
【详解】（1）11÷5＝
答：大拖拉机耕地面积是小拖拉机的倍。
（2）5÷（11＋5）
＝5÷16
＝
答：小拖拉机耕了这块地的。
【分析】熟练掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法是解答本题的关键。
24．箱；
【分析】（1）根据“每班分到的箱数＝总箱数÷班级数”解答即可；
（2）把这批图书总数看作单位“1”，用1除以班数即可。
【详解】（1）5÷12＝（箱）
答：每班分到箱。
（2）1÷12＝
答：每班分到这些图书的。
【分析】本题注意每班的箱数与每班分到这些图书的几分之几的区别：前者是一个具体的数量，用除法的意义求解；后者是一个分率，根据分数的意义求解。
25．（1）47棵；
（2）①；②
【分析】（1） 由题意可知，这批树苗的最少棵数比16和12的最小公倍数少1，据此解答；
（2）①求植的松树棵数是杨树的几分之几，就是求11是17的几分之几，用11除以17即可；
②求杨树棵数是植树总棵数的几分之几，就是求17是（11＋17） 的几分之几，用17除以（11＋17）即可。
【详解】（1）16＝2×2×2×2
12＝2×2×3
2×2×2×2×3－1
＝4×2×2×3－1
＝8×2×3－1
＝16×3－1
＝48－1
＝47（棵）
答：这批树苗最少有47棵。
（2）①11÷17＝
答：植的松树棵数是杨树的
②17÷（11＋17）
＝17÷28
＝
答：杨树棵数是植树总棵数的。
【分析】本题考查了最小公倍数的应用及求一个数是另一个数的几分之几的问题，需准确理解题意。

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