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第四单元 正比例和反比例
（知识梳理+专项训练）
1、生活中存在着大量互相依存的量，如:速度、时间和路程;单价、数量和总价;工作效率、工作时间和工作总量.....当其中某一个量发生变化时，另外一个量也会随之变化,这样的两个变量就叫作相关联的量。
2、正比例的意义:两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以表示为=k(一定)。
3、应用正比例的意义判断两种量是否成正比例:有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例。
4、成正比例关系的两个相对应的量表示的各点在同一条直线上，即成正比例关系的图象是一条直线。
5、从图象中可以直观地看到两种量的变化情况，同时根据图象还可以由一个量的值直接找到与其对应的另一个量的值。
6、反比例的意义。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积(一定)，反比例关系可以表示为x·y=k(一定)。
7、判断两个量是不是成反比例。
要先想这两个量是不是相关联的量;再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定;最后作出结论。
一、解答题
1．一辆卡车运一堆木材，如果每次运60根，15次刚好可以运完；如果每次运75根，多少次可完？（用比例知识解答）
2．装订一批书籍，计划每天装订90本，20天装订完。实际提前5天完成任务，实际每天装订多少本？（用比例解）
3．有一个甘蔗榨汁机，可以用500克的甘蔗榨出150克的甘蔗汁，现在有10千克的甘蔗，可以榨出多少克甘蔗汁？（用比例解答）
4．教学楼的实际高度为13.2米，它的实际高度与模型的高度比是40∶1，模型的高度是多少厘米？（用比例知识解答）
5．小林读一本书，已读的页数和未读的页数之比是5∶4，如果再读25页，已读的页数和未读的页数之比是2∶1。这本书共有多少页？
6．一间会议室，用边长3分米的方砖铺需192块，如果改用边长是4分米的方砖铺，需多少块？（用比例解）
7．爸爸买一堆同样的铁钉。先数100根称了称是50克，又称了全部的质量是600克，这堆铁钉有多少根？（用比例解）
8．某食品厂包装一批水果糖，如果每袋250克，需120袋才能装完。现在要求每袋装300克，需多少袋可以装完？（用比例解）
9．“有趣的平衡”是研究杠杆原理的，我们发现刻度数与所做的棋子数是成比例关系的。如图，在左边刻度5的小盘子里放3个棋子。那么在右边刻度3的小盘子里应放多少个棋子才能保证平衡？
10．下面记录了小天看一本故事书的情况。
每天看的页数 240 120 80 40 …
可看的天数 1 2 4 …
（1）完成上表。
（2）可看的天数是随着（ ）变化而变化，但（ ）是一定的。每天看的页数和可看的天数成（ ）比例。
（3）如果每天看24页，可以看（ ）天。
11．李叔叔给樱桃装箱，箱数与樱桃的质量如下表。
箱数/箱 0 1 2 3 4 5 6 ……
樱桃的质量/kg 0 5 10 25 ……
（1）将上表补充完整。
（2）樱桃的质量与箱数成正比例关系吗？为什么？
（3）把上表中箱数和樱桃的质量对应的点描在方格纸上，再按顺序连接起来。
（4）按这样装箱，45kg樱桃可以装（ ）箱，12个箱子最多可以装（ ）kg樱桃。
12．植树节到了，六（1）班同学要植树180棵，如果每行植树棵数分别如下，那么植的行数各是多少？填写表，并回答问题。
每行棵数棵 18 10 9 6
行数行
（1）每行棵数与行数的乘积表示的是什么？你能用式子表示每行的棵数与行数之间的关系吗？
（2）每行的棵数与行数成什么比例关系？
13．某列高速动车行驶的路程与时间情况如下表。
路程/千米 0 4 8 12 16 20 …
时间/分 0 1 2 3 4 5 …
（1）判断这列高速动车行驶的路程与时间是不是成正比例，并说明理由。
（2）根据表中数据，在图中描出这列高速动车行驶的路程与时间所对应的点，再把这些点依次连接起来。
（3）这列高速动车1.5时可以行驶 千米。
14．某台榨油机的生产时间与产量的关系如下表。
生产时间/时 0 1 2 3 4 5 6 7
产量/吨 0 4 8 12 16 20
（1）生产时间与产量是否，成正比例关系？为什么？
（2）把上表补充完整，并在下图中描出表示生产时间和产量相对应的点，然后把它们按顺序连起来。
（3）这台榨油机4.5时可以榨（ ）吨油；榨70吨油需要（ ）时。
15．一台碾米机碾米情况如下表：
工作时间（时） 0 1 2 3 4 5
加工数量（吨） 0 0.5 1 1.5 2 2.5
（1）把上表中相对应的点描在下图中，再顺次连接。
（2）工作时间与加工数量成什么比例？为什么？
（3）现在碾米8吨，需要几小时？
16．一个工程队修路的时间与修路的米数的情况如下表。
时间/天 0 1 2 3 4 5 6 7
修路的米数/m 0 60 120 180 240 300 360 420
（1）判断这个工程队修路的时间与修路的米数是不是成正比例，并说明理由。
（2）根据表中的数据，在下图中描出这个工程队修路的时间与修路的米数对应的点，再把这些点依次连接起来。
（3）如果修10天，那么可以修（ ）m；如果修了210m，那么修了（ ）天。
17．用一些纸装订同样的练习本，每本用纸的张数和装订的本数如下表。
每本用纸张数/张 8 10 15 20 24
装订本数/本 75 60 40
（1）将上表补充完整。
（2）每本用纸张数和装订本数是不是成反比例？说明理由。
（3）如果用这些纸装订成50本练习本（每本用纸张数相同），每本用纸多少张？
18．文具店有一种型号的铅笔销售数量与总价，如下表。
数量/支 1 2 3 4 5 6
总价/元 0.5 1
（1）请你把上表填写完整。
（2）把上表中数量和总价所对应的点描在下面的方格纸上，再顺次连接。
（3）通过观察发现：总价与数量（ ）不变，数量与总价成（ ）比例，所描的点（ ）。
（4）如果买10支铅笔总价是（ ）元，20元能买（ ）支铅笔。
（5）小明买的铅笔的数量是小丽的2倍，他花的钱是小丽的（ ）倍。
19．每份《数学周报》的定价是26元，订阅2份、3份……分别需要多少元？
份数 0 1 2 3 4 5 6 …
金额元 0 26 52 78 …
（1）将表格填写完整。
（2）判断金额与份数是否成正比例关系，并说明理由。
（3）把表中份数与金额所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。
（4）订阅9份需要（ ）元，390元可以订阅（ ）份。
20．花园村新修一条水泥路，每天修的长度和所需时间如下表。
每天修的长度/m 240 160 120 96 80 48 40
所需时间/天 5 12
（1）将上表补充完整。
（2）判断每天修的长度与所需时间是否成反比例，并说明理由。
（3）如果修这条水泥路需要15天，平均每天修多少米？
参考答案
1．12次
【分析】因为每次运的根数×运的次数＝总根数（一定），所以每次运的根数和运的次数成反比例，据此列比例解答即可。
【详解】解：设x次可以运完。
75x＝60×15
75x＝900
x＝12
答：12次可以运完。
【分析】此题主要考查用比例知识解答问题，关键要弄清哪个量一定，其它两种量成什么比例，再列出比例式解答。
2．120本
【分析】根据题干可知，每天装订的本数×时间＝装订的数量（一定），由于两个相关联的量乘积一定，即每天装订的本数和装订时间成反比例关系，可以设实际每天装订x本，计划每天装订的本数×计划的时间＝实际每天装订的本数×实际的时间，由此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。
【详解】解：设实际每天装订x本。
90×20＝（20－5）×x
15x＝1800
x＝1800÷15
x＝120
答：实际每天装订120本。
【分析】本题主要考查列方程解应用题，同时熟练掌握反比例的辨认方法是解题的关键。
3．3000克
【分析】10千克＝10000克；每克甘蔗榨出的甘蔗汁的克数一定，即甘蔗汁的质量∶甘蔗的质量的比值一定，则甘蔗汁的质量与甘蔗的质量成正比例关系，设可以榨出x克甘蔗汁，列比例：150∶500＝x∶10000，解比例，即可解答。
【详解】10千克＝10000克
解：设可以榨出x克甘蔗汁。
150∶500＝x∶10000
500x＝150×10000
500x＝1500000
x＝1500000÷500
x＝3000
答：可知榨出3000克甘蔗汁。
【分析】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。
4．33厘米
【分析】根据教学楼的实际高度与模型高度的比值是一定，即两种量成正比例；13.2米＝1320厘米；设模型的高度是x厘米，列比例：40∶1＝1320∶x，解比例，即可解答。
【详解】13.2米＝1320厘米
解：设模型的高度是x厘米。
40∶1＝1320∶x
40x＝1×1320
x＝1320÷40
x＝33
答：模型的高度是33厘米。
【分析】本题主要考查对正比例的意义的运用：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，但两种量的相对应的比值一定，这两种量成正比例；注意单位名数的统一。
5．225页
【分析】把总页数看作单位“1”，已读的占，再读25页，已读的就占，也就是说这本书页数的与的差是25，根据一个数除以分数的意义即可解答。
【详解】25÷（－）
＝25÷
＝25×9
＝225（页）
答：这本书共有225页。
【分析】本题是考查比的应用，关键是把比转化成分数，根据分数除法的应用来解答。
6．108块
【分析】根据题意知道，一个房间的面积一定，一块方砖的面积×方砖的块数＝一个房间的面积（一定），所以一块方砖的面积与方砖的块数成反比例，设需x块，由于会议室的面积不变，列方程：4×4×x＝3×3×192，解方程，即可解答。
【详解】解：设需x块。
4×4×x＝3×3×192
16x＝9×192
16x＝1728
x＝1728÷16
x＝108
答：需108块。
【分析】本题判定哪两种量成什么比例是解答的关键，注意“3分米”与“4分米”是边长，千万不要当成了方砖的面积。
7．1200根
【分析】根据题意可知，每一根铁钉子的质量是一定的，即的比值一定；铁钉的根据与质量成正比例；设这堆铁钉有x根，列方程：＝，解方程，即可解答。
【详解】解：设这堆铁钉有x根。
＝
50x＝100×600
50x＝60000
x＝60000÷50
x＝1200
答：这堆铁钉有1200根。
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，成正比例，如果乘积一定，则成反比例，据此判断出铁钉质量与根数成什么比例，列出相应的方程求解。
8．100袋
【分析】根据题意可知，每袋装的质量×袋数＝这批水果糖的总质量，这批水果糖的总质量是一定的，每袋装的质量与袋数成反比例，设需x袋可以装完；由于水果糖的总质量不变，列方程：300x＝250×120，解方程，即可解答
【详解】解：设需x袋可以装完。
300x＝250×120
300x＝30000
x＝30000÷300
x＝100
答：需要100袋可以装完。
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，成正比例，如果乘积一定，则成反比例，据此判断出每袋质量与袋数之间成什么比了，列出相应的方程求解。
9．5个
【分析】
由杠杆原理可知，平衡时，每边放的棋子个数与对应刻度的乘积是一定的，则每边放的棋子个数与对应刻度成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。
【详解】
解：设在右边刻度3的小盘子里应放个棋子才能保证平衡。
3＝5×3
3＝15
＝15÷3
＝5
答：在右边刻度3的小盘子里应放5个棋子才能保证平衡。
10．（1）见详解
（2）每天看的页数，故事书的总页数，反
（3）10
【分析】（1）用看的天数乘每天看的页数得出一本故事书的总页数，再根据可看的天数＝故事书的总页数÷每天看的页数，每天看的页数＝故事书的总页数÷可看的天数，计算后完成表格；
（2）依据反比例的意义进行解答即可，即如果两个相关联的量的乘积一定，则这两个量成反比例，据此解答即可；
（3）根据可看的天数＝故事书的总页数÷每天看的页数，解答即可。
【详解】（1）240×1＝240（页）
240÷80＝3（天）
240÷4＝60（页）
240÷40＝6（天）
每天看的页数 240 120 80 60 40 …
可看的天数 1 2 3 4 6 …
（2）可看的天数是随着每天看的页数变化而变化，但故事书的总页数是一定的。每天看的页数和可看的天数成反比例。
（3）240÷24＝10（天）
【分析】此题主要考查学生对于反比例的意义的理解和灵活应用。
11．（1）15；20；30；
（2）因为＝每箱质量（一定），所以樱桃的质量与箱数成正比例关系；
（3）见详解
（4）9；60
【分析】（1）按箱数和樱桃的质量的变化规律填表；
（2）观察樱桃的质量与箱数的比值是否一定，如果一定，则成正比例，如果不一定，则不成正比例；
（3）把表中箱数和樱桃的质量对应的点描在方格纸上，再按顺序连接起来，制作成折线统计图。
（4）先求出每箱装多少kg，再用除法求出45kg可以装多少箱，用乘法求出12箱可以装多少kg。
【详解】（1）樱桃的质量与箱数统计表如下；
箱数/箱 0 1 2 3 4 5 6 ……
樱桃的质量/kg 0 5 10 15 20 25 30 ……
（2）……＝5
樱桃的质量与箱数是两种相关联的量，＝每箱质量（一定），所以樱桃的质量与箱数成正比例关系。
（3）樱桃的质量与箱数统计图如下：
（4）45÷5＝9（箱）
12×5＝60（kg）
45kg樱桃可以装9箱，12个箱子最多可以装60kg樱桃。
【分析】此题主要考查正比例关系的意义及解决正比例问题的能力。
12．填表如下：
每行棵数棵 18 10 9 6
行数行 10 18 20 30
（1）植树的总棵数；每行棵数植树的行数植树的总棵数；
（2）反比例
【分析】每行棵树和行数的乘积表示的是植树的总棵树，即每行棵数植树的行数植树的总棵数；因为每行棵树与行数是相关联的量，每行棵树随着行数的变化而变化，并且它们的乘积也就是总棵数不变，所以每行的棵树与行数成反比例关系。
【详解】填表如下：
每行棵数棵 18 10 9 6
行数行 10 18 20 30
（1）每行棵树和行数的乘积表示的是植树的总棵树，每行棵数植树的行数植树的总棵数；
（2）每行的棵数与行数成反比例。
【分析】本题主要考查反比例的意义及运用。
13．（1）成正比例，理由见详解
（2）见详解
（3）360
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例；据此解答；
（2）根据统计表格的数据绘制统计图；
（3）根据速度＝路程÷时间、路程＝速度×时间，代入数据，即可解答。
【详解】（1）因为＝＝＝＝＝4（一定），这列高速动车行驶的路程与时间成正比例；
（2）
（3）1.5时＝90分
4÷1＝4（千米/分）
4×90＝360（千米）
【分析】利用正比例意义和辨别、正比例的图像的画法，利用正比例解决问题。
14．（1）成正比例关系；原因见详解；
（2）见详解
（3）18；17.5
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例；据此解答；
（2）根据统计表格的数据绘制统计图。
（3）根据题意可知，每小时可榨4吨，用4.5×4，求出4.5小时榨出的油的质量；再用70÷4，求出70吨需要的时间。
【详解】（1），是定值，所以生产时间与产量成正比例关系。
答：生产时间与产量成正比例；
（2）4÷1＝4（吨）
4×6＝24（吨）
4×7＝28（吨）
生产时间/时 0 1 2 3 4 5 6 7
产量/吨 0 4 8 12 16 20 24 28
（3）4×4.5＝18（吨）
70÷4＝17.5（时）
【分析】利用正比例意义和辨别、正比例的图像的画法，利用正比例解决问题。
15．（1）见详解
（2）正比例；原因见详解
（3）16小时
【分析】（1）根据统计表提供的数据，绘制统计图；
（2）断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。
（3）根据统计表，先求出碾米1吨需要的时间，即可求出碾米8吨需要的时间。
【详解】（1）
（2）0.5∶1＝1∶2＝1.5∶3＝2∶4＝2.5∶5＝0.5（一定）
加工数量∶加工时间＝每小时加工的数量（一定）；工作时间和加工数量成正比例；
（3）8÷（0.5÷1）
＝8÷0.5
＝16（小时）
答：需要16小时。
【分析】本题考查正比例意义和辨识，反比例意义和辨识；以及正比例的应用。
16．（1）成正比例；理由见详解；
（2）见详解
（3）600；3.5
【分析】（1）判断成什么比例，就看两个相关联的量是比值一定，还是乘积一定，比值一定成正比例，乘积一定，成反比例，据此判断；
（2）根据表中数据，在图中描点，连线；
（3）每天修路的米数×天数＝修路的米数；天数＝修路的米数÷每天修路的米数；代入数据，即可解答。
【详解】60∶1＝120∶2＝180∶3＝60（一定），修路的米数与天数的比值一定；这个工程队修路的时间与修路的米数成正比例。
（2）
（3）60×10＝600（米）
210÷60＝3.5（天）
【分析】本题考查了正比例关系的辨识，正比例图形的画法，以及利用正比例解答问题。
17．（1）30；25
（2）成反比例；理由见详解
（3）12张
【分析】（1）8×75＝10×60＝15×40＝600；根据积都是600，用600除以20和24即可；
（2）判断练习本每本的页数和装订的本数之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定还是乘积一定；如果是比值一定，成正比例；如果是乘积一定，就成反比例；据此解答；
（3）用600除以50即可求出每本用纸多少张。
【详解】（1）8×75÷20
＝600÷20
＝30（本）
8×75÷24
＝600÷24
＝25（本）
每本用纸张数/张 8 10 15 20 24
装订本数/本 75 60 40 30 25
（2）因为8×75＝10×60＝15×40＝20×30＝24×25＝600（一定）
乘积一定，所以每本用纸张数与装订本数成反比例。
（3）8×75÷50
＝600÷50
＝12（张）
答：每本用纸12张。
【分析】利用正比例意义和辨识，反比例意义和辨识以及反比例的应用进行解答。
18．（1）表格见详解。
（2）图见详解。
（3）比值；正；在一条直线上
（4）5；40
（5）2
【分析】（1）观察表中已有数据，通过总价＝单价×数量，填出未填的数据即可；
（2）根据表中填出的数据，将数量和总价在图中找到对应的点，再依次连接即可；
（3）通过观察总价和数量这两种关联量，看它们是比值一定，还是乘积一定，比值一定成正比例，乘积一定成反比例，据此判断；
（4）通过总价＝单价×数量可算出铅笔的单价，用单价乘数量可得需要的钱数，用20元除以单价，可得能购买的支数；
（5）根据正比例的应用，判断小明花的钱数是小丽的几倍即可。
【详解】（1）表格如下：
数量/支 1 2 3 4 5 6
总价/元 0.5 1 1.5 2 2.5 3
（2）如图：
（3）观察可知，两种相关联的量是数量和总价，总价除以数量等于单价（一定），也就是数量和总价的比值不变，所以数量和总价成正比例，所描的点在一条直线上。
（4）铅笔的单价为：
0.5÷1＝0.5（元）
10支铅笔价格：
10×0.5＝5（元）
20元能买铅笔数：
20÷0.5＝40（支）
（5）小明买的铅笔数量是小丽的2倍，铅笔的数量和总价成正比，所以小明花的钱，也是小丽的2倍。
【分析】本题考查了正比例关系的辨识、正比例图表的画法、以及利用正比例解答问题。
19．（1）见详解
（2）成正比例关系；因为份数增加，金额也随着增加，金额与份数的比值一定，所以金额与份数成正比例关系；
（3）见详解
（4）234；15
【分析】（1）根据前面已知的总价除以数量，求出单价，再用单价乘份数，计算解答即可；
（2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；
（3）根据（1）中的数据，描点连线即可；
（4）根据总价÷数量＝单价，总价÷单价＝数量，代入数据解答即可。
【详解】（1）
份数 0 1 2 3 4 5 6 ……
金额/元 0 26 52 78 104 130 156 ……
（2）因为成正比例关系，因为份数增加，金额也随着增加，金额与份数的比值一定，所以金额与份数成正比例关系；
（3）
（4）26×9＝234（元）
390÷26＝15（份）
订阅9份需要234元，390元可以订阅15份。
【分析】明确单价、数量、总价三者间的关系、正比例的意义是解题的关键。
20．（1）如表：
每天修的长度/m 240 160 120 96 80 48 40
所需时间/天 2 3 4 5 6 10 12
（2）成反比例；因为每天修的长度×所需天数＝480（一定），乘积一定，所以每天修的长度和所需的时间成反比例；
（3）32米
【分析】（1）用公路的总长除以每天修的长度填空即可；
（2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例；
（3）根据工作总量÷工作时间＝工作效率，代入数据解答即可。
【详解】（1）96×5÷240
＝480÷240
＝2
96×5÷160
＝480÷160
＝3
96×5÷120
＝480÷120
＝4
96×5÷80
＝480÷80
＝6
96×5÷48
＝480÷48
＝10
每天修的长度/m 240 160 120 96 80 48 40
所需时间/天 2 3 4 5 6 10 12
（2）因为240×3＝480（m）
160×3＝480（m）
120×4＝480（m）
每天修的长度×所需天数＝480（一定），乘积一定，所以每天修的长度和所需的时间成反比例；
（3）480÷15＝32（米）
答：平均每天修32米。
【分析】熟练掌握判断两个相关联的量之间成什么比例的方法以及工作量、工作效率、工作时间三者间的关系是解题的关键。

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