资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高一 学期 秋季
课题 函数的概念（第一课时）
教科书 书 名：普通高中教科书 必修 第一册 教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年06月
教学目标
1. 能用集合语言与对应关系刻画函数，能说出定义域、对应关系、值域的含义和作用，发展数学抽象素养。 2. 能用具体实例说明对应关系的含义，能区分对应关系与对应关系的表示形式。
教学内容
教学重点： 1. 函数的三要素。 教学难点： 1.用集合语言和对应关系刻画函数，对抽象符号“”的理解，特别是对的含义的理解。
教学过程
环节一、创设情境，提出问题 引导语 我们知道，客观世界中存在着各种各样的运动变化现象。例如，嫦娥五号在发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化；一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低；我国高速铁路营运里程逐年增加，已突破3万公里………所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律。在初中我们学过函数，知道函数的定义是： 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。 例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数。如果我们问：这个函数与正比例函数 y=4x 相同吗？你该怎么回答？又如，你能用已有的函数知识判断y=x与是同一函数吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念。 环节二、函数概念的抽象与内涵辨析 下面我们先来看几个问题。 问题1 某“复兴号”高速列车加速到350 km/h 后保持匀速运行半小时。 (1) 这段时间内，列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系如何表示？ 这是一个函数吗？ (2) 有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了 350 km。”你认为这个说法正确吗？你能确定这趟列车运行多长时间前进210 km 吗？ (3) 你认为应该如何刻画这个函数？ 师生活动 教师给出问题题干和(1)后，提醒学生先不要看教科书，在信息技术平台上提交自己的答案(设计成书写答案)，教师点评答案，引导学生用“变量说”表述。 第(2)问以判断题的方式让学生在信息技术平台上提交答案，教师就学生提交的答案进行点评后，引导学生讨论所给说法不正确的原因，以及为什么无法确定列车前进 210 km 所需的运行时间，从而使学生认识到给定自变量变化范围的重要性。 第(3)问设计成书写格式，让学生思考如何表述S 与t的对应关系，教师在与学生一起讨论的基础上给出表述的示范。 【设计意图】问题1中，通过(1)引导学生回顾“变量说”，培养用定义做判断的思维习惯；通过(2)激发认知冲突，发现“变量说”不严谨；通过(3)让学生在关注到t与S 的变化范围后，尝试用更精准的语言表述函数概念。 问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天。公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。 (1) 你认为该怎样确定一个工人的每周工资所得？ (2) 一个工人的工资 w是他工作天数d的函数吗？为什么？ (3) 你能仿照问题1的方式刻画这个函数吗？ 师生活动 教师给出问题后，让学生在信息技术平台上提交答案。 对于(1)，平台上设计成学生书写答案的题。多数学生可能给出w=350d，教师可以引导学生用表格表示对应关系，如表1所示。 表1 对于(2)，信息平台上设计成判断题，要求学生说出判断依据。 对于(3)，可以让学生模仿问题1的表述给出。 学生在信息技术平台上书写并提交自己的答案，教师在点评学生答案的基础上出规范的表述。 追问 问题1和问题2中的函数对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗？为什么？你认为确定一个函数需要哪些要素？ 师生活动 让学生在信息技术平台上提交自己的答案，教师引导学生讨论后得出；结论：判断两个函数是否相同，不能只看对应关系是否相同，还要看自变量的变化范围是否一样。 【设计意图】让学生先用“变量说”判断w是d的函数，再尝试用不同方法表示函数，为认识函数对应关系作准备，最后让学生模仿问题1的表述方法描述函数，在熟悉“对应关系说”表述方式的同时，训练抽象概括能力。通过追问，促使学生思考确定函数的基本要素，进一步认识自变量取值范围的重要性。 问题3 图1是北京市2016年11月23日空气质量指数(Air Quality Index，简称 AQI)变化图。 图1 (1) 你能从图1中找到中午12时的AQI值I吗？如何确定任一时刻t 的I值？ (2) 你认为这里的I是t的函数吗？如果是，你能仿照前面的说法刻画这个函数吗？ 师生活动 给学生适当时间阅读思考。教师将中午12时的I值设计成填空题， 让学生测量后在信息技术平台上提交。学生提交的答案可能不一样，教师点评时要帮助学生理解其原因(测量有误差)，并让学生思考、回答12时的I值是否唯一存在。在此基础上，再让学生思考如何确定任一时刻t的I值，引导学生体会图象表示的对应关系的实质，明确由确定的t值找出对应的I值的方法与步骤。 对于(2)，因为不能用解析式表示对应关系，所以有些学生可能会认为I不是时间t的函数。为此，教师可以通过如下追问进行引导： 追问1 时间t的变化范围是什么？空气质量指数(AQD)的值I在什么范围变化？ 师生活动 时间t的变化范围容易确定，可以由学生思考得出。I的范围，学生可能想到的是从图1中找到最小值I1、I2。教师可以在肯定学生想法的基础上进行启发式讲解：根据问题的实际意义可以断定，I1、I2的取值是唯一确定的。不过，前面的实践告诉我们，从图1不容易得到它们的精确值。如果我们设I的取值范围为C，那么从图1可知。 追问2 任给，根据图1，是否有唯一确定的与之对应？从函数的观点看，图1给出了什么？ 师生活动 学生在问题引导下展开思考，教师可利用信息技术帮助学生从函数的观点分析图1所确定的对应关系，具体过程可以如下。 在区间[0,24]内取一个数t，过点P(t,0)作横轴的垂线，交空气质量指数曲线于点P1(t, I)，提问学生：I是否唯一存在。根据生活经验，通过直观想象，学生可以确认I是唯一存在的。然后，让点P在横轴上运动，引导学生观察、想象，得出结论：对于数集中的任意一个值t，在集合中都有唯一确定的I值与之对应。因此，从函数观点看，图1中的空气质量指数曲线给出了一个函数的对应关系。 通过上述过程，学生就能清楚地认识到I是t的函数，然后得出规范表达： 对于数集A3中的任一时刻t，按照图1中的曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的 AQI的值I与之对应，因此I是t的函数。 【设计意图】学生理解用图象表示的函数，确定其中的对应关系有困难，特别是在值域不能精确给定时，通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的。实际上，如果以映射观点看，这时的映射就是非满射。为此，通过问题1，先让学生知道如何利用图象确定某一时刻的I值，然后再通过问题2及其追问，得出对应关系的描述方法，从而化解难点。这里，只要学生能够理解I是t的函数并接受这种描述方式就可以了。 值得注意的是，确认图象就是函数的对应关系需要通过想象才能完成，这也是培养学生理性思维的一个契机。 问题4 国际上常用恩格尔系数()反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表2是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。 表2 (1) 你认为按表2给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？ (2) 如果是函数，你能仿照前面的说法刻画这个函数吗？ 师生活动 先让学生通过信息技术平台对(1)中的问题“恩格尔系数r是年份y 的函数吗？”进行“是”与“不是”的选择性投票，教师根据投票情况，分别请答案为“是”和“不是”的学生说明理由。在学生回答的基础上，教师强调一定要根据函数的定义进行判断。 对于(2)，让学生在不看课本的情况下，分组练习用集合语言与对应关系刻画函数，然后让各组学生代表回答问题，教师根据学生的回答进行点评。 估计学生给出的函数值取值范围是表中 r的10个值，教师可以在肯定的基础上进行引导性追问： 追问1 根据日常生活经验，再由恩格尔系数的定义，你认为r的取值范围应该是什么？ 追问2 我国有30多个省、市、自治区，另外还有可能要研究某些特定地区的居民值范围更有利？生活质量，为了使得研究方便以及可以在不同地区进行比较，你认为如何给定r的取值范围更有利？ 通过上述追问，学生对r的变化范围为的认可程度就会比较高了。在此基础上再让学生给出相应的描述。然后，教师可以引导学生进一步明确，对于表中的任意一个年份y，都有唯一的与之对应，虽然中的数不一定都有对应的y，但{2006，2007，…，2015}中任意一个y在中对应的r具有存在性和唯一性。 【设计意图】通过问题4使学生明确函数对应关系不仅可以用解析式、图象表示，还可以用表格表示，为抽象出函数对应关系f作准备，并且进一步体会确定函数需要哪些要素。另外，通过此问题还要让学生明确，对于一类实际问题，往往很难给定函数值的精确范围，为了方便，我们采取扩大范围的方法把函数值包含在内。 问题5 上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？你能由此概括出函数的本质特征，并给出新的函数定义吗？ 师生活动 给学生充分思考的时间，引导学生重新回顾用集合与对应语言刻画函数的过程。 如果学生归纳、概括有困难，可以给出表3帮助学生思考。 表3 在学生独立思考的基础上，再进行小组交流，然后小组派代表向全班汇报交流。通过独立思考、合作学习和汇报交流等，教师再引导学生归纳出共同特征： （Ⅰ）都包含两个非空数集，我们用A、B来表示； （Ⅱ）都有一个对应关系； （Ⅲ）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。 接着，教师讲解：事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。 为了表示方便，我们引进符号f (即英文单词 function 的第一个字母)统一表示对应关系。这样，我们可以把函数定义为： 一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对间关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作 。 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的借相对间的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range)。 追问 对于，你有怎样的理解？能举例说明你的想法吗？ 师生活动 先让学生独立思考，再进行全班交流，可以多叫几个学生回答。在学生回答的基础上，教师作适当总结即可。 【设计意图】让学生通过归纳、概括4个实例中函数的共同特征，体会数学抽象的过程，概括出用集合语言与对应关系刻画的函数概念。其中，着重突破“如何在4个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象出函数概念，并以此培养学生数学抽象素养”这一难点，突出"在‘变量说’的基础上，通过实例归纳概括出函数的本质特征(要素)，用集合语言与对应关系刻画函数”这一教学重点。 “追问”是一个开放性的概念辨析问题，只要学生把前面的4个例子和这个抽象表示联系起来，说出自己的理解即可，例如：与是一个整体，可以说问题 1和问题2的解析式都是y=350x，因为定义域不同，所以它们是不同的函数，这说明看一个函数不能只看y=f (x)；f表示对应关系，像前面4个例子那样，f可以是解析式，图象、表格，但形式不同本质相同；等等。当然，也可以让学生举出函数的例子并说明为什么这个例子就是函数。 环节三、例题练习，巩固理解 例1、用函数定义重新表述一次函数、二次函数与反比例函数。 师生活动 对于(1)，教师在学生用自己的语言进行表述的基础上，帮助学生完善表述。这个问题的困难在对应关系的刻画，教师应提醒学生按新的函数定义的叙述方式，先确定定义域、值域，再明确对应关系把自变量x对应到哪个函数值。为了促进学生理解，可以从具体数字开始。例如，对于一次函数y=ax+b，定义域、值域都是R，对应关系f把0对应到b，把1对应到a+b，把2对应到2a+b，......，把任意一个对应到ax+b。 例2、函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律。例如，正比例函数y=kx (k≠0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述。 师生活动 在学生阅读题目后，教师先对题目的含义进行讲解，帮助学生明确题意，再让学生独立思考、小组交流，在此基础上进行全班交流，教师可以穿插点评。 【设计意图】函数概念源于对现实世界中变量关系和变化规律的数学抽象；同时，作为一个模型，函数y=f (x)可以用来刻画现实中同类事物的变量关系和变化规律。本题可以让学生进一步体会函数的广泛应用性，从另一个侧面加深对函数概念的理解。 环节四、小结提升，形成结构 问题6 你认为正方形的周长l与边长x的关系l=4x是正比例函数y=4x吗？函数y=x与是相同的函数吗？请说明你的理由。 师生活动 让学生独立思考后在信息技术平台上提交自己的答案，教师根据答案引导学生从函数的定义与要素进行判断。然后，结合问题6引导学生回顾本节课的学习内容，并追问以下问题： (1) 函数的三要素指什么？ (2) 对于对应关系f，你有哪些认识？ (3) 与初中的函数概念相比，通过本节课的学习，你对函数有什么新的认识？ (4) 结合函数概念的学习，你能谈谈建立一个数学概念大致要经历怎样的过程吗？ 教师出示以上问题后，先由学生思考、交流，最后教师进行归纳总结，并强调如下几点： (1) 函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的根本依据；函数的对应关系f 的表示形式多种多样，常用的是解析式、图象、表格，但形式不同本质相同，在后续的学习中要逐步认识不同表示法的特点，积累根据问题背景选择函数表示法的经验。 (2) 本节课给出的函数定义与初中的定义最大的不同就是明确了自变量的变化范围，从而能更精确地刻画变量关系和规律。在接下来的学习中可以进一步看到明确定义域的重要性。 (3) 建立函数概念的大致过程是：具体实例一属性分析、共性归纳一下定义一概念辨析一应用。其中，对每一个具体实例的属性分析、共性归纳是非常关键的一步。建立其他数学概念的过程与此基本类似。 【设计意图】通过问题回应本节课引言中的问题，并对本节课内容进行小结，由此进一步加深对函数概念的理解，形成函数概念的基本结构。 课后作业 《必修第一册》P72-73，习题3.1，T3，11，14
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。

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