资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高一 学期 秋季
课题 函数的表示法（第一课时）
教科书 书 名：普通高中教科书 必修 第一册 教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年06月
教学目标
在实际情景中，能根据不同的需要选择恰当的方法（解析法、图象法、列表法）表示函数。 2. 了解分段函数，并能简单应用。 3. 能根据函数的解析式画出函数图象，理解函数图象的作用；培养直观想象素养。
教学内容
教学重点： 1. 函数的三种表示法，分段函数的概念。 教学难点： 1. 根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象。
教学过程
环节一、回望教材，归纳提炼 引导语 前面我们学习了函数的概念，那么我们通常采用哪些方法来表示函数呢？ 再次阅读教材3.1.1（P60-61）四个引例。 问题1 这些实际的函数问题是如何表示的？ 师生活动 先由学生独立思考并作答，师生帮助一起完善 3.1.1的具体实例。引导学生归纳概括出函数常见的三种表示法。 【设计意图】通过回顾 3.1.1中的具体实例，引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力，了解针对不同的实际情境采用适当的函数表示法，便于直观或深入地研究、解决问题。 环节二、体验方法，感悟特点 问题2 某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，试用函数的三种表示法表示函数。 师生活动 学生自主选择合适的方法对函数进行表示，然后在小组内部交流，进行修正和完善，教师展示学生中有代表性的答案，注意强调“研究函数，先看定义域”，尤其注意函数图象为五个离散的点。 【设计意图】回忆并熟悉三种表示法的具体呈现过程，再次强调定义域的作用，进一步理解函数的三种表示方法，建构知识体系。 追问1 相比初中学过的函数图象，你对函数的图象有什么新的认识？ 师生活动 对比初中一次函数、二次函数等函数的图象，重新认识函数的图象：函数图象既可以是连续的曲线（或直线），也可以是离散的点。 追问2 (教师调整散点的位置，学生辨析是否仍然表示函数)判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？ 师生活动 组织学生根据函数的定义辨析函数的图象. 教师总结：对于一个图形，若垂直于 x 轴的直线与图形至多有一个交点，则这个图形可以作为某个函数的图象.其中，若此直线与 x轴的交点横坐标属于定义域，则直线与图形有一个交点，反之，直线与图形无交点。 【设计意图】 完善对函数图象的认识，加深学生对函数概念的理解。 追问3 比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？ 师生活动 小组讨论，总结归纳三种表示法各自的特点，最后与教师一起总结出结论： 【设计意图】总结归纳三种表示法各自的特点，为比较三种表示法提供机会；培养学生观察、总结、表达能力。 追问4 所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请举出实例加以说明？ 师生活动 小组讨论，学生代表回答。 【设计意图】突出三种方法各自的局限性，从而在处理实际问题时选择合适的表示方法。 环节三、例题练习，巩固理解 例1、画出函数的图象。 师生活动 教师出示问题后，先让学生独立思考，之后可引导学生对含有绝对值的函数进行变形，去掉绝对值，转化成熟悉的一次函数，先让学生自己在草稿纸上画出相应图象，教师展示，提醒学生：这里的函数图象是由两条射线组成的一条折线，这是因为从解析式看，自变量取值在不同的范围时，函数有不同的对应关系，引入分段函数概念。强调分段函数是一个函数，而不是几个函数，要规范写法，写成分段函数形式。最后，总结思路：含有绝对值的函数可转化为分段函数进行研究；对于分段函数的图象，只需分别画出每段的函数图象，并注意端点的开闭即可。 【设计意图】学生从解析式入手，把陌生的含有绝对值的函数转化成熟悉的不含绝对值符号的分段函数，并绘制其函数图象，体会转化化归的思想方法，感受研究分段函数的一般思路。从解析式（数）到图象（形）的转化有助于加强学生数形结合观念。 追问1 分段函数的定义域是什么？值域是什么？ 师生活动 学生独立思考。 追问2 生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，你可以举出一些例子吗？ 师生活动 学生独立思考，列举生活中与分段函数有关的实例。 【设计意图】考查学生的理解、掌握的程度.加深学生对分段函数的理解，体会其普遍性与应用价值。 例2、给定函数. (1) 在同一直角坐标系中画出函数的图象； (2) ，用表示中的较大者，记为。 例如，当时，， 请分别用图象法和解析法表示函数。 师生活动 给学生充分时间画图，有初中的基础，学生基本都可画出函数的图象，然后给出第（2）问，并对函数做适当解读：当 x 每取一个值时，各有唯一一个函数值与之对应，而对应的则是这两个函数值中的较大者，由函数定义可知，是 x 的函数。引导学生从图象上对的函数值进行比较，得到的函数值，学生很自然地根据图1得到图2所示的函数的图象利用图象和解方程知识，学生即可顺利求出的解析式。 追问2 我们首先研究了图象，从图象得出了解析式.那么，你还能用其他方法研究吗？ 师生活动 找有想法的同学分享思路，师生共同完成另一思路：的大小关系进行分类讨论，先得到的解析式，再根据解析式分段画出的图象。 【设计意图】 (1) 此例题是从形到数的过程，充分利用图象特征，可以简化代数运算，可以引导学生从纯代数运算，比较大小的角度去函数的解析式，通过对比进一步加强学生的数形结合观念与直观想象能力。 (2) 通过对这种符号化表示的理解，提高学生的抽象思维能力。 环节四、课堂小结，归纳提升 问题3 回顾本节课的学习过程，回答下列问题： (1) 本节课我们是如何学习函数表示法的？请总结我们的学习过程. (2) 函数的常用表示法有哪些？各有怎样的特点？ (3) 本节课的学习过程体现了哪些数学思想？ 师生活动 学生自主总结、交流分享，教师提炼概括：本节课我们首先梳理初中学过的三种常用的函数表示法，在此基础上，我们实践了函数的不同表示，体会了三种表示法各自的特点.特别地，我们发现函数的图象既可以是连续的曲线、直线，还可以是折线、甚至是离散的点等.解题中我们还学习了一种新的函数，叫做分段函数.数学来源于生活，又服务于生活，下节课我们将学习如何对生活中的函数进行表示。 【设计意图】帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，深化对课堂内容的理解，为进一步的研究铺路奠基。 课后作业 《必修第一册》P69，练习T1-3，习题3.1，T7，10
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。

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