资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高一 学期 秋季
课题 函数的单调性
教科书 书 名：普通高中教科书 必修 第一册 教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年06月
教学目标
1. 通过具体实例，经历函数单调性概念的抽象过程，能准确说出单调递增(增函数)、单调递减(减函数)定义及其图象特征；能用例子说明“任意”“都有”等关键词的含义；发展数学抽象素养。 2. 能说出用函数单调性定义证明函数单调性的步骤，能用函数单调性的定义解决问题，发展逻辑推理、数学运算素养。
教学内容
教学重点： 1. 函数单调性的定义及应用。 教学难点： 1. 用符号语言表达函数的单调性，证明函数的单调性。
教学过程
环节一、构建先行组织者 引导语 前面我们学习了函数的定义和表示法，知道函数描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，这样我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律，通过函数“预测未来”。 研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法。 问题1 我们知道，“运算中的不变性就是性质”是研究代数性质的重要指导思想。函数性质的研究也有类似的指导思想。阅读课本第76页节引言及旁白中的内容，回答下列问题： (1) 什么是函数的性质？ (2) 你认为可以用怎样的方法发现函数的性质？ 师生活动 学生阅读并回答问题。 (1) 函数描述了现实世界中的变量关系和规律，所以函数的性质也表现在变化中的不变性、规律性。 (2) 可以通过观察函数图象、分析函数解析式等，寻找其中的规律，发现性质。 【设计意图】了解研究函数性质的指导思想，并确定研究的大致思路，以指导接下来的具体研究过程。 问题2 观察图1中各个函数图象的几何特征，你能说出它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？ 图1 师生活动 教师引导学生观察图象，尽可能多地说出函数的性质。只要不是错误的，教师都给予肯定的评价。在观察过程中，教师适当地给予“如何观察”的提示，例如在直角坐标系中看“几何特征”，往往从图象与坐标轴或原点有没有特殊关系、图象的“走势”图象的分布、有没有最高点或最低点等角度入手。 图(1)中的函数图象从左至右是上升的，且关于原点成中心对称；图(2)的函数图象有升有降，有最高点；图(3)中的函数图象关于y轴成轴对称，有升有降，有最低点；等等。 教师点评：同学们说的函数图象的升与降、对称性、最高点、最低点等，都是函数性质在图象上的反映。除此以外，函数还有其他性质。今天我们从如何精确地描述函数图象的上升、下降所反映的性质开始。 【设计意图】整体感知函数的性质，规划单元整体研究方案，明确本节课的学习任务，了解本节课的地位作用。 环节二、抽象概括，形成概念 问题3 在初中已经利用函数的图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，我们把它叫做函数的单调性。因为初中只是对单调性进行了直观描述，“形少数时难入微”，所以我们需要进一步用符号语言表达函数的单调性。下面先研究刻画二次函数单调性的符号语言。如图2，对于轴左侧的图象部分，你能用函数的自变量与函数值的关系描述图象从左至右是下降的吗？ 师生活动 学生根据初中学习经验和对图象的观察分析，老师在“如何观察”上加强启发和引导。 比如，先将图象直观与函数的自变量和函数值对应起来：“从左到右”其实就是自变量增大；“下降”就是函数值减小。 教师再利用课件引导学生观察：①当不断增大时，对应的点沿函数图象在下降，表明与对应的函数值的值不断减小；②只要，对应的点总在的左上侧，所以总有。 追问1 如何用符号语言精确刻画函数值随自变量的增大而减小呢？请同学们阅读教材P76页，并完成表格的左半栏。 ，，图象特征文字语言符号语言结论
追问2 对于函数，你能仿照表中左半栏部分的内容，把时函数的单调性填写在右半栏中吗？ 师生活动 学生根据要求完成任务，并展示交流。教师通过追问引导学生进一步理解。 【设计意图】 通过教师引导，逐步完成从图象直观到文字语言描述再到符号语言表达的过程，让学生通过阅读教科书、填表，了解函数单调性的符号语言表达方式。 追问3 利用全称量词命题如何解释上表中的“符号语言”？你能判断这个命题的真假吗？(以单调递减为例) 师生活动 先由学生独立思考、作答，然后进行全班交流，得出正确答案。 【设计意图】 通过教师引领、阅读教材，使学生初步感受用符号语言刻画函数单调性的方法；让学生通过语言转换，用全称量词命题表述，再给出命题正确性的证明，让学生感受如此定义的合理性，培养理性思维，体验符号语言的魅力。 追问4 函数，各具有怎样的单调性？你能仿照单调性的讨论给出解答吗？ 师生活动 学生独立完成，教师巡视、指导，关注符号语言表述的规范性和准确性。 【设计意图】 通过简单变式，让学生模仿，熟悉用符号语言表达函数单调性的方式，积累用符号语言表达函数单调性的经验，为抽象单调性定义做好准备。 问题4 前面我们用符号语言表达了函数，，的单调性，归纳它们的共性，你能给出函数在区间上单调性的符号语言表达吗？ 师生活动 先由学生独立思考、作答，教师通过课堂巡视，发现有表达错误的表达，通过投屏、讨论，纠正错误，然后让学生阅读教科书中对应的内容，教师板书、投屏完整的单调性定义。 【设计意图】 在经历了多个具体函数单调性的符号语言表达的基础上，归纳共性、抽象出一般性的函数单调性符号语言表达已经水到渠成。这里先安排学生自主进行归纳、概括，给出抽象的符号语言表达，可以暴露学生语言表达的问题（估计学生在设函数的定义域为，区间，语言的严谨性等方面都会出现一些问题），再让学生阅读教科书，给学生对照改进的机会。这是一个“示范一模仿一改进一完善……”的过程，既有教师的引导，又有学生的独立思考，兼顾了学生自主和教师主导，使质量和效率都得到保证。 环节三、辨析概念，加深理解 问题5 (1) 设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且，当时，都有，我们能说函数在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？ 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域上是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域的不同区间上都单调递增但在整个定义域上却不是单调递增的函数例子吗？ 师生活动 学生先独立思考、举例，再进行小组交流、班级展示交流，老师可以提醒学生用多种方式表示函数，特别是通过函数图象举反例，说明问题。 【设计意图】 问题(1)是引导学生辨析定义中的“任意”二字；问题(2)既是为了区分“单调递增”与“增函数”、“单调递减”与“减函数”等概念，同时也是为了引导学生认识函数在不同区间上单调递增(递减)时，在它们的并集上不一定保持单调递增(递减)的性质。 环节四、初步应用，培养技能 例1、根据定义，研究函数的单调性。 师生活动 先让学生独立思考研究思路，再进行全班讨论，确定研究思路，然后学生给出严格的表述(可以让几个学生板书)，再通过学生互评、教师点评完善解答过程。 教师应强调：(1)研究一个函数的单调性，需要利用单调性的定义，考察在定义域的哪些区间上单调递增、哪些区间上单调递减；(2)具体的操作方法是，在条件下，考察不等式是否成立，这里往往要用不等式的性质和代数变形。另外，还可以告诉学生，虽然像一次函数这样的简单函数，作出图象不困难，所以通过作图、观察图象也能得到函数的性质，但这是不严谨的，更何况当函数比较复杂、不容易作图时，通过代数运算得出函数的单调性就更有其优势了。今后我们还会有更先进的办法来刻画函数的单调性。 【设计意图】关于一次函数的单调性，初中阶段是通过观察图象得到的，现阶段是利用定义通过严格的逻辑推理证明结论。由此，不仅体现了形式化定义的作用，而且通过比较简单的推理过程，让学生理解用单调性定义研究函数单调性的基本方法。 例2、物理学中的玻意耳定律为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试对此用函数的单调性证明。 师生活动 先让学生独立思考“体积V减小时，压强p增大”的含义，建立物理意义与函数单调性的联系；再让学生独立给出证明，可让几个学生进行板书，完成后再进行点评完善。 追问 你能总结例1、例2的解题过程，并归纳一下用单调性定义研究或证明一个函数单调性的基本步骤吗？ 【设计意图】例2是一个物理学中的公式，本例要使学生体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象。而且数学研究的不是一个现象而是从中抽象概括出来的~般问题，将一些不同的现象抽象成一类函数，通过研究这一类函数的性质获得事物的变化规律。 另外，通过追问，要让学生总结出证明函数单调性的基本步骤： 第一步，确定函数的定义域 Ⅰ； 第二步，，设，将代入，得； 第三步，将进行代数变形，转化为可以直接用实数大小关系、不等式的基本性质等判断其符号的式子； 第四步，得出相应的单调区间。 例3、根据定义证明函数在区间上单调递增。 师生活动 先由学生独立思考并写出证明过程，可选几名学生板书，然后再进行全班交流。要引导学生进一步总结证明步骤，明确代数变形的方向。 【设计意图】利用单调性的定义，通过严格的代数推理，获得函数在上单调递增的性质，这在没有函数单调性定义的时候是做不到的，可以使学生进一步体会到定义的作用；同时，也可以使学生体会代数证明的一般方法，培养学生的逻辑推理、数学运算等素养。 环节五、课堂小结，总结提升 问题6 回顾本节课的学习过程，回答下列问题： (1) 如何用符号语言刻画函数的单调性？ (2) 用单调性的定义证明函数单调性，有哪几个主要步骤？ (3) 你认为，在理解函数的单调性时应把握好哪些关键问题？ (4) 结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？ 师生活动 在学生独立思考的基础上回答，教师再进行归纳。 【设计意图】 (1) 让学生准确叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数等定义，并归纳它们的共性，从而进一步把握函数单调性的要点； (2) 主要步骤见前述内容； (3) 引导学生进一步理解函数单调性的内涵，如它是针对函数定义域上的一个区间的，“，设”的含义，如何对进行代数变形等； (4) 要使学生体会“从定性到定量”的研究思路，即通过图象直观及自然语言定性刻画函数性质，再用符号语言进行定量刻画，从而使函数性质得到严谨的数学表达。 课后作业 《必修第一册》P85-86，习题3.2，T1，2，3，6，8，9
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
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