资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高一 学期 秋季
课题 函数的应用（一）
教科书 书 名：普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版） 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学目标
1.初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题的过程和方法。 2.在实际问题与数学问题的转化过程中，提升类比抽象的能力，发展数学抽象的核心素养。 3.在建立数学模型解决实际问题的过程中，提升数学运算和数学建模的素养。
教学内容
教学重点： 将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系。 教学难点： 利用给定的函数模型，写出具体的函数解析式并解决实际问题。
教学过程
一、情景引入 著名数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日月之繁,无处不用到数学。”的确，数学来源于生活又服务于生活。 我们学习过一次函数、二次函数、幂函数等，这些函数都与现实世界紧密联系。下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。 二、例题讲解 在本章的第一节“函数的表示法”中，通过例8的学习，不仅知道了依法纳税是我们每个公民应尽的义务，并且还初步了解了个人所得税的计算方法。下面我们将进一步研究个税缴纳问题，先来看题目信息： 例1 2019年1月1日起，公民依法缴纳的个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为： 个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数 ① 应纳税所得额的计算公式为： 应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除 ② 其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60 000元。税率与速算扣除数见表格。 设小王缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52 800元，依法确定其他扣除是4 560元，全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）。 （1）求y关于x的函数解析式； （2）如果小王全年的综合所得由189 600元增加到249 600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 问题1：这一问题中存在哪些变量？它们之间是什么关系？ 问题2：如何通过这些关系确定应缴纳个税与综合所得的关系？ 师生活动：教师提出问题，学生独立思考、讨论回答，教师结合回答情况给与补充。 设计意图：1. 通过学生的分析，理清这个问题中的变量之间的关系；2. 引导学生写出这些变量之间的函数关系。这里，一定要让学生先回顾例题8的求解过程和结果，在例题8的基础上处理本题，让学生体会应缴纳个税与应纳税所得额之间的关系，以及应纳税所得额和综合所得的关系。 师生小结：对于任一个综合所得收入额都有唯一确定的应纳税所得额与之相对应，而任一个应纳税所得额也与唯一确定的个税税额相对应。这样，对于任一个综合收入所得额都有唯一确定的个税税额与之相对应，由函数的定义，个税税额y是综合收入所得额x的函数。 我们可以通过以下步骤解决本例的两个问题： 第一步，根据例8中公式②，得出应纳税所得额t关于综合所得收入额x的解析式t=g(x)； 第二步，结合例8中已经得到的y=f(t)的解析式③，得出y关于x的函数解析式； 第三步，根据所得解析式求出应缴纳个税税额。 设计意图：通过对于问题的分析，归纳出解决问题的一般步骤，不仅引导学生完成了例题，而且让学生进一步体会解决实际问题的过程与方法。 问题的解答：（1）根据应纳税所得额计算公式得t=x-60000-x(8%+2%+1%+9%)-52800-4560 =0.8x-117360. 令t =0，得x=146700，所以根据应纳税所得额的规定可知，个人应纳税所得额 t 关于综合所得收入额 x 的函数解析式为： 问题3：当x在什么范围内时可以使t落到相应的区间，从而确定税率和速算扣除数？ 设计意图：引导学生通过解相应的不等式求得工资x的不同范围，从而得到个税税额关于综合收入所得额的分段函数。在教学过程中让学生体验上述数学抽象的过程。 师生活动：教师提出问题，学生独立思考、讨论回答，教师结合回答情况给与补充。 问题的解答：对于第（1）问，最终师生得出的个税税额y是综合收入所得额x的函数为： （2）当x=249600时，y=0.08×249600-14256=5712。 所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元。 本题小结：对在例8中，给出小王的综合所得收入额为189 600元，我们需要先利用公式②求出应纳税所得额，再利用我们建立的个税税额y关于应纳税所得额t的函数解析式，求出他应缴纳个税税额为1029.6元。而在本例中，我们将个税税额表示成了综合收入所得额的函数，就可以直接由综合收入所得额求出需要缴纳的个税税额。由此可见，有了函数模型，就可以通过研究函数的性质而获得实际问题中的变化规律，通过函数图象也可以更直观地看到这种整体的变化规律。 例2 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的关系如图所示。 (1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象。 问题4：请同学们找到题目中涉及的变量，它们之间是什么关系？ 问题5：如何确定里程表读数与时间之间的关系呢？ 师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论，并回答问题。 设计意图：这个例题需要利用图形中的信息及问题中的数据建立分段函数的数学模型。教学中仍然要让学生从分析题意入手，分析清楚问题中涉及的变量，它们之间是什么关系，通过这些关系是如何确定里程表读数与时间之间的关系等。 问题的解答：（1）阴影部分的面积为 ， 所以阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km。 师生互动：由图可知，当时间 t 在[0,5]内变化时，对于任意的时刻 t 都有唯一确定的行驶路程与之相对应. x=t这条直线左边的阴影面积就是经过t时间的路程。每个时间段内对应的平均速率不同，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述。由S=vt，s=2004+S等关系，通过逐步抽象，我们就不难得到里程表读数s与时间t的函数关系。 当 时，里程表读数s应在2004的基础上加上经过t时间行驶的路程50t； 当 时，里程表读数s应在2004的基础上加上第一小时内行驶的路程50，再加上1到t时间行驶的路程80（t-1），以此类推。 问题的解答：（2）由上述分析可得，里程表读数s关于时间t的函数解析式为： 同时注意到分段函数对应区间的开闭情况，这个函数的图象如图所示. 本题小结：本题的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有帮助。因此，我们要注意提高读图能力。另外，本题用到了分段函数，解决现实问题时经常会用到此类函数。 三、课堂巩固 练习1 若用模型y=ax2描述汽车紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速率x（单位：km/h）的关系，而某种型号的汽车在速率为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20 m.在限速为100 km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50 m，那么这辆车是否超速行驶？　 解：由，解得，即.令，解得（舍去负数解）。因为，所以这辆车没有超速行驶。 设计意图：1.让学生巩固在已知函数模型的基础上，运用函数的知识和思想解决实际的能力。 2.为后续建立更为复杂的函数模型解决实际问题做好铺垫。 四、小结提升 问题6：过本节课的学习，谈谈你对利用函数模型解决实际问题的感受。 师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论，教师补充完善。 设计意图：让学生初步体会用函数的方法解决实际问题的过程。 本课小结：在研究两个例题的过程中，我们经历了以下四个步骤：审题，建模，求模，还原。 五、课后作业 1.基础巩固：课本P95.习题3.4 ex2、3。 2.拓广探究：小组合作研究影响汽车停车距离的主要因素，并试着建立恰当的函数模型。 设计意图：1.是基础练习，用于巩固所学内容，让学生进一步体会用函数的方法解决实际问题的一般过程。2.是对课内练习的拓广研究，再增进学生学习兴趣的同时，为后续学习函数的应用二做铺垫。

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