资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高一 学期 秋季
课题 诱导公式（三角函数第5课时）
教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学目标
借助单位圆的对称性，利用定义推导出公式二~公式六； 能综合运用诱导公式将任意给定的三角函数值转化为锐角三角函数值； 能运用诱导公式解决三角函数式的化简、求值和证明。
教学内容
教学重点：借助单位圆，推导出诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数； 教学难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。
教学过程
复习回顾，提出问题 在学习新的公式之前，我们先来回顾一下前面学过的公式一。这一组公式用文字描述为：终边相同的角的同一三角函数的值相等。 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0~2π角的三角函数值。 【问题1】为什么公式一成立？ 证明公式一需要用到三角函数的定义。设角α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则sinα=y，cosα=x，tanα=。因为角α+2kπ的终边与单位圆也交于点P(x,y)，所以正弦、余弦、正切值均相等。 公式一其实是圆的几何特性的代数体现，因为圆具有对称性，单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置，所以角α与角α+2kπ的三角函数值相等。 【追问】旋转360度可以回到原来的位置，旋转180度后结果如何呢？ （二）联想激活，探究新知 【探究1-1】如图，在直角坐标系内，设角α的终边与单位圆交于点P1，作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？ 角α的终边按逆时针方向旋转角π可得OP2，以OP2为终边的角β都是与角π+α终边相同的角，故β=2kπ+(π+α)，k Z。设P1的坐标为（x,y），则P2的坐标为（－x,－y）。根据三角函数的定义，可得sinβ=－sinα，cosβ=－cosα，tanβ=tanα，再利用公式一可得sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cosα，tan(π+α)=tanα。 这样我们成功探究出了公式二，现在总结一下。由圆的中心对称性出发，作出终边关于原点对称，通过分析对称前后角的关系，交点的坐标关系，得到了三角函数值的关系，进一步总结出公式二。圆的中心对称性是形，三角函数值的关系是数，整个探究过程非常好的体现了数形结合的思想方法。 【思考】当角α位于其他象限时，公式二是否成立呢？ 事实上，无论角α位于第几象限，当终边关于原点对称时，对称前后角的关系、交点的坐标关系与前面推导保持一致，从而公式二依然成立。 圆除了有中心对称性，还有很好的轴对称性。 【探究1-2】如果作P1关于x轴的对称点P3，那么可以得到什么结论？ 以OP3为终边的角都是与角－α终边相同的角。若P1的坐标为（x,y），则OP3的坐标为（x,－y），故sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα。 观察诱导公式三，我们发现，正弦和正切为奇函数，余弦为偶函数。 【探究1-3】如果作P1关于y轴的对称点P4，那么又可以得到什么结论？ 以OP4为终边的角都是与角π－α终边相同的角，P4的坐标为（－x,y），故sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α。 【思考】公式四还有其他证明方法吗？ 事实上，利用公式二、三，也可证明公式四。例如，sin(π－α)＝sin(π＋(－α))=－sin(－α)=sin α。 回顾上述推导过程，借助单位圆，由角的终边关于原点、x轴、y轴对称得到了公式二、三、四。是否还有其他特殊的对称关系，对应的角的三角函数是否也存在某些特殊的关系？下面看探究二。 【探究2】作P1关于直线y = x的对称点P5，以OP5为终边的角γ与角α有什么关系？角γ与角α的三角函数值之间有什么关系？ 由于点P1和点P5关于y = x对称，故OP1到直线y = x的角，与OP5到直线y = x的角始终相等，我们记这个等角为，则 事实上，不管点P1在第几象限，以OP5为终边的角都是与角终边相同的角。过P1作x轴的垂线，围成蓝色直角三角形。过P5作y轴的垂线，得到红色直角三角形。其中角P5Oy等于角P1Ox，故两三角形全等，所以P5的坐标为（y,x）。 利用三角函数的定义，再将上述的等量关系进行整合，可以得到公式五。 ， 【探究3】作P5关于y轴的对称点P6，又能得到什么结论？ 探究1和探究2作了一次对称变换，探究3相当于对点P1作了两次对称变换。经过两次变换，以OP6为终边的角都是与角终边相同的角，相当于角α的终边旋转了90度。P6的坐标为（－y, x）。利用三角函数的定义，可以得到公式六。 ， 公式五和六主要可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。此外，先关于x轴作对称，再关于y = x作对称，同样可得公式六。 （三）探寻规律，牢记公式 【问题2】这六个诱导公式有什么规律？如何记忆这些公式呢？ 诱导公式可统一为角的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系。 当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符合； 当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符合。 巩固运用，内化迁移 例1 利用公式求下列三角函数值。 （2）（3）（4） 例2 化简 【问题3】你能归纳把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？ 回顾总结，深化认识 圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质，本课我们充分利用圆的对称性，得到了以下公式。 利用诱导公式可以实现负化正，大化小，最终化到锐角。求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题。将任意角转化到0°到90°范围内，只要制作出0°到90°范围的三角函数表，任意角的三角函数求值问题就都解决了，这对古代天文学家来说是无比欣喜的。
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。

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