资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高一 学期 (春季/秋季)
课题 5.4.3 正切函数的性质与图像
教科书 书 名：人教A版必修第一册 出版社：人民教育出版社 出版日期：XXX年XXX月
教学目标
1.知识目标：掌握正切函数的研究方法:先研究函数的性质，从函数的性质指导作图，通过函数的图像去研究函数的性质. 2.能力目标：掌握函数的一般研究方法，并体会数形结合思想的妙处. 3.素养目标： ①数学抽象：运用定义，借助数学语言表示正切函数的相关性质； ②逻辑推理：证明正切函数的性质； ③数学运算：运用正切函数的性质与图像，求函数性质； ④数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，解决实际问题。
教学内容
我们首先关注到课题的变化：三角函数的图像与性质，正弦函数、余弦函数的图像，正弦函数、余弦函数的性质，本节课题为正切函数的性质与图像。 在前面的正弦函数、余弦函数的学习中，根据三角函数定义的基础上，用集合对应的语言给出了正弦函数和余弦函数的完整定义，然后利用正弦线画出正弦曲线，利用图像考察了正弦函数、余弦函数的性质。直观地感觉（事实上教材并没这样处理），学生完全可以类比正弦函数和余弦函数的做法，利用图像研究性质，让学生熟练把握正切函数图像的形状特征，并能在图像直观下研究函数。但是教材并不是这样处理，对于正切函数，教科书采取了先根据已有的知识（如正切函数的定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图像。这样处理，主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，毕竟在性质的指导下可以更有效地作图，研究图像，增加了理性思考的成分，数形结合的思想得到更加全面的体现。 学生已经学习了正切函数的定义，且已经学习了正弦函数、余弦函数的研究方法：先图像，后根据图像考察正弦函数、余弦函数的性质。但是学生对于单位圆的正切线掌握情况，并不了解。 根据教学内容解析和学情分析，我确定本节课的教学重点和难点如下： 重点：掌握正切函数的研究方法：先研究函数的性质，从函数的性质指导作图，通过函数的图像去研究函数的性质，让学生充分感受数形结合的思想 难点：如何研究正切函数的性质；如何做出正切函数的图像；正切函数的对称中心
教学过程
一 复习回顾 正切函数是如何定义的？那么根据前面所学的知识，哪条是它的正切线？ 【设计意图】 类比前面的正余弦函数研究，从正切函数的定义出发，引出正切线，让同学们体会单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具，也为研究正切函数的性质提供了形的“支持”。 二 认知冲突 学生活动1：我们打算如何研究正切函数？（学生的一般选择是：描点画图） 可能出现的情况（部分举例） 学生图1： 学生图2： 学生图3： 学生图4： 【设计意图】 学生在初中的学习中，已经熟练掌握列表，描点作图。而此时函数没有任何性质指导，想要完整做出图像很困难，通过高拍仪对比，对于图像正确与否，学生发现很难有清晰的判断标准，标准便是正切函数的性质。此处图像应该较多，不一一列举，很多同学可能受书本的影响作图，但不准确。 确定的函数的图像是唯一的，我们同学怎么会出现这么多的图像？让大家真假难辨，究其原因，我们对正切函数的性质了解太少，我们不妨先去研究函数的性质，再去指导我们作出函数的图像。 三 合作探究 分析：根据学生掌握正切函数的定义、诱导公式、正切线等知识，学生研究函数的性质可有多种视角。视角1：从数的角度研究正切函数的性质；视角2：从正切线的角度研究正切函数的性质；视角3：从数与形结合的角度研究正切函数的性质；视角4：根据，学生从正弦、余弦函数的图像出发，尝试研究。 视角4 我们打算研究正切函数的哪些性质呢？同学们会首先研究函数的哪个性质？每研究一个性质，探究性质对作图的帮助。 1.研究1：定义域 定义域为 角度1：，根据前面所学，要使得有意义，，此时 角度2：我们不妨回到正切函数的定义上来，当角x从逆时针开始旋转，到，没有定义了。 从数轴上解读定义域（视学情）：正切函数的定义域是数轴上挖去一些点，并且是有规律的挖去一些点，每个间隔。 【设计意图】 研究一个函数，首先要从函数的定义域出发。研究正切函数的定义域有两个视角，可以从数的角度，也可以从形的角度。正切函数的定义域是数轴上挖去一些点，为从数的角度研究函数的周期及奇偶性埋下伏笔。 若学情不错的话，继续深入：可以看作是无数个集合的并集，即，为研究单调性及周期埋下伏笔。 2.研究2：值域 学生起来回答：R？（理由可能不清楚，视学情） 【设计意图】 学生研究完定义域，很多时候会想要研究值域，并不了解求值域的一些方法与特点。随着角的变化，正切线的变化情况去刻画，即角。因为周期等性质未考虑，学生觉得有疑虑，可为后续从函数的图像去研究性质埋下伏笔。 3.研究3：周期性 你为何打算研究周期性？ 角度1：诱导公式，你为何想到？（周期函数的定义域也应该呈周期出现，挖掉的点的最小间距也为） 角度2：，你为何想到？（我们知道当角逆时针方向旋转时，我们发现此时的正切线和的是一样的）。 【设计意图】 若是周期函数，我们只需先研究一个周期的图像，其余的图像便会重复出现，只要研究1个周期，我便敢放眼整个正切函数。对于的理解，学生可能更倾向于数的角度，即诱导公式出发。我们研究函数的周期性为我们作出函数的图像带来了怎样的便利？你打算研究哪个范围内的图像？ 预设：，。中的没有定义。 研究:4：奇偶性 你为何打算研究函数的奇偶性？研究函数的奇偶性首先应考虑什么？ 角度1：诱导公式 角度2：我们知道当角与角关于轴对称，此时的正切线AT互为相反数，角随意变化，正切线AT仍然互为相反数。因此是奇函数 【设计意图】 若函数有奇偶性，根据数性质，只需研究函数非负半轴、且在定义域内的图像即可，有了函数的奇偶性，我们事半功倍。若是奇函数，只需关于原点对称；若是偶函数，只需关于轴对称。此时我们要作出正切函数的图像，只需研究上的图像即可。 研究5：单调性 你为何打算研究函数的单调性？你打算如何研究正切函数的单调性？ 角度1：学生描点。（此时引导学生，第一次作正切函数的图像，尽可能避免人为误差，且描几个点并不能准确的反映出函数的单调性。 角度2： ，，且变大，变小，所以变大。 角度3： 几何画板演示角x的变化带动正切线的变化，让学生发现在上，角越大，正切值越大。 角度4： 任意且 法1： , ，， 在区间上为单调递增函数。 法2： 在上单调递增， 在上单调递减， ，所以正切函数在上单调递增 【设计意图】 通过学生的描点，从感性的认识到达理性的认识，要研究函数的单调性，单单靠描几个点，并不能说明函数的单调性。角度3引导学生回到正切函数的定义上来，利用单位圆的正切线描述变化规律，正切函数在是增函数，感性认识：增加的越来越快；当趋向于时，正切线会往轴的正方向无限延伸，无限接近，始终不相交。角度4，定义证明，从数的角度刻画单调性，值得一提的是，函数的单调性研究变量控制在上，并不能证明，体现在上研究的好处。 作出正切函数的图像 学生活动2：让学生试着画出正切函数在的图像。 可能出现的情况（部分举例） 图1 图2 图3 图4 学生习惯去描点，我们初次作正切函数的图像，想尽可能的避免人为的误差，我们有没有其他的办法？引导学生类比正弦函数图像的做法，利用正切线将正切函数的图像作出。 【设计意图】 利用单位圆的正切线描述变化规律，与学生进行相互交流，总结出以下两点：①增加的越来越快；②当趋向于时，正切线会往轴的正方向无限延伸，无限接近，始终不相交；③几何画板演示的图像，若需严格证明，需要更多的知识支撑。 学生活动3：请同学们作出正切函数的完整图像。 可能出现的情况（部分举例） 图图1 图2 图3 图4 【设计意图】 让学生大胆作图，高拍仪展示典型错误的情况。图1当趋向于时，正切线会往轴的正方向无限延伸，无限接近，始终不相交。图2忽略了函数的周期性，仅作出一个周期的图像。图3违背了奇函数的性质。图4，并未准确反映出函数下一周期的图像。 学生活动4：同学们对比正确的图像与自己原先作的图像。违背了正切函数的哪个性质？ 【设计意图】 通过对比，让学生充分感受到，我们先研究函数的性质，通过函数的性质指导函数作出图像，变得更加理性，更有效率，指导性更强。 小结1：从正切曲线中，你发现了什么？ 正切曲线是被互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线所组成的。 小结2：你今后要画正切函数的草图，准备怎么画？每次也要借助几何画板吗？ 根据正切函数的定义域及周期性，我们只需先画上的图像。把握住与无限接近，始终不相交；且与轴交于(0,0)，其余的图像周而复始即可。 通过正切函数的图像研究正切函数的性质 环节4：学生反向研究函数的性质 师：我们从正切函数的图像上，能否形象的看出正切函数的性质？ 生：定义域，值域，奇偶性，周期性 师：从图像中，我们可以观察得出，是不是最小正周期？ 生：不仅是周期，也是最小正周期 师：单调性如何？我们能不能说正切函数在整个定义域上单调递增？ 生：不能 师：从形上来看，是不是右边的点高于左边的点？ 师：我们知道奇函数是关于原点对称，原点是否为对称中心？ 师：还有没有其余的对称中心？ 生：有无数个，为， 师：还有吗？这位同学，你来说说看。 生： 师：其他同学同意吗？ 生：同意 师：为什么？能否说明一下。 生：用图象可以说明。 四 学以致用 例.已知函数 求该函数的定义域、周期、单调区间 五 课堂小结 师：今天针对正切函数，我们选取了先性质，后图像的研究方法，特别的，在性质的探究过程当中，同学们不自觉的采用了数与形结合的角度，当然同学们也可以选取数的角度，或者正切线的角度研究。事实上，对于一般的函数而言，我们既可以借助函数的图像去研究性质；又可以利用函数的性质去研究图像，正所谓数形结合，相得益彰，这不禁让我想起了数学家华罗庚先生的一句话：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。

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