资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高一 学期 秋季
课题 三角函数的应用（三角函数第12课时）
教科书 书 名：普通高中教科书 数学必修第一册（A版） 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学目标
1.通过对两个实际问题的学习，能认识三角函数模型是描述周期变化的重要数学模型，了解简谐运动的函数模型中参数的物理意义； 2.在问题研究过程中体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，增强应用意识，感受数学应用价值； 3.在实际问题的解决过程中感受信息技术处理数据的优势，提升数学建模素养。
教学内容
教学重点： 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。 教学难点： 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
教学过程
情景导入 现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，例如地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化、月亮圆缺、潮汐变化、物体做匀速圆周运动时的位置变化、物体做简谐运动时的位移变化、交变电流变化等. 如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.本节课我们将通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用. 实例探究 振子运动是物理中常见的一类较为理想化的模型.通过课前查阅的弹簧振子相关资料，你能说说振子运动的原理吗？ 通过动画演示振子运动过程,振子的运动具有循环往复的特点，它的位移随时间的变化规律具有周期性，振子在某一中心位置两侧做往复运动，这个中心位置就是平衡位置. 全振动是从任一时刻起，物体的运动状态(位置、速度、 加速度)，再次恢复到与该时刻完全相同所经历的过程. 你能结合振子运动相关知识完成下面的问题 1吗？ 问题1 某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t (单位：s)与位移 y (单位: mm )之间的对应数据如表1所示，试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式. 问题:表示函数有哪些方法？如何让表格中 数据反映出的位移随时间变化的规律更直观？ 函数表示有三种方法，即列表法、图象法、解析法，我们可以考虑先作出函数的散点图时变化规律更加直观。 追问:结合振子运动原理及上面图象，位移随时间的变化规律可以用怎样的函数模型进行刻画？ 思考：试根据所求函数解析式估计当时间t=5s时振子的位移. 因为振子的位移关于时间的函数解析式为 当t=5s时，所以当时间t=5s时振子的位移约为10mm. 知识归纳 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动． 在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数，其中，来表示．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关： A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 这个简谐运动的周期是，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；称为相位；时的相位称为初相. 可以看到我们在物理学中把三角函数中的三个参数都赋予了物理意义. 巩固练习 某简谐振动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题： （1）这个简谐振动的振幅、周期与频率各是多少？ （2）写出这个简谐振动的函数解析式. 我们己经梳理了应用三角函数模型解决实际问题的步骤，你能根据解题步骤完成问题2 吗？ 问题2 图5.7-2（1）是某次实验测得的交变电流（单位：）随时间 （单位：s）变化的图象.将测得的图象放大，得到图5.7-2（2）. （1）求电流随时间变化的函数解析式； （2）当时，求电流. 观察函数图象你发现电流随时间变化有什么特点？可以用什么函数刻画？ 追问:你是如何读出函数周期的？ 解：（1）由交变电流得产生原理可知，随时间的变化规律为， 其中表示频率，表示振幅，表示初相.由图可知，，， 所以，，所以，， 所以 （2）将代入，可得对应的值分别为 通过前面的两个三角函数模型问题学习，你能总结利用函数图象求解析式步骤吗？ 先求振幅A：观察图象最高点和最低点来确定； （2）再由周期T求ω：通过图象分析周期T； （3）最后求初相φ：通过代入图象上的特殊点求出φ的值． 三、课堂小结 1.中各参数的物理意义 2.三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象; (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合; (3)利用三角函数模型解决实际问题; (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验. 通过本节课学习我们进一步体会了三角函数是描述周期性变化规律的重要数学模型，增强了我们的应用意识，感受了数学的应用价值. 四、课后作业
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。

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