资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 （数学） 年级 （高一） 学期 (秋季)
课题 (第二章 一元二次函数、方程和不等式小结)
教科书 书 名：人教A版教材 出版社：人教版出版社
教学目标
知识与技能：理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式关系，掌握不等式性质，一元二次不等式解法，基本不等式的应用，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构一元二次不等式的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
教学内容
教学重点： 1.不等式性质及 一元二次不等式解法及应用。 2. 基本不等式应用。 教学难点： 1. 含参数的一元二次不等式的解法 2.不等式恒成立问题。
教学过程
首先对人教版高中数学必修一第二章的内容进行了整体回顾。然后进行了知识梳理，最后进行了本节课小结。 一.不等式与不等关系 1.不等式的主要性质： (1)对称性：　　　　　　　 (2)传递性： (3)加法法则：； ，我们用一句话来概括，就是“同向可加” (4)乘法法则：； 如果 如果 同样的，我们用几个字来简单概括这个规律，就是“同向同正可乘”。 (5)倒数法则： (6)乘方法则： (7)开方法则： 总结了如何应用不等式的性质比较两个实数的大小，主要是通过作差——变形——判断符号——得出结论四个步骤来比较，这种方法我们称为作差法。 二．基本不等式 这就是基本不等式。 而基本不等式又可以继续变形，例如有: ；≤,当且仅当时取等号。 基本不等式的最主要应用是求最值问题，基本不等式及它的变形式我们会经常遇到。 强调了利用基本不等式求最值的重要条件“一正，二定，三相等”。 最后给出一个重要的不等式链 三．二次函数与二次方程、二次不等式 类比一次函数、一元一次方程，一元一次不等式三者的关系，我们得到了二次函数 （），一元二次方程，一元二次不等式之间的关系并探究了一元二次不等式解法，在此基础上还学习了分式不等式的解法。 四．分式不等式的解法 解分式不等式的基本思想就是转化为整式不等式再求解。 基本题型 题型一 不等式的性质的应用 例1.下列命题中正确的是（ C ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 变式训练1.如果，，则下列不等式中正确的是（ A ） A． B． C． D． 小结：不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项。答案分别为C、A 题型二 比较大小 例2.比较（x+2）（x+3）和（x+1）（x+4）的大小。 变式训练2.已知求证。 小结：作差法和利用不等式性质是比较大小两种基本方法。例1是经典的作差法比大小题型，通过作差——变形——判断符号——得出结论四个步骤即可得出答案。例2我们可以通过不等式性质中的倒数法则和乘法法则来解决。 题型三 基本不等式 利用基本不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用基本不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。要特别注意基本不等式等号成立条件。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。 1、拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例3. 当时，求的最大值 变式训练3.已知，且，则的最大值为 2、拼凑定积 通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件 例4 .设，求函数的最小值。 变式训练4. 求的值域为 3、约分配凑 通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。 变式训练5.已知,且,则的最小值为 小结：基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立. 题型四 一元二次不等式的解法 例6．解下列不等式 （1）（2）（3） 变式训练6. 不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（　D　） A、 B、C、∪D、 小结：在解一元二次不等式的过程中，变形时要注意，二次项系数为正，各项系数为整，以便于因式分解和最后符号的判断。 题型五 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论 例7 解不等式 含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏. 变式训练7.解关于x的不等式 小结：解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论. 题型六 不等式的恒成立： 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下两种： 1.转化法求参数范围 若函数f(x)函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}， 则y≥k恒成立 ymin≥k即m≥k； y≤k恒成立 ymax≤k即n≤k. 例8. 已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。 2.变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元. 例9．若不等式ax2－2x＋2>0对于满足1备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。

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