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第四单元 比例
（考点聚焦+重点速记+学以致用）
知识点一：图形的放大和缩小
1、用把图形按n：1（n>1）的比放大，就是把图形的每条边都放大到原来的n倍；把图形按1：n（n>1）的比缩小，就是把图形每条边都缩小到原来的n分之一。
2、在方格纸上把一个简单图形按指定的比放大或缩小的步骤。
一看:看原图形每边各占几格。
二算:按给定的比计算出图形的各边放大或缩小后得到的新图形各边各占几格。
三画:按计算出的结果画出原图形放大或缩小后的图形。
知识点二：比例
1、表示两个比相等的式子叫作比例。
2、根据比例的意义组比例。
判断两个比能否组成比例，关键要看它们的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例;若比值不相等，则不能组成比例。
3、组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
知识点三：比例的基本性质和解比例
1、比例的基本性质。
(1)在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。
(2)如果用字母表示比例的四个项，即a∶b=c∶d，那么比例的基本性质可以表示成a×d=b×c。
2、解比例。
(1)求比例中的未知项，叫作解比例。
(2)解比例的依据是比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出未知的一项。求比例中的未知项的过程是解比例，解比例时先利用比例的基本性质把比例转化成乘法，再利用等式的性质解方程。
知识点四：比例尺
1、比例尺的意义及分类。
(1)一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
(2)比例尺的数量关系式。
图上距离∶实际距离=比例尺或=比例尺
(3)常见的有数值比例尺和线段比例尺。
2.比例尺的应用。
根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据比例尺的意义来求，也可以根据“=实际距离”直接列式计算。
考点1 图形的放大和缩小
1．根据图意可知，下面4种描述中正确的有（ ）。
①图A按4∶1放大得到图B
②图B按1∶2缩小得到图C
③图C按2∶1放大得到图B
④图A按2∶1放大得到图C
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列图形中，将图（1）按2∶1画出来的是（ ）。
A．① B．② C．③
3．将一个底是6cm，高是8cm的三角形，按1∶2的比缩小后，再按5∶1的比放大后，得到的三角形面积是原三角形（ ）倍。
A． B． C． D．
4．一个平行四边形的底是8cm，高是3cm。把这个平行四边形按5∶1放大后，得到的图形的面积是( )。
5．图形A按( )的比例缩小后可以得到图形B；图形A与图形B的面积比是( )。
6．填一填、画一画（下面每个小正方形的边长表示1厘米）。
（1）画出图①关于直线CD对称的图形②；
（2）点C用数对表示为（7，5），则点O用数对表示为（ ）；画出图①绕O点逆时针旋转90°，然后向上移动3格后的图形③；
（3）在方格纸的右下方画出图形①按1∶2缩小后的图形④。
7．按要求完成。
（1）图形①的面积是（ ）cm2，其中点“K”的位置用数对表示是（ ）。
（2）画出图形①按照2∶1放大后的图形②。
（3）画出图形①绕点“K”顺时针旋转90°的图形③。
考点2 比例的意义
1．下面各组数中的两个比可以组成比例的是（ ）。
A．30∶6和1∶5 B．15∶9和1.6∶2.4C．∶和∶ D．1.5∶2和3∶4.5
2．中国首颗太阳探测科学技术试验卫星“羲和号”，能够24小时连续对太阳进行观测。其搭载的成像光谱仪通过对太阳的日面扫描，获得光谱的数量情况大约如下表。
时长/秒 5 10 20 46
获得光谱/条 500 1000 2000 4600
根据表中的数据组成比例，正确的是（ ）。
A．5∶500＝1000∶10 B．2000∶20＝10∶1000 C．500∶5＝4600∶46
3．12的因数有( )，选择其中的四个因数，把它们组成一个比例是( )。
4．8个小星星可以换2个笑脸。作业本上有64个小星星换了x个笑脸。写出比例( )。
5．6个矿泉水空瓶可以换2包糖，我用21个矿泉水空瓶换了x包糖。请根据题意，写出比例( )。
6．动手实践，操作应用。
（1）（ ）号长方形是①号长方形缩小后的图形，它是按（ ）∶（ ）缩小的。
（2）（ ）号长方形是①号长方形放大后的图形，它是按（ ）∶（ ）放大的。
（3）在方格图中画出②号平行四边形按放大后的图形。
（4）在方格图中画出④号长方形按缩小后的图形。
（5）用①号长方形长和宽的比（不化简）与⑤号长方形长和宽的比（不化简）组成一个比例是（ ）。
考点3 比例的基本性质和解比例
1．甲的50%和乙数的40%相等（甲、乙均不为零），则甲数（ ）乙数。
A．大于 B．小于 C．等于
2．在比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是2.5，另一个内项是（ ）。
A． B． C．4
3．已知（x、y都不等于0），下面比例正确的是（ ）。
A．x∶y＝35∶3 B．y∶x＝35∶3 C．x∶y＝15∶7 D．y∶x＝15∶7
4．250千克∶0.35吨，化简后是( )，比值是( )。化简后的比可以与( )∶组成比例。
5．把甲图形按一定比例缩小成为乙图形，则x＝( )。
6．一个平行四边形和一个三角形的底相等，它们的面积比是7n∶5n，它们的高之比是( )。
7．某工厂要生产一批机器零件，5天生产410个，照这样计算，要生产1066个机器零件需要多少天？（用比例方法解）
8．把中间的长方形分别按比例缩小和放大后得到了左、右两个长方形，请分别写出两个比例，并求出未知数x和y。
考点4 比例尺
1．在一幅比例尺为1∶1000000的地图上，量得某座大桥长5.5厘米，这座大桥的实际长度是（ ）。
A．55米 B．10千米 C．55千米
2．育华小学校区东西长约180米，南北长约150米。周宏同学想把学校平面图画在一张长297mm、宽210mm的A4纸上，选择比例尺为（　　）比较合适。
A．1∶500 B．1∶600 C．1∶700 D．1∶800
3．实验小学面图如下所示：
(1)河洛书屋到实验小学的实际距离是800米，量得图上距离是( )厘米，此图的比例尺是( )。
(2)量一量算一算，公园在实验小学西偏北( )°方向，距实验小学有( )米。
4．在一幅地图上比例尺是，那么图上的1厘米表示实际距离( )千米，实际距离60千米在图上要画( )厘米，把这个线段比例尺改写成数字比例尺是( )。
5．我县要新建一所学校，设计师以1∶1000的比例画出学校的平面设计图，量得图纸上学校的南北长是52厘米，东西宽是49厘米。
（1）这所学校实际的长和宽各是多少米？
（2）这所学校的实际占地面积是多少平方米？合多少公顷？
6．看图填一填，画一画。
①以阳阳家为参照点，学校在阳阳家的（ ）方300米处。
②体育馆在阳阳家西偏北45°方向上，距离300米处，请画出体育馆的位置。
③图书馆在学校东偏北30°方向上，距离500米处，请画出图书馆的位置。
参考答案
参考答案
考点一
1．D
【分析】根据题图可知，图A按4∶1放大得到图B，则图B按1∶4缩小得到图A；图B按1∶2缩小得到图C，图C按2∶1放大得到图B；图A按2∶1放大得到图C，图C按1∶2缩小得到图B，据此解答即可。
【详解】①图A按4∶1放大得到图B，说法正确；
②图B按1∶2缩小得到图C，说法正确；
③图C按2∶1放大得到图B，说法正确；
④图A按2∶1放大得到图C，说法正确；
故答案为：D。
【分析】本题考查了图形放大与缩小的知识点，要明确图形放大与缩小中比的含义。
2．B
【分析】图形的放大或缩小是指围成图形的每条线段按比例放大或缩小，只是大小变了，形状不变。
将图（1）按2∶1放大后，三角形（1）的底和高都扩大到原来的2倍，据此解答。
【详解】放大后三角形的底：1×2＝2
放大后三角形的高：2×2＝4
A．图①：三角形的底是1、高是4，不符合题意；
B．图②：三角形的底是2、高是4，符合题意；
C．图③：三角形的底是4、高是3，不符合题意。
故答案为：B
【分析】抓住图形放大的特点是解题的关键。
3．D
【分析】用原来三角形的底除以2，再乘5求出得到的三角形的底，用同样的方法求出得到的三角形的高。然后用得到三角形的面积除以原来三角形的面积即可。
【详解】6÷2×5
＝3×5
＝15（cm）
8÷2×5
＝4×5
＝20（cm）
（15×20÷2）÷（6×8÷2）
＝150÷24
＝
故答案为：D
【分析】此题考查图形放大与缩小的方法的灵活应用。
4．600
【分析】平行四边形按5∶1放大后，相当于原平行四边形的底和高分别扩大到原来的5倍，求出扩大后的底边长和高，再利用平行四边形的面积公式，即可求出扩大后的图形的面积。
【详解】8×5＝40（cm）
3×5＝15（cm）
40×15＝600（cm2）
【分析】此题主要考查图形的放大与缩小，根据放大的比例，分别求出放大后的底与高的值，即可得解。
5．1∶3 9∶1
【分析】将一个多边形按比例缩小，是按边长的比例缩小的。用缩小后的图形B的底边长比原来的图形A的底边长，或图形B的高比原来的图形A的高，即可求得缩小的比例；将数据带入三角形的面积公式分别求出两个三角形的面积，写出比并化简即可。
【详解】4cm∶12cm＝1∶3
所以图形A按1∶3的比例缩小后可以得到图形B；
12×9÷2
＝108÷2
＝54（平方厘米）
4×3÷2
＝12÷2
＝6（平方厘米）
面积比是：54平方厘米∶6平方厘米＝9∶1
【分析】本题主要考查图形的方法与缩小，解题时注意区分图上距离（缩小大后的图形）与实际距离（原图形）。
6．（1）见详解
（2）O（4，1）；图见详解
（3）见详解
【分析】（1）根据轴对称图形的特征：对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出关键对称点，依次连接即可；
（2）根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行；由此写出点O用数对表示；再根据旋转的特征：图①绕O点逆时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同的方向，旋转相同的度数，然后向上移动3格画出图形③；
（3）按1∶2的比例画出三角形缩小后的图形，就是把三角形的底和高分别缩小到原来的，原来的三角形的底和高分别是2格和4格，缩小后的底是2×＝1格；高是4×＝2格；据此画图即可。
【详解】（1）见下图；
（2）点C用数对表示为（7，5），则点O用数对表示为（4，1）；见下图；
（3）底：2×＝1（格）；高：4×＝2（格），见下图
【分析】本题考查作轴对称图形，作平移后的图形，作旋转后的图形以及图形的放大或缩小。
7．（1）6；（2，7）
（2）见详解
（3）见详解
【分析】（1）图形①是一个底为3cm，高为2cm的平行四边形，根据平行四边形的面积＝底×高，求出图形①的面积；
用数对表示位置，数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；点“K”在第2列第7行，用数对表示点“K”的位置。
（2）图形①按照2∶1放大，即平行四边形的各边都扩大到原来的2倍，由此得出放大后平行四边形的底和高，画出放大后的图形②。
（3）根据旋转的特征，将形①绕点“K”顺时针旋转90°，点K位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形③。
【详解】（1）图形①的面积：3×2＝6（cm2）
点“K”的位置用数对表示是（2，7）。
（2）放大后的平行四边形的底是：3×2＝6（cm）
放大后的平行四边形的高是：2×2＝4（cm）
放大后的平行四边形如图②。
（3）画出图形①绕点“K”顺时针旋转90°的图形③。
如图：
【分析】本题考查平行四边形的面积公式、用数对表示位置、作旋转后的图形、作放大后的图形。
考点二
1．C
【分析】比例的意义：比值相等的两个比叫做比例。据此解答。
【详解】A．30∶6＝5，1∶5＝，5≠，所以不能组成比例；
B．15∶9＝，1.6∶2.4＝，≠，所以不能组成比例；
C．∶＝，∶＝，＝，所以可以组成比例；
D．1.5∶2＝，3∶4.5＝，≠，所以不能组成比例。
故答案为：C
【分析】熟练掌握比例的意义：比值相等的两个比叫做比例是解题的关键。
2．C
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，求出选项中等号左右两边的比值，比值相等的式子可以组成比例，据此解答。
【详解】A．5∶500＝，1000∶10＝100，因为≠100，所以5∶500和1000∶10不能组成比例；
B．2000∶20＝100，10∶1000＝，因为100≠，所以2000∶20和10∶1000不能组成比例；
C．500∶5＝100，4600∶46＝100，因为100＝100，所以500∶5和4600∶46可以组成比例。
故答案为：C
【分析】掌握比例的意义是解答题目的关键。
3．1、2、3、4、6、12 1∶2＝3∶6
【分析】先找出12的所有因数，再根据比例的意义选出其中的四个因数，组成一个比例。
【详解】12的因数有1、2、3、4、6、12。
1∶2＝，3∶6＝，
所以1∶2＝3∶6。
【分析】此题主要根据求一个数的因数的方法和比例的意义解答。
4．8∶2＝64∶x
【分析】比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。由题意可知，换一个笑脸需要星星的个数是一样的，所以可列比例为：8∶2＝64∶x；据此解答。
【详解】由分析可知：该比例为：8∶2＝64∶x。
【分析】本题考查了比例，关键是要认真分析题意，根据题目中的等量关系与比例的意义列比例。
5．6∶2＝21∶x
【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例；用6个矿泉水空瓶可以换2包糖，所以每包糖的可以换（6÷2）瓶矿泉水瓶，用比表示就是6∶2；用21个矿泉水空瓶可以换x包糖，所以每包糖的可以换（21÷x）瓶矿泉水空瓶，用比表示就是21∶x；两个比的比值相等，据此写出比例（答案不唯一）。
【详解】根据分析可知，6个矿泉水空瓶可以换2包糖，我用21个矿泉水空瓶换了x包糖。请根据题意，写出比例：6∶2＝21∶x。
【分析】熟练掌握比例的意义并能灵活运用。
6．（1）③；1；2
（2）⑤；3；2
（3）（4）见详解
（5）
【分析】（1）找①号长方形缩小后的图形，只要看那个图形比它小的长方形，而且长与宽的比是否相等；进而求出缩小的比；
（2）找①号长方形放大后的图形，只要看那个图形比它大的长方形，而且长与宽的比是否相等；进而求出放大的比；
（3）在方格图中画出②号平行四边形按放大后的图形，把②号平行四边形的各边扩大2倍；
（4）在方格图中画出④号长方形按缩小后的图形，把④号长方形的各边缩小3倍；
（5）用①号长方形长和宽的比与⑤号长方形长和宽的比组成一个比例即可。
【详解】（1）（③）号长方形是①号长方形缩小后的图形，它是按（1）∶（2）缩小的。
（2）（⑤）号长方形是①号长方形放大后的图形，它是按（3）∶（2）放大的。
（3）（4）题如下图：
（5）。
【分析】图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。
考点三
1．B
【分析】根据求一个数的百分之几是多少，得出：甲×50%＝乙×40%，运用比例的基本性质把等积式转化为比例式，再利用比的基本性质得出甲、乙的最简比，进而比较甲、乙两数所对应的份数得出答案。
【详解】甲×50%＝乙×40%，则甲∶乙＝40%∶50%＝4∶5；
因为：4＜5，所以：甲数＜乙数。
故答案为：B
【分析】此题重点考查求一个数的百分之几是多少和比例基本性质的灵活运用。
2．B
【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。两个外项互为倒数，它们的乘积是1，则两个内项的乘积也是1，用1除以2.5即可求出另一个内项。
【详解】1÷2.5＝，则另一个内项是。
故答案为：B
【分析】本题考查了倒数的意义和比例的基本性质。根据倒数的意义，明确“两个外项、两个内项的积都是1”是解题的关键。
3．A
【分析】根据比例的基本性质，只要和x同时在比例的内项和外项，5和y同时在比例的外项或内项即可。
【详解】根据，可得x∶y＝5∶＝35∶3；y∶x＝3∶35；x∶5＝y∶；5∶x＝∶y。
故答案为：A
【分析】关键是掌握比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积。
4．5∶7
【分析】化简比根据比的基本性质，求比值直接用前项÷后项即可；根据比例的两内项积＝两外项积，用两外项积÷已知内项＝所求内项，据此分析。
【详解】250千克∶0.35吨＝250千克∶350千克＝25∶35＝5∶7＝
5×÷7
＝×
＝
【分析】两数相除又叫两个数的比，表示两个比相等的式子叫比例。
5．7.2
【分析】根据图形放大与缩小的方法以及比例的意义可知：把这个长方形按照一定比例缩小后，对应边的比值相等；据此可列出比例6∶4.8＝9∶x，解比例即可。
【详解】6∶4.8＝9∶x
6x＝4.8×9
6x＝43.2
x＝43.2÷6
x＝7.2
【分析】根据图形放大与缩小的方法列出比例，用解比例方法求值即可。
6．7∶10
【分析】平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，因为二者的底相等，面积比是7n∶5n＝7∶5，从而代入二者的面积公式，即可求得它们的高之比。
【详解】解：设平行四边形的高为H，三角形的高为h，
则（底×H）∶（底×h÷2）＝7∶5
底×H×5＝底×h÷2×7
H×5×2＝h÷2×7×2
H×10＝h×7
H∶h＝7∶10
【分析】解答此题的关键是：利用已知条件，代入各自的面积公式，根据比例的基本性质，即可求解（举例计算会更简单一些）。
7．13天
【分析】“照这样”说明加工的工作效率不变；工作效率一定，工作量和工作时间成正比例；设需要x天完成，由比例关系列出方程解答。
【详解】解：设要生产1066个机器零件需要x天，
410∶5＝1066∶x
410x＝1066×5
410x＝5330
x＝13
答：要生产1066个机器零件需要13天。
【分析】本题考查比例的应用。利用工作量和工作时间之间的比例关系求解，找出比例关系列方程解决。
8．x∶12＝12∶18，x＝8；12∶18＝18∶y，y＝27（比例不唯一）
【分析】长方形按比例放大或缩小后，与原图形对应边的比相等，可以组成比例。据此列比例解答求出缩小后长方形的宽、放大后长方形的长。
【详解】x∶12＝12∶18（比例不唯一）
解：18x＝12×12
18x＝144
x＝8
12∶18＝18∶y（比例不唯一）
解：12y＝18×18
12y＝324
y＝27
答：可以写出比例x∶12＝12∶18和12∶18＝18∶y。x是8 cm，y是27cm。
【分析】根据图形放大或缩小的特征或意义，放大或缩小后的图形与原图形形状相同，对应边成比例。
考点四
1．C
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据计算即可，注意单位的换算：1千米＝100000厘米。
【详解】5.5÷＝5500000（厘米）
5500000厘米＝55千米
故答案为：C
【分析】掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系是解题的关键。
2．D
【分析】根据：图上距离＝实际距离×比例尺，把育华小学校区东西、南北长化为毫米，再用育华小学校区东西、南北长乘各选项的比例尺 ，求出东西、南北长的图上距离，再和这张纸的长、宽比较，哪个接近，选哪个，据此解答。
【详解】180米＝180000毫米；150米＝150000毫米。
A．180000×＝360（毫米）
150000×＝300（毫米）
360＞297；300＞210；不符合题意；
B．180000×＝300（毫米）
150000×＝250（毫米）；
300＞297；250＞210；不符合题意；
C．180000×≈257（毫米）
150000×≈214（毫米）
214＞210，不符合题意；
D．180000×＝225（毫米）
150000×＝187.5（毫米）
225＜297；187.5＜240；符合题意。
故答案为：D
【分析】根据图上距离和实际距离的换算，求出图上距离，进而进行解答。
3．(1) 5 1∶16000
(2)45 480
【分析】（1）用尺子量出河洛书屋到实验小学的图上距离，然后根据图上距离∶实际距离＝比例尺解答即可；
（2）用量角器量出公园在实验小学西偏北的角度，再量出公园到实验小学的图上距离，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此解答即可。
（1）量得河洛书屋到实验小学的图上距离是5厘米
5厘米∶800米
＝5厘米∶80000厘米
＝（5÷5）∶（80000÷5）
＝1∶16000
（2）量得公园到实验小学的图上距离是3厘米
3÷＝48000（厘米）＝480（米）
公园在实验小学西偏北45°方向，距实验小学有480米。
【分析】本题考查比例尺，明确图上距离∶实际距离＝比例尺是解题的关键。
4．4 15 1∶400000
【分析】根据线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离4千米；
用60千米除以4千米，求出60千米的图上距离；
将4千米单位换算到厘米，写出这个线段比例尺对应的数字比例尺。
【详解】60÷4＝15（厘米）
4千米＝400000厘米
所以，图上的1厘米表示实际距离4千米，实际距离60千米在图上要画15厘米，把这个线段比例尺改写成数字比例尺是1∶400000。
【分析】本题考查了比例尺，明确比例尺的意义，掌握图上距离和实际距离的换算方法是解题的关键。
5．（1）520米，490米；
（2）254800平方米；25.48公顷。
【分析】（1）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，即可求得长和宽的实际距离各是多少；
（2）再根据长方形的面积＝长×宽，进行解答即可。
【详解】（1）52÷＝52000（厘米）
52000厘米＝520米
49÷＝49000（厘米）
49000厘米＝490米
答：这所学校实际的长是520米，宽是490米。
（2）520×490＝254800（平方米）
254800平方米＝25.48公顷
答：这所学校的实际占地面积是254800平方米；合25.48公顷。
【分析】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算。
6．①正北；②③见详解
【分析】①根据地图上的方向“上北下南，左西右东”，以阳阳家为观测点，学校正好在阳阳家的正北方向300米处。
②根据图上距离＝实际距离÷比例尺，求出体育馆和阳阳家的图上距离，再根据地图上的方向“上北下南，左西右东”，以阳阳家为观测点，体育馆在阳阳家西偏北45°方向上，据此画出体育馆的位置。
③根据图上距离＝实际距离÷比例尺，求出图书馆和学校的图上距离，再根据地图上的方向“上北下南，左西右东”，以学校为观测点，图书馆在学校东偏北30°方向上，据此画出图书馆的位置。
【详解】①以阳阳家为参照点，学校在阳阳家的正北方300米处。
②300×＝0.01（米）＝1（厘米）
③500×＝（米）≈1.7（厘米）
作图如下：
【分析】此题的解题关键是掌握根据方向、角度、距离确定物体的位置以及应用比例尺画图的方法。

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