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第四单元 比例
（考点归纳+题型精讲+通关题组）
考点一：比例的意义和基本性质
1、比例的意义。
（1）比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。
（2）判断两个比能否组成比例的方法：看两个比的比值是否相等，如果比值相等，那么就能组成比例；否则不能组成比例。
2、比例的各部分的名称。
组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
3、比例的基本性质。
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。
4、应用比例的基本性质判断两个比能否组成比例
先假设两个比能组成比例,再分别算出它们内、外项的积,如果内、外项的积相等,则能组成比例;如果内、外项的积不相等,则不能组成比例。
考点二：解比例
1、解比例的意义和解比例。
（1）意义：求比例中的未知项，叫作解比例。
（2）方法：根据比例的基本性质把比例转化成乘法算式；解方程求出未知项的值。
考点三：正比例
1、正比例的意义。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，那么这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作整理比关系。如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比例（一定），那么正比例关系用式子表示为（一定）。
2、正比例图像的特点。
正比例图像是一条从原点出发的射线。从图像中可以直观地看到两种量地变化情况，可以不用计算，由一个量的值就能直接找到相对应的另一个量的值。
考点四：反比例
1、反比例的意义。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），那么反比例关系可以表示为xy=k（一定）。
考点五：比例尺
1、比例尺的意义。
比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
比例尺的计算：图上距离：实际距离=比例尺。
2、比例尺的种类。
按照表现形式分为数值比例尺和线段比例尺；
按照实际距缩小还是扩大分为缩小比例尺和扩大比例尺。
3、已知图上距离和实际距离，求比例尺。
已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法：用图上距离比实际距离就可以求出比例尺，但要注意统一单位。
4、已知比例尺和图上距离，求实际距离。
（1）解方程；（2）直接用图上距离除以比例尺就是实际距离。
5、应用比例尺画图要做到三步走。
（1）根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺；
（2）根据比例尺求出图上距离；
（3）根据图上距离画出相应的平面图，并表明平面图的名称及比例尺。
考点六：图形的放大和缩小
1、图形的放大和缩小。
（1）保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变大了，叫作图形的放大；
（2）保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变小了，叫作图形的缩小。
2、在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小的方法。
放大或缩小后的图形与原来的图形相比，形状相同，但是大小发生了变化。
考点七：用比例解决问题
1、用正比例解决问题。
用正比例知识解决问题的步骤：（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成正比例；（2）如果成正比例，根据正比例的意义列出比例式；（3）解比例；（4）检验并写出答语。
2、用反比例解决问题。
用反比例知识解决问题的步骤：（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成反比例；（2）如果成反比例，那么根据反比例的意义列出比例式；（3）解比例；（4）检验并写出答语。
题型一：比例的意义和基本性质
【精讲一】已知一个比例中两个内项的积是30，则两个外项不可能是（ ）。
A．30和1 B．0.75和40 C．1.5和20 D．15和5
【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
根据比例的基本性质，已知一个比例中两个内项的积是30，那么这个比例的两个外项的积也是30；计算出四个选项中两个数的积，积不等于30的就不可能是这个比例的两个外项。
【详解】A．30×1＝30，可能是这个比例的两个外项；
B．0.75×40＝30，可能是这个比例的两个外项；
C．1.5×20＝30，可能是这个比例的两个外项；
D．15×5＝75，积不等于30，不可能是这个比例的两个外项。
故答案为：D
【分析】掌握比例的基本性质是解题的关键。
【精讲二】中国首颗太阳探测科学技术试验卫星“羲和号”，能够24小时连续对太阳进行观测。其搭载的成像光谱仪通过对太阳的日面扫描，获得光谱的数量情况大约如下表。
时长/秒 5 10 20 46
获得光谱/条 500 1000 2000 4600
根据表中的数据组成比例，正确的是（ ）。
A．5∶500＝1000∶10 B．2000∶20＝10∶1000 C．500∶5＝4600∶46
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，求出选项中等号左右两边的比值，比值相等的式子可以组成比例，据此解答。
【详解】A．5∶500＝，1000∶10＝100，因为≠100，所以5∶500和1000∶10不能组成比例；
B．2000∶20＝100，10∶1000＝，因为100≠，所以2000∶20和10∶1000不能组成比例；
C．500∶5＝100，4600∶46＝100，因为100＝100，所以500∶5和4600∶46可以组成比例。
故答案为：C
【分析】掌握比例的意义是解答题目的关键。
【精讲三】如果比例的内项4增加8，那么外项3应该增加( )，比例才能成立。
【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此填空即可。
【详解】（4＋8）÷4
＝12÷4
＝3
3×3－3
＝9－3
＝6
则外项3应该增加6，比例才能成立。
【分析】本题考查比例的意义，明确两组比的比值相等，则它们可以组成比例是解题的关键。
【精讲四】
（1）写出图中图A、图B两个圆的半径与半径的比以及周长与周长的比，这两个比能组成比例吗？
（2）写出右图中图A、图B两个圆的半径与半径的比以及面积与面积的比，这两个比能组成比例吗？
（3）任意两个圆的半径的比与周长的比能组成比例吗？请写出你的探究过程或理由。
【分析】根据组成比例的条件：最简整数比或比值相等即可能组成比例，据此解答。
【详解】（1）半径与半径的比2∶3，
周长与周长的比（2×2π）∶（3×2×π）
＝2∶3
所以能组成比例；
（2）半径与半径的比2∶3，
面积与面积的比（2 π）∶（3 π）
＝4π∶9π
＝4∶9
所以不能组成比例；
（3）因为周长÷（2π）＝半径（一定），所以任意两个圆的半径的比等于这两个圆周长的比。所以能组成比例。
【分析】此题考查的是判断是否能组成比例，解答此题关键是掌握最简整数比或比值相等即可能组成比例。
题型二：解比例
【精讲一】在一个比例里，两个外项分别是和，两个内项分别是x和，求x的值（ ）。
A． B． C． D．
【分析】根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，则x＝×，然后方程左右两边同时除以即可。
【详解】根据比例基本性质，
x＝×
解：x＝
x÷＝÷
x＝
故答案为：A
【分析】本题关键在于用比例的基本性质解方程。
【精讲二】教室前方的国旗长是60cm，宽是40cm。操场旗杆上的国旗和它形状相同，长和宽的比是( )。操场上国旗的长是2m40cm，宽应是( )m。
【分析】国旗的长与宽的比是一定的，根据教室前方的国旗的长和宽求出长和宽的比，再用比例的知识求出操场上国旗的宽。
【详解】60∶40
＝（60÷20）∶（40÷20）
＝3∶2
2m40cm＝2.4m
解：设操场上国旗的宽为xm，得：
3∶2＝2.4∶x
3x＝2×2.4
3x＝4.8
3x÷3＝4.8÷3
x＝1.6
【分析】求两个数的比，要化为最简整数比；解比例时，要根据等式的基本性质。
【精讲三】写出比例，并求出未知数。
光明小学为了预防新冠肺炎病毒传播，按照消毒液和水的比为1∶110的比例，配制消毒水进行教室消毒。现有y毫升的消毒液，需要水165毫升。
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例，根据消毒液和水的比写出比例，再利用比例的基本性质求出未知数的值，据此解答。
【详解】y∶165＝1∶110
解：110y＝165
y＝165÷110
y＝1.5
答：1.5毫升的消毒液需要水165毫升。
【分析】掌握比例的意义和解比例的方法是解答题目的关键。
【精讲四】小牛和大牛吃肥肉，原来小牛和大牛吃的肉块数之比为2∶5，后来小牛又吃了5块，大牛也又吃了2块，此时小牛和大牛吃的肉块数之比为5∶9，求原来两只牛各自吃了多少块肥肉？
【分析】把小牛和大牛吃的肉块数之比看作份数，假设一份的价格是x块，那么小牛吃的肉块数相当于2x块，大牛吃的肉块数相当于5x块，小牛又吃了5块，大牛也又吃了2块后，小牛吃的肉块数变成（2x＋5）块，大牛吃的肉块数变成（5x＋2）块，这时小牛和大牛吃的肉块数之比为5∶9，根据比例的意义，可列出比例，求解即可。
【详解】解：设一份量为x，小牛吃的肉块数相当于2x块，大牛吃的肉块数相当于5x块
（2x＋5）∶（5x＋2）＝5∶9
（5x＋2）×5＝（2x＋5）×9
25x＋2×5＝18x＋5×9
25x－18x＝45－10
7x＝35
x＝5
小牛吃的肉块数：2×5＝10（块）
大牛吃的肉块数∶5×5＝25（块）。
答：原来小牛吃了10块肥肉，大牛吃了25块肥肉。
【分析】此题的解题关键是把比看作份数，弄清题意，把小牛和大牛原来吃的肉块数设成未知数，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的比例，解比例得到最终的结果。
题型三：正比例
【精讲一】六年级购买《数学绘本》，买书的总价与（ ）成正比例。
A．书的本数 B．书的页数 C．书的单价
【分析】单价不变，因为买书总价与书的本数比值一定，所以买书总价与书的本数成正比例关系。
【详解】买书总价与书的本数成正比例关系。
故答案为：A
【分析】本题考查正比例，解答本题的关键是掌握正比例的概念。
【精讲二】关于下面的某地区6～12岁儿童平均体重情况统计图，说法正确的是（ ）。
A．男生的增长幅度比女生大
B．12岁时每个女生都要比男生重
C．平均体重与年龄增长成正比例关系
D．女生在11～12岁增长速度最快
【分析】A．观察折线统计图，折线的陡缓程度代表数据的变化情况，折线越陡，代表变化的幅度越大；
B．这个统计图反映的是6～12岁儿童平均体重情况，并不能代表某一个个体的具体体重；
C．判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
D．分别计算女生每两岁之间年龄的差值，比较大小，看哪一个年龄段之间增长速度最快。
【详解】A．在11～12岁，虚线比实线更陡，说明女生的增长幅度比男生大；原题说法错误；
B．平均数反映的是一组数据的特征，12岁女生的平均体重比男生要重，但并不代表具体的某一个女生都要比男生重；所以原题说法错误；
C．在6～12岁中，平均体重虽然随着年龄的增长而增长，但并不成正比例，如：男生6～7岁时，年龄增长1岁，平均体重增加1.7千克，增加的平均体重与增加年龄的比值是1.7；11～12岁时，年龄增长1岁，平均体重增加2.5千克，增加的平均体重与增加年龄的比值是2.5，所以它们的比值不等，因此说明平均体重的增加与年龄增长不成正比例。
D．20.4－18.7＝1.7（千克）
22.4－20.4＝2（千克）
24.6－22.4＝2.2（千克）
27.1－24.6＝2.5（千克）
30.1－27.1＝3（千克）
34.3－30.1＝4.2（千克）
1.7＜2＜2.2＜2.5＜3＜4.2
所以女生在11～12岁增长速度最快
故答案为：D
【分析】此题考查的目的是理解掌握复式折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
【精讲三】修路队要修一条980米长的道路，前6天修了168米，照这样计算，修这条路共要用多少天？（用比例解）
【分析】根据题意可知，修路的长度∶修的天数＝每天修路的长度（一定），比值一定，修路的长度与修的天数成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。
【详解】解：设修这条路共要用天。
168∶6＝980∶
168＝980×6
168＝5880
168÷168＝5880÷168
＝35
答：修这条路共要用35天。
【分析】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。
【精讲四】如图表示的是一辆汽车所行驶的路程与时间的变化情况。
（1）图中的A点表示1小时行驶80千米，B点表示2小时行驶160千米，C、F两点分别表示什么？
（2）汽车行驶的路程与时间成什么比例？为什么？
（3）根据图像判断：这辆汽车2.5小时行驶了（ ）千米；行驶360千米需要（ ）小时。
【分析】（1）分别观察C、F点所对应的横轴上和纵轴上的数，即可求解；
（2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答即可；
（3）根据速度×时间＝路程，即可求出这辆汽车2.5小时行驶了多少千米；根据时间＝路程÷速度，即可求出行驶360千米需要多少小时。
【详解】（1）C点表示3小时行驶240千米，F点表示6小时行驶480千米；
（2）路程与时间的比值是速度，速度是不变的，所以汽车行驶的路程与时间成正比例；
（3）2.5×80＝200（千米）
360÷80＝4.5（小时）
【分析】本题主要考查根据统计图获取信息并解决问题的能力。
题型四：反比例
【精讲一】表中，如果a和b成反比例，括号里应填（ ）。
a 4 8
b （ ） 12
A．2 B．8 C．18 D．24
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。因为a和b成反比例，所以它们的乘积一定，可先求出其中一组数值的乘积，再除以4，就是所求。
【详解】因为a和b成反比例，所以ab＝8×12＝96（一定）。
96÷4＝24
故答案为：D
【分析】抓住反比例的概念来判断，利用反比例关系灵活地解决问题，是解题关键。
【精讲二】把5千克糖果平均分装在n个盒子里，每个盒子里糖果重( )千克，分装盒子的个数和每个盒子里的糖果质量成( )比例。
【分析】用糖果的总重量除以盒子的数量等于每个盒子里的糖果重量，因为总重量＝每个盒子里的糖果质量×盒子的个数，乘积一定，可判断出分装盒子的个数和每个盒子里的糖果质量成反比例。
【详解】（千克）
把5千克糖果平均分装在n个盒子里，每个盒子里糖果重千克，分装盒子的个数和每个盒子里的糖果质量成反比例。
【分析】此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的乘积一定还是比值一定，再做出判断。
【精讲三】有两种量a和b，它们的关系如下表。
a 2 3 4 6 …
b 12 8 6 4 …
(1) a和b成( )比例关系；
(2)如果，那么b＝( )。
【分析】（1）两个相关联的量，若它们的乘积一定，则它们成反比例；若它们的比值一定，则它们成正比例；
（2）用2×12的乘积除以48即可求出b的值。
（1）因为2×12＝24，3×8＝24，所以它们的乘积一定，则a和b成反比例关系。
（2）2×12÷48
＝24÷48
＝0.5
则b＝0.5
【分析】本题考查正反比例的判定，明确正反比例的定义是解题的关键。
【精讲四】某工厂有一批煤，每天烧煤的质量和可烧的时间关系如下表。
每天烧煤的质量/吨 0 3 6 9 15 20 …
可烧的时间/天 0 30 15 10 6 4.5 …
（1）判断每天烧煤的质量和可烧的时间是不是成反比例，并说明理由。
（2）如果该工厂平均每天烧煤的质量是5吨，那么这批煤可烧多少天？
【分析】（1）根据每天烧煤的质量和可烧的时间的乘积，结合反比例的意义判断。
（2）用这批煤的总质量除以每天烧煤的质量就是烧的天数。
【详解】（1）3×30＝6×15＝9×10＝15×6＝20×4.5＝90（一定）
每天烧煤的质量和可烧的时间的乘积一定，所以每天烧煤的质量和可烧的时间成反比例。
（2）30×3÷5
＝90÷5
＝18（天）
答：这批煤可烧18天。
【分析】本题考查了成反比例关系的判定及根据成反比例关系解决问题，关键是对题目中数量关系的分析。
题型五：比例尺
【精讲一】在比例尺是1∶200000的地图上，量得小华家到外婆家的距离是5cm，小华8：30从家出发，10：30走到外婆家，小华平均每时行（ ）。
A．20km B．15km C．10km D．5km
【分析】图上距离÷比例尺＝实际距离，据此代入数据求出小华家到外婆家的实际距离，再根据路程÷时间＝速度，求出小华平均每时行的路程。
【详解】5÷＝1000000（cm）
1000000cm＝10km
10时30分－8时30分＝2时
10÷2＝5（km）
故答案为：D
【分析】明确图上距离、实际距离、比例尺三者间的关系是解题的关键。
【精讲二】不能准确描述书店与学校位置关系的是（ ）。
A．书店在学校西偏北30°方向上，距离是500米
B．书店在学校北偏西60°方向上，距离是1000米
C．书店在学校西偏北30°方向上，距离是1000米
【分析】先根据比例尺计算图上1厘米代表的实际距离是多少米，并求出两地之间的实际距离，再根据“上北下南，左西右东”确定书店在学校的什么方向，最后找出描述不正确的选项即可。
【详解】50000厘米＝500米，则图上1厘米代表实际距离500米，以学校为观测点，书店在学校西偏北30°或北偏西60°方向，距离是500×2＝1000米。
故答案为：A
【分析】根据比例尺求出两地之间的实际距离，并掌握根据方向、角度、距离确定物体位置的方法是解答题目的关键。
【精讲三】同学们参加军训，从军营到射击场路线如下所示：
请用1∶20000的比例尺在方框中画出同学们的行军路线图。
【分析】先把数值比例尺转化为线段比例尺，1∶20000表示图上1cm代表实际距离20000cm，20000cm＝200m，画出1cm的线段代表200m，再根据“上北下南，左西右东”确定方向，先确定军营的位置，在军营正东方向上截取600÷200＝3个单位长度，终点处标注小河边，然后在小河边正南方向上截取400÷200＝2个单位长度，终点处标注小树林，最后在小树林正北偏东60°方向上截取800÷200＝4个单位长度，标出角度，终点处标注射击场，据此作图。
【详解】分析可知：
【分析】本题主要考查应用比例尺画图，掌握根据方向、角度、距离画路线图的方法是解答题目的关键。
【精讲四】在比例尺是1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是5厘米，一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，货车的速度是40千米/时，客车的速度是60千米/时，经过几小时后两车相遇？
【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出甲、乙两地的实际距离；然后根据“相遇时间＝路程÷速度和”，求出两车的相遇时间。注意单位的换算：1千米＝100000厘米。
【详解】甲、乙两地的实际距离：
5÷
＝5×4000000
＝20000000（厘米）
20000000厘米＝200千米
两车的相遇时间：
200÷（40＋60）
＝200÷100
＝2（小时）
答：经过2小时后两车相遇。
【分析】掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系，以及速度、时间、路程之间的关系是解题的关键。
题型六：图形的放大和缩小
【精讲一】把正方形的边长缩小到原来的，则正方形的（ ）。
A．大小、形状都改变了
B．大小变了，形状没改变
C．大小、形状都没有改变
D．形状变了，大小没有改变
【分析】图形的放大或缩小是指围成图形的每条线段按比例放大或缩小；图形的放大与缩小的特点：形状相同，大小不同；据此解答。
【详解】把正方形的边长缩小到原来的，即正方形的边长变了，形状仍是正方形；所以正方形的大小变了，形状没改变。
故答案为：B
【分析】掌握图形放大与缩小的特点是解题的关键，明确放大或缩小图形，只改变图形的大小，不改变图形的形状。
【精讲二】把一个半径为3cm的圆形按2∶1放大，放大后的圆形周长和原来圆形周长的最简整数比是( )∶( )，原来圆形面积是放大后圆形面积的( )。
【分析】按2∶1的比放大就是把原来的圆的半径扩大2倍，用3×2求出扩大后的圆的半径，然后根据圆的周长公式和面积公式分别求出放大前和放大后圆的周长和圆的面积，然后用放大后的圆的周长∶放大前的圆的周长，然后化成最简比；用放大前圆的面积除以放大后圆的面积，即可求出原来圆形面积是放大后圆形面积的百分之几。
【详解】3×2＝6（cm）
（2×3.14×6）∶（2×3.14×3）
＝37.68∶18.84
＝2∶1
（3.14×32）÷（3.14×62）
＝（3.14×9）÷（3.14×36）
＝28.26÷113.04
＝0.25
＝25%
【分析】解答本题关键是求出扩大后的圆的半径，灵活运用圆的周长和面积公式解答。
【精讲三】一个直角三角形的三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米，它的面积是( )平方厘米。如果把这个三角形按照3∶1放大，得到的图形的面积是( )平方厘米。
【分析】（1）先依据直角三角形中斜边最长，确定出两条直角边的长度分别是3厘米，4厘米，再依据三角形的面积公式S＝ah÷2，求出这个三角形的面积；（2）根据图形放大与缩小的意义，先计算按3∶1放大后的三角形的高与底，再根据三角形的面积公式S＝ah÷2，求放大后得到的三角形的面积。
【详解】三角形的面积：
4×3÷2
＝12÷2
＝6（平方厘米）
（4×3）×（3×3）÷2
＝12×9÷2
＝54（平方厘米）
【分析】解答本题的关键是先判断出两条直角边的长度，再根据图形放大的意义，求出放大后对应的高与底，最后利用三角形的面积公式S＝ah÷2，代入相应数值计算即可。
【精讲四】在方格纸上按要求画图。
（1）把左图圆的半径扩大到原来的3倍，画出放大后的图形。
（2）把右图的各边缩小到原来的，画出缩小后的图形。
【分析】（1）左图圆的半径是1，把圆的半径扩大到原来的3倍，那么放大后圆的半径是3，据此画出放大后的图形。
（2）把右图的各边缩小到原来的，即把右图的各边长度都除以2，据此画出缩小后的图形。
【详解】如图：
【分析】本题考查放大与缩小图形的画法，抓住图形的放大与缩小的特点“形状相同，大小不同”是解题的关键。
题型七：用比例解决问题
【精讲一】人体躯干（脚底至肚脐的长度）与身高的比值越接近0.618，这个人的身材比例就越完美，著名的“断臂维纳斯”便是如此。一般人的躯干和身高的比值大约只有0.58到0.60，在日常生活中，女士大都喜欢穿高跟鞋来改善躯干和身高的比值。某位女士身高160厘米，躯干97厘米，她应选择高跟鞋的鞋跟厘米数是（ ）。
A．9 B．7 C．5 D．3
【分析】由题意可知，人体躯干与身高的比值是一个定值0.618，则人体躯干与身高成正比例关系，等量关系式：人体的躯干∶身高＝0.618∶1，据此解答。
【详解】解：设她应选择鞋跟x厘米的高跟鞋。
（97＋x）∶（160＋x）＝0.618∶1
（160＋x）×0.618＝97＋x
160×0.618＋0.618x＝97＋x
98.88＋0.618x＝97＋x
98.88－97＝x－0.618x
0.382x＝1.88
x＝1.88÷0.382
x＝
厘米≈5厘米
所以，她应选择高跟鞋的鞋跟厘米数是5。
故答案为：C
【分析】理解题中两种相关联的量成正比例关系是解答题目的关键。
【精讲二】甲、乙两个圆柱形容器，底面积比为6∶4，甲容器中水深18厘米，乙容器中水深12厘米，再往两个容器中注入同样多的水，使得两个容器中水一样深，这时水深( )厘米。
【分析】根据体积相等时，圆柱的底面积和高成反比，底面积比为6：4，那么注入同体积的水的深度比是4：6，可设这时水深为x厘米，根据水的深度比，列出方程即可解答。
【详解】解：设这时水深为x厘米。
【分析】本题主要考查圆柱的体积公式的灵活运用，列出方程解决问题是比较直观的方法。
【精讲三】1995年联合国教科文组织将每年的4月23日定为“世界图书与版权日”，又称“世界图书日”。明明计划读一本儿童文学著作，如果每天读15页，32天可以读完。明明平均每天看的页数和看完书的天数成( )关系（填正比例或反比例）；如果每天读20页，( )天就可以读完。
【分析】根据xy＝k（一定），x和y成反比例关系，确定比例关系，设x天就可以读完，根据平均每天看的页数×天数＝总页数（一定），列出反比例算式解答即可。
【详解】平均每天看的页数×天数＝总页数（一定），所以明明平均每天看的页数和看完书的天数成反比例关系。
解：设x天就可以读完。
20x＝15×32
20x÷20＝480÷20
x＝24
如果每天读20页，24天就可以读完。
【分析】关键是确定比例关系，两个相关联的量乘积一定是反比例关系。
【精讲四】某物流公司将120t蔬菜运往上海，如果要一次把所有货物全部运出，每辆车的载质量与所需车辆数量如下表。
每辆车的载质量/t 2.5 3 5 10
所需车辆数量/辆 48 40 24 12
（1）每辆车的载质量与所需车辆数量成（ ）比例关系。
（2）如果用15辆相同的车来运，每辆车的载质量是多少吨？
【分析】（1）蔬菜的总质量不变，说明每辆车的载质量与所需车辆数量乘积不变，则每辆车的载质量与所需车辆数量成反比例关系；
（2）用蔬菜质量除以所需车辆数量，求出每辆车的载质量即可。
【详解】（1）每辆车的载质量与所需车辆数量成反比例关系；
（2）（吨）
答：每辆车的载质量是8吨。
【分析】本题考查反比例，解答本题的关键是掌握成反比例关系的概念。
一、填空题（共20分）
1．一个比例的两个内项的积互为倒数，一个外项是，另一个外项是( )。
2．如果。且a、b两数互为倒数，则( )。
3．如果5a＝3b，那么b∶a＝( )∶( )。
4．若，x和y成( )比例关系；若，a和b成( )比例关系。
5．表格中的x和y如果成正比例，“？”应该填( )；x和y如果成反比例，“？”应该填( )。
x 2 5
y 10 ？
6．如图，把一个长方形分成四个部分，其中三个部分的面积分别是12平方厘米，18平方厘米和20平方厘米，则阴影部分的面积是( )平方厘米。
7．在一幅比例尺为1∶2000000的地图上，量得株洲到南岳衡山的距离是5cm，株洲到南岳衡山实际距离约( )km。
8．在比例尺是20∶1的图纸上，量得一个零件的长是2厘米，这个零件的实际长是( )厘米。
9．将改写成数值比例尺是( )。
10．一个面积是8平方米的正方形，按照3∶1的比放大后，面积是( )平方米。
二、判断题（共10分）
11．如果A×＝B÷（其中A、B均不为0），那么A∶B＝9∶20。( )
12．已知（x、y都不等于0）则x和y成正比例。( )
13．若a∶b＝c∶d，那么（5a）∶b＝（5c）∶d。( )
14．在比例中，等号左边的两项是比例的外项，等号右边的两项是比例的内项。( )
15．平移、旋转、轴对称、放大缩小这些图形运动，图形的形状都没有改变。( )
三、选择题（共10分）
16．一个比例中，两个内项的积是240，如果一个外项是12，则另一个外项是（ ）。
A．20 B．12 C．30
17．根据xy＝mn，下面组成的比例错误的是（ ）。
A．m∶y＝x∶n B．n∶x＝y∶m C．y∶n＝x∶m
18．买同样的书，花的总钱数与（ ）成正比例。
A．书的本数 B．书的页数 C．书的单价
19．表中和两个量成反比例关系，则“△”处应填（ ）。
7 △
5 14
A．19.6 B．2.5 C．3.5
20．蚂蚁的实际长度是6mm。在一幅生物图上量得它的长度是3cm。这幅生物图的比例尺是（ ）。
A．1∶5 B．1∶2 C．5∶1
四、计算题（共6分）
21．（6分）解比例。
（1）＝ （2）6.5∶x＝3.25∶4 （3）∶＝x∶
五、作图题（共6分）
22．（6分）篮球场长28米，宽15米。下图是比例尺为1∶250的篮球场平面图，小明、小丽、小红在篮球场上的大致位置如图所示。小明在距边线2.5米的3分线上，小丽在3分线的中点上，小红在距底线4米的3分线上。请标出他们的准确位置。
六、解答题（共48分）
23．（6分）在手表精密零件的设计图上，比例尺为20∶1，一个零件的图上长度是10厘米，这个零件的实际长度是多少？
错误解答：
10×20＝200（厘米）＝2（米）
答：这个零件的实际长度是2米。
正确解答：
24．（6分）在一幅比例尺是1∶30000000的地图上，量得两个城市的图上距离是2.5厘米，这两个城市之间的实际距离是多少千米？（用比例知识解）
25．（6分）一块正方形菜地，两条互相垂直且与边长也垂直的线把它分成了四块（如图）。其中三块的面积分别如图所示，第四块的面积是多少平方米？
26．（6分）强强今年身高155厘米，上午10时测量影长3.1米。同时测得一棵大树的影长是158米，这棵大树高多少米？（用比例解）
27．（12分）下面每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求画图并填空。
（1）用数对（ ）表示点A的位置。
（2）以直线b为对称轴，画出圆的轴对称图形。
（3）画出三角形绕点P顺时针旋转90度后的图形。
（4）按1∶3画出长方形缩小后的图形。
28．（12分）轿车行驶的时间和路程如下表：
时间（时） 1 2 3 4 5 6
路程（千米） 70 140 210 280 350 420
把上表中时间和路程所对应的点描在方格中纸上，再顺次连接起来。

（1）观察上面，你发现了什么？
（2）根据上面的速度，轿车行驶8时，行驶了多少千米？
（3）根据图像估计一下，6.5时行驶了多少千米？
参考答案
1．
【分析】已知一个比例的两个内项的积互为倒数，根据倒数的意义可知，这两个内项的积等于1；
再根据比例的基本性质可知，这个比例的两个外项的积也等于1；那么用积除以已知的外项，即可求出另一个外项。
乘积是1的两个数互为倒数。
比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
【详解】1÷
＝1×
＝
另一个外项是。
2．
【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；a、b两数互为倒数，ab＝1；再根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积；把x∶a＝b∶0.65，化为0.65x＝ab；再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.65，即可解答。
【详解】ab＝1
x∶a＝b∶0.65
0.65x＝ab
0.65x＝1
x＝1÷0.65
x＝
如果x∶a＝b∶0.65。且a、b两数互为倒数，则x＝。
3． 5 3
【分析】在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。b是外项，因此和b相乘的3也是外项；a是内项，因此和a相乘的5也是内项。
【详解】如果5a＝3b，那么b∶a＝5∶3。
4． 反 正
【分析】两个相关联的量，若它们乘积一定，则这两个量成反比例；若它们的比值一定，则这两个量成正比例。
【详解】因为，即xy＝3，x和y的乘积一定，则x和y成反比例关系；
因为，即a÷b＝，a和b的比值一定，则a和b成正比例关系。
5． 25 4
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。x和y如果成正比例，则x和y的比值是一定的，据此把x＝2，y＝10代入求出比值，进而求出当x＝5时，“？”的结果；x和y如果成反比例，则x和y的乘积是一定的，据此把x＝2，y＝10代入求出乘积，进而求出当x＝5时，“？”的结果。
【详解】2÷10＝
5÷
＝5×5
＝25
2×10＝20
20÷5＝4
表格中的x和y如果成正比例，“？”应该填25；x和y如果成反比例，“？”应该填4。
6．15
【分析】由长方形的面积＝长×宽，可知等宽的两个长方形的面积比等于长的比，等长的两个长方形的面积比等于宽的比，根据这个等量关系列出比例式，解方程即可。
【详解】解：设阴影部分的面积是x平方厘米，则阴影部分所在长方形的面积为2x平方厘米。
2x∶18＝20∶12
2x×12＝18×20
24x＝360
x＝360÷24
x＝15
阴影部分的面积是15平方厘米。
【分析】此题主要是找到等宽的两个长方形，根据面积的比等于长的比求解。
7．100
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，已知图上距离是5cm，比例尺是，代入数据即可求出株洲到南岳衡山的实际距离。
【详解】5÷
＝5×2000000
＝10000000（cm）
10000000cm＝100km
即株洲到南岳衡山实际距离约100km。
【分析】本题主要考查图上距离和实际距离的换算，注意单位之间的进率。
8．0.1
【分析】已知比例尺和图上距离，求实际距离，可根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”直接列式计算。
【详解】2÷
＝2×
＝0.1（厘米）
所以这个零件的实际长是0.1厘米。
【分析】此题考查了图上距离与实际距离的换算。解决此题关键是明确比例尺的意义。
9．1∶2000
【分析】观察线段比例尺可知，图上1厘米表示实际20米，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，写出图上距离与实际距离的比，化简即可。
【详解】1厘米∶20米＝1厘米∶2000厘米＝1∶2000
将改写成数值比例尺是1∶2000。
【分析】关键是理解比例尺的意义，比例尺按表现形式分为数值比例尺与线段比例尺。
10．72
【分析】把正方形按照3∶1的比放大，则正方形的边长扩大到原来的3倍；再结合积的变化规律，一个因数乘3，另一个因数也乘3，则积乘3×3＝9，据此计算并判断即可。
【详解】8×（3×3）
＝8×9
＝72（平方米）
则面积是72平方米。
11．×
【分析】先将除法化为乘法，即A×＝B×，然后根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，可知A∶B＝∶；然后再根据比的性质化简即可，化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变；据此解答。
【详解】A×＝B÷＝B×
A∶B
＝∶
＝（×12）∶（×12）
＝20∶9
如果A×＝B÷（其中A、B均不为0），那么A∶B＝20∶9。原题干说法错误。
故答案为：×
12．√
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
【详解】也可以转化为，说明x与y的比值一定，所以x和y成正比例。
故答案为：√
13．√
【分析】根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积；a∶b＝c∶d，则ad＝bc；比例的外项扩大到原来的5倍，比例的内项也扩大到原来的5倍，比例依然成立，5ad＝5bc，所以（5a）∶b＝（5c）∶d；据此解答。
【详解】根据分析可知，若a∶b＝c∶d，那么（5a）∶b＝（5c）∶d。
原题干说法正确。
故答案为：√
14．×
【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的各部分的名称，确定比例的外项、内项的位置。
【详解】如图：
组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
原题说法错误。
故答案为：×
【分析】本题考查比例的意义及比例各部分的名称。
15．√
【分析】平移是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；旋转是把图形绕着一点旋转一定的角度，并没有改变图形的形状、大小；将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分可以完全重合，这样的图形叫作轴对称图形；图形的放大与缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大与缩小后所得图形与原图形相比形状相同、大小不同，据此解答。
【详解】分析可知，平移、旋转、轴对称、放大缩小这些图形运动，图形的形状都没有发生变化。
故答案为：√
【分析】本题主要考查图形的运动，掌握平移、旋转、轴对称、放大缩小图形的特征是解答题目的关键。
16．A
【分析】比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，用内项积除以外项，就能得到另一个外项。
【详解】240÷12＝20
则另一个外项是20。
故答案为：A
17．C
【分析】在比例里，两个内项的积等于两个外项的积；据此解答。
【详解】A．根据比例的基本性质可由m∶y＝x∶n得出xy＝mn，该选项正确；
B．根据比例的基本性质可由n∶x＝y∶m得出xy＝mn，该选项正确；
C．根据比例的基本性质可由y∶n＝x∶m得出my＝nx，该选项错误；
故答案为：C。
18．A
【分析】依据正、反比例的意义，即若两个相关联的量的比值一定，则这两个量成正比例关系；若两个相关联的量的乘积一定，则这两个量成反比例关系，由此判断即可选择。
【详解】因为花的总钱数÷书的本数＝书的价格（一定），是比值一定，所以花的总钱数与书的本数成正比例。
故答案为：A
19．B
【分析】根据题意，和两个量成反比例关系，即、的积一定，据此列出反比例方程，并求出△的值。
反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。
【详解】14△＝7×5
解：14△＝35
△＝35÷14
△＝2.5
表中和两个量成反比例关系，则“△”处应填2.5。
故答案为：B
20．C
【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，据此代入数值进行计算即可。
【详解】3cm＝30mm
30mm∶6mm
＝30∶6
＝（30÷6）∶（6÷6）
＝5∶1
则这幅生物图的比例尺是5∶1。
故答案为：C
【分析】本题考查比例尺，明确比例尺的计算方法是解题的关键。
21．（1）x＝0.25；（2）x＝8；（3）x＝
【分析】（1）根据比例的性质，把式子转化为14x＝0.7×5，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以14即可；
（2）根据比例的性质，把式子转化为3.25x＝6.5×4，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以3.25即可；
（3）根据比例的性质，把式子转化为x＝×，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以即可。
【详解】（1）＝
解：14x＝0.7×5
14x＝3.5
14x÷14＝3.5÷14
x＝0.25
（2）6.5∶x＝3.25∶4
解：3.25x＝6.5×4
3.25x＝26
3.25x÷3.25＝26÷3.25
x＝8
（3）∶＝x∶
解：x＝×
x＝
x÷＝÷
x＝×
x＝
22．见详解
【分析】先确定底线和边线的位置，再根据公式：图上距离＝实际距离×比例尺，算出小明距边线的图上距离，小红距底线的图上距离，最后标出他们的位置即可。
【详解】小明：2.5米＝250厘米
250×＝1（厘米）
小丽：
3分线的中点上
小红：4米＝400厘米
400×＝1.6（厘米）
他们的准确位置如图所示：
23．0.5厘米
【分析】已知设计图的比例尺和零件的图上长度，根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”列出比例方程，并求解。
【详解】解：设这个零件的实际长度是厘米。
10∶＝20∶1
20＝10×1
＝10÷20
＝0.5
答：这个零件的实际长度是0.5厘米。
24．
750千米
【分析】已知一幅地图的比例尺和两个城市的图上距离，可根据图上距离∶实际距离＝比例尺，列出比例方程解答即可。
【详解】解：设两个城市之间的实际距离是x厘米。
1∶30000000＝2.5∶x
x＝75000000
75000000厘米＝750千米
答：这两个城市之间的实际距离是750千米。
【分析】本题考查列比例方程解答问题，解答本题的关键是掌握列比例方程解答问题的方法。
25．30平方米
【分析】如下图，给四块地分别编号，那么①号地的面积＝AE×AF，②号地的面积＝BE×AF，③号地的面积＝AE×DF，④号地的面积＝BE×DF；因为①号地的面积∶③号地的面积＝＝，②号地的面积∶④号地的面积＝＝，两个比的比值相等，所以可以组成比例；即①号地的面积∶③号地的面积＝②号地的面积∶④号地的面积，据此列出比例方程，并求解。
【详解】解：设第四块的面积是平方米。
12∶24＝15∶
12＝24×15
12＝360
＝360÷12
＝30
答：第四块的面积是30平方米。
26．79米
【分析】同一时间，同一地点测得物体高度与影子长度的比值相等，也就是强强的高度与影子的比等于这棵树的高与影子的比，设这棵大树高为x米，强强的身高∶强强的影长＝大树的高∶大树的影长，据此组成比例解答即可。
【详解】解：设这棵大树高为x米。
155厘米＝1.55米
1.55∶3.1＝x∶158
3.1x＝1.55×158
3.1x＝244.9
x＝244.9÷3.1
x＝79
答：这棵大树高79米。
27．（1）（1，4）
（2）图见详解
（3）图见详解
（4）图见详解
【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，数对的第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可用数对表示出点A的位置；
（2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴b的右侧合适位置找到圆心，再画一个半径是2格的圆即可；
（3）根据旋转的特征，图形绕P点顺时针旋转90度，点P的位置不变，其余各部分均绕此点按相同的方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形；
（4）根据图形放大与缩小的意义，长方形按1：3缩小后的图形，是长和宽分别为2和1的长方形，据此画图即可。
【详解】（1）由分析可知：点A的位置用数对可表示为（1，4）。
（2）、（3）、（4）作图如下：
28．图形见详解；
（1）见详解
（2）560千米
（3）455千米
【分析】（1）观察统计表可知，时间为1时，路程是70；时间是2时，路程是140，根据路程÷时间＝速度，据此可知速度是一定，所以路程和时间成正比例关系；
（2）根据速度×时间＝路程，据此进行计算即可；
（3）通过成正比例的图像，找到6.5小时对应的路程是多少干米即可。
【详解】如图所示：

（1）因为70÷1＝70（千米/时）
140÷2＝70（千米/时）
210÷3＝70（千米/时）
则路程和时间的比值一定，所以路程和时间成正比例关系。
（2）70×8＝560（千米）
答：轿车行驶8时，行驶了560千米。
（3）根据图像可知，6.5时行驶了455千米。
【分析】本题考查了折线统计图及路程、速度、时间之间的关系及正比例的意义的灵活应用。

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