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第四单元 正比例和反比例
（考点聚焦+重点速记+学以致用）
知识点一：变化的量
1、生活中存在着大量互相依存的量，如:速度、时间和路程;单价、数量和总价;工作效率、工作时间和工作总量.....当其中某一个量发生变化时，另外一个量也会随之变化,这样的两个变量就叫作相关联的量。
知识点二：正比例
1、正比例的意义:两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以表示为=k(一定)。
2、应用正比例的意义判断两种量是否成正比例:有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例。
3、成正比例关系的两个相对应的量表示的各点在同一条直线上，即成正比例关系的图象是一条直线。
4、从图象中可以直观地看到两种量的变化情况，同时根据图象还可以由一个量的值直接找到与其对应的另一个量的值。
知识点三：反比例
1、反比例的意义。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积(一定)，反比例关系可以表示为x·y=k(一定)。
2、判断两个量是不是成反比例。
要先想这两个量是不是相关联的量;再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定;最后作出结论。
考点1 变化的量
1．单价一定，总价和（ ）是相关联的量。
A．速度 B．边长 C．数量
2．正方形的边长和周长（ ）。
A．是两个变量 B．不是变量 C．是不相关的两个量
3．骆驼的体温随着时间的推移呈( )变化。

4．修路队修一条长800米的路，已修的米数和剩下的米数如下表．
已修米数（米） 50 100 150 200 250 300 ...
剩下米数（米） 750 700 650 600 550 500 ...
（1）表中反映了( )和( )这两个量的变化情况．
（2）如果修路队已修400米，剩下的米数应该是( )米．已修米数和剩下米数的( )一定，也就是( )一定．
5．一台织布机的生产情况如下表．
工作总量（米） 15 30 45 60 75 ...
工作时间（时） 1 2 3 4 5 ...
（1）表中反映了( )和( )这两个量的变化情况．
（2）这台织布机2小时织布( )米，它6小时织布( )米．
6．鞋子的“码”数与“厘米”数对应表如下所示。
码 37 38 39 40 41 42 43 44
厘米 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27
设鞋子的“码”数位x，长度为ycm，分析y与x之间的变化关系，试写出两者间的关系式。
7．综合题
某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时……各造纸多少吨？
（1）把下表填写完整。
造纸时间/时 1 2 3 4 ……
造纸吨数/吨 1.5 ……
（2）上面哪两种量是相关联的量？
考点2 正比例
1．正比例图象是一条（ ）。
A．直线 B．线段 C．射线
2．一列火车从甲地开往乙地，10小时行驶了800千米，离乙地还有160千米，照这样行完全程还需要几小时？
解答此题时，同学们有以下几种方法，其中解答错误的是（ ）。
A．设还需要x小时。＝ B．设还需要x小时。10∶800＝160∶x
C．160÷（800÷10） D．10÷（800÷160）
3．下面几组相关联的量的关系，能用下图表示的是（ ）。
A．在一幅地图上，图上距离与实际距离
B．圆的面积和半径
C．看一本书，已经看的页数和未看的页数
4．下图表示两辆汽车所行驶的路程与相应时间关系的图象，下列关于图象描述错误的是（ ）。
A．两辆汽车行驶的路程和时间都成正比例
B．从昆明到大理大约有350千米，甲车从昆明到大理大约要4个小时
C．从图象上看甲车的速度比乙车快
D．从图象上看乙车的速度比甲车快
5．84消毒液是一种无色或淡黄色的液体，是一种高效消毒剂。疫情期间被广泛用于宾馆、旅游、医院、家庭、学校等的卫生消毒，消毒方法：擦拭，喷洒，拖洗消毒。常用的有1∶500和1∶200两种84消毒液配制方法。
1∶500的84消毒液配制如下：
加清水 500克 2500克 5000克
84消毒液 1毫升 5毫升 10毫升
假如现在是1∶200的84消毒液配制，请完成下表：
加清水 500克 2500克 5000克
84消毒液 _____毫升 _____毫升 _____毫升
6．一辆汽车行驶的速度为90千米/时，汽车行驶的时间和路程如下，把下表填完整。从表中你发现了什么规律？
时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8
路程/千米 90 180 270 360 ( ) ( ) ( ) ( )
分析与解答：随着时间的增加，路程也在( )，路程与时间的比值（也就是速度）相同，就是比值一定，所以路程和时间( )。
7．同一时间、同一地点测得的树高和它的影长（下表）。在图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们连起来。
树高 1 3 5 7
影长 0.5 1.5 2.5 3.5
8．买笔记本的数量和钱数的关系如下表。
数量/本 0 1 2 3 4 5 6 7 …
总价/元 0 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 …
（1）根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。

（2）数量和总价之间成什么比例？
（3）从图中可以看出，如果买9本笔记本，需要多少元钱？
9．富县的“睁眼辣子”，开胃、下饭，是餐桌上必备的饮食调味品。某食品公司将“睁眼辣子”包装成小袋售卖，购买数量和总价的关系如下表。
数量/袋 1 2 3 4 5 …
总价/元 8 16 24 32 40 …
（1）表中的总价和数量成正比例关系吗？为什么？
（2）68元够买几袋“睁眼辣子”？
考点3 反比例
1．下面说法正确的有（ ）。
①一个质数和一个合数的和一定是奇数；
②分数的分子和分母同时乘或除以同一个数，分数的大小不变；
③圆的周长一定，圆的半径和圆周率成反比例。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列各式中，x和y成反比例关系的是（ ）。
A．y－x＝8 B．y＋x＝6 C．9x＝6y D．x×＝1
3．某机械厂需要加工一批零件，每天加工的零件数和需要的天数如下表：
每天加工的零件数 120 80 60 48 40 ……
需要的天数 2 3 4 5 6 ……
表中________和________是相关联的量，因为________一定，所以这两个量成________比例。
4．判断下面两种量成正比例还是反比例。
(1)圆的周长和圆的半径成( )比例。
(2)修一条路，每天修的米数和所需天数成( )比例。
(3)订阅《新文化报》的份数和总钱数成( )比例。
5．某厂要生产一批豆浆机，平均每天产量和所需时间如下表：
平均每天产量／台 200 300 500
所需时间／天 75 50 30
(1)平均每天产量和所需时间成( )比例。（填“正”或“反”）
(2)现要在20天内完成生产任务，平均每天产量至少要达到( )台。
6．有20粒糖果，平均分给一些同学，请把表填写完整。
每人分到的糖果数粒 20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
人数人 1 2 4 5 10 20
将20粒糖果平均分，人数越多，每人分得糖果的粒数越( )。
7．亮亮看一本故事书，平均每天看的页数和所用的时间如表。
平均每天看的页数/页 8 10 15 20 30
所用的时间/天 30 24 8
（1）将上表补充完整。
（2）平均每天看的页数与所用的时间是不是成反比例？说明理由。
（3）如果亮亮用40天看完了这本故事书，平均每天看多少页？
8．一个手机组装车间要完成一批任务，每天组装手机数量与需要的天数如表。
每天组装数量（部） 500 800 1200
时间（天） 24 20 12 10
（1）请把表格补充完整；
（2）每天组装的数量用p表示，需要的天数用t表示，写出p和t的关系式_____________；
（3）每天组装的数量与时间成什么比例？为什么？
（4）如果这批组装任务需要8天完成，每天组装多少部手机？
参考答案
考点一
1．C
【分析】根据总价÷单价＝数量，解答即可。
【详解】由“总价÷单价＝数量”可知：单价一定，总价和数量是相关联的量。
故答案为：C
【分析】本题是一道基础题，主要考查对相关联量的认识。
2．A
【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例。据此逐项分析后再判断。
【详解】因为，C＝4a，所以，C÷a＝4（一定）
也就是正方形的边长和周长的商一定，符合正比例的意义，所以正方形的边长和周长成正比例。正方形的边长和周长是两个变量。
故答案为：A
【分析】此题考查用正反比例的意义辨识成正比例的量与成反比例的量，关键是明确变量与定量之间的等量关系式。
3．周期性
【分析】通过观察骆驼体温变化图，可以知道：骆驼的体温在0时至4时体温从37度下降到35度，4时至16时体温从35度逐渐上升40度，从16时到28时体温从40度逐渐下降至35度，然后又从35度逐渐上升。是一个周期性的变化过程。
【详解】骆驼的体温随着时间的推移呈（周期性）变化
【分析】从拆线统计中找出体温变化的规律是解答的关键。
4．已修米数 剩下米数 400 和 这条路的总长度
5．工作总量 工作时间 30 90
【详解】从表中可以看出，这台织布机1小时织布15米，2小时织布30米，每小时织布米数是相同的，6小时织布米数就是15×6=90米．
6．x与y呈正比变化；y=0.5x+5
7．（1）3，4.5，6；
（2）造纸时间和造纸吨数是相关联的量
【分析】（1）第一问可以通过计算得出；
（2）第二问根据表格可以看出随着造纸时间的变化，造纸吨数也变化，所以造纸时间和造纸吨数是相关联的量。
【详解】（1）1.5×2＝3（吨）
1.5×3＝4.5（吨）
1.5×4＝6（吨）
造纸时间/时 1 2 3 4 ……
造纸吨数/吨 1.5 3 4.5 6 ……
答：某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时……各造纸3吨、4.5吨。
（2）答：造纸时间和造纸吨数是相关联的量。
考点二
1．A
【分析】两种相关联的量中相对应的两个数的商一定，就成正比例关系，正比例的图象是一条过原点的直线。
【详解】由分析可知；正比例图象是一条直线。
故答案为：A
【分析】本题考查了对正比例图象的认识，属于基础知识。
2．B
【分析】根据速度＝路程÷时间，用800÷10即可求出火车的速度，然后根据时间＝路程÷速度，用160÷（800÷10）即可求出行完全程还需要多少小时；
如果列方程解决问题，则设完全程还需要x小时，速度不变，路程和时间成正比例，列比例为：800∶10＝160∶x；
也可以用800÷160求出800千米里面有几个160千米，也就是5个，5个160千米需要花10小时，则用10÷5即可求出160千米需要花多少小时；据此解答。
【详解】根据分析可知，用列算式解答可以是160÷（800÷10）和10÷（800÷160）；
如果用列方程解决问题，设还需要x小时。列方程为：10∶800＝160∶x，也就是＝。
其中解答错误的是：设还需要x小时。10∶800＝160∶x。
故答案为：B
【分析】本题主要考查了灵活解应用题的方法，掌握正比例的应用是解答本题的关键。
3．A
【分析】正比例关系的图象是一条经过原点的直线；反比例关系的图象是一条光滑的曲线；
判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。
从图象中可知，这是一条过原点的直线，所以是正比例关系的图象；逐项分析三个选择中的两个相关联的量是否成正比例关系，据此选择。
【详解】A．在一幅地图上，比例尺是一定的，图上距离∶实际距离＝比例尺（一定），比值一定，图上距离与实际距离成正比例关系，符合题意；
B．由S＝πr2可知，S÷r＝πr（不一定），圆的面积和半径不成比例关系，不符合题意；
C．一本书的总页数一定，已经看的页数＋未看的页数＝总页数（一定），和一定，经看的页数和未看的页数不成比例关系，不符合题意。
故答案为：A
【分析】认识正比例图象，掌握正、反比例的意义及辨识方法是解题的关键。
4．D
【分析】A．当两个相关联的量成正比例关系的时候，它的图象是经过原点的直线，由此即可判断；
B．根据图像可知，当甲车走4小时的时候，走了360千米，所以，当甲车走350千米的时候，大约要走4小时；
C和D．由于甲、乙两车的路程和时间成正比例关系，根据公式：路程÷时间＝速度，分别求出甲、乙两车的速度，之后进行比较即可。
【详解】由分析可知：
A．甲、乙两辆汽车图像都是经过原点的直线，符合正比例图象特征，所以两辆汽车行驶的路程和时间都成正比例关系；不符合题意；
B．甲车从昆明到大理大约有350千米，大约要4小时，不符合题意；
C．甲车：360÷4＝90（千米/小时）；乙车：360÷8＝45（千米/小时）
90＞45，甲车的速度快，不符合题意；
D．甲车的速度＞乙车的速度，符合题意。
故答案为：D
【分析】本题主要考查正比例图象的分析，学会分析正比例图象是解题的关键。
5．2.5 12.5 25
【分析】根据题目可知，84消毒液∶清水＝1∶200＝，由此即可知道84消毒液和清水成的比值一定，则84消毒液和清水成正比例，84消毒液＝×清水，即当清水是500克、2500克、5000克分别代入公式求出相应的84消毒液的毫升，由此即可解答。
【详解】由分析可知，84消毒液和清水成正比例
当加清水500克，需要84消毒液：500×＝2.5（毫升）；
当加清水2500克，需要84消毒液：2500×＝12.5（毫升）
当加清水5000克，需要84消毒液：5000×＝25（毫升）
【分析】本题主要考查正比例的辨识以及正比例的应用，熟练掌握正比例的意义并灵活运用。
6．450 540 630 720 增加 成正比例
【分析】根据路程＝速度×时间即可填写表格；接下来根据若两个量的比值一定，则这两个量成正比例即可得到答案。
【详解】90×5＝450（千米）
90×6＝540（千米）
90×7＝630（千米）
90×8＝720（千米）
从表中我发现：随着时间的增加，路程也增加，路程与时间的比值相同，就是比值一定，所以路程和时间成正比例。
【分析】本题主要考查正比例的知识，解题关键要掌握正比例的定义。
7．见详解
【分析】根据统计表提供的信息，可知树高1米时，影长0.5米；树高3米，影长1.5米；树高5米时，影长2.5米；树高7米时，影长3.5米；据此描点连线。
【详解】
【分析】本题考查描点、连线的实际操作能力，描点时注意找准坐标，然后由左到右连接起来。
8．（1）见详解
（2）正比例
（3）13.5元
【分析】（1）先根据表中的数据在图中描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来即可。
（2）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。
（3）先在横轴上找到数量是9本的点，再沿着此点所在的纵向格线与图象的交点水平向左，找到与之对应的纵轴上的数据，这个数据就是9本笔记本的总价。
【详解】（1）如图：

（2）＝＝＝＝＝＝…＝1.5
＝单价（一定），即比值一定，所以数量和总价之间成正比例。
（3）从图中可以看出，如果买9本笔记本，需要13.5元。
【分析】本题考查正比例图象的绘制，正比例关系的判定方法，以及不用计算，从图象中由一个量的值可以直接找到对应的另一个量的值。
9．（1）成；见详解；
（2）8袋
【分析】（1）判断两种相关联的量是否成正比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果比值不一定，就不成正比例；据此判断。
（2）由题意可知：每袋“睁眼辣子”的单价是一定的，即总价与数量的比值是一定的，则总价与数量成正比例，据此即可列比例求出68元可以买几袋“睁眼辣子”。
【详解】（1）
答：总价和数量成正比例关系，因为总价和数量的比值一定，符合正比例的意义，所以总价和数量成正比例关系。
（2）解：设68元够买x袋“睁眼辣子”，
8x＝68×1
8x＝68
x＝68÷8
x＝8.5
8.5＜9
答：68元够买8袋“睁眼辣子”。
【分析】此题属于辨识成正比例的量，就看这两个量是否对应的比值一定，另外解答此题还需根据两种量成正比例，进而列比例求解。
考点三
1．A
【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数；一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；整数中，不是2的倍数的数叫做奇数。
分数的基本性质：分子和分母同时乘（或除以）同一个数（0除外），分数大小不变。
圆的周长.两个相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。
【详解】①×，，6是偶数不是奇数。
②×，分数的分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数大小不变。
③×，，周长一定，半径和圆周率都不变，不成比例。
所以说法正确的个数为0个。
故答案为：A
【分析】考查了质数、合数、奇数的含义；分数的基本性质以及圆的周长公式、反比例的辨别，熟练掌握基础知识是关键。
2．D
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；据此解答。
【详解】A．y－x＝8，y和x的差一定，所以y和x不成比例；
B．y＋x＝6，y和x的和一定，所以y和x不成比例；
C．因为9x＝6y
所以x∶y
＝6∶9
＝
x和y的比值一定，它们成正比例；
D．因为x×＝1
所以xy
＝1×3
＝3
x和y的乘积一定，它们成反比例。
故答案为：D
【分析】本题考查了正比例、反比例的意义和辨识，掌握相关判别方法是解答本题的关键。
3．每天加工的零件数 需要的天数 每天加工的零件数和需要的天数乘积 反
【分析】通过观察表格可知，表中的每天加工的零件数与需要的天数相关，两个量之间商一定，那么它们成正比例关系，如果积一定，则成反比例关系。
【详解】根据分析可知，表中每天加工的零件数和需要的天数是相关联的量，因为每天加工的零件数和需要的天数乘积一定，所以这两个量成反比例。
【分析】此题主要考查学生对反比例的理解与判定方法。
4．(1)正
(2)反
(3)正
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，成正比例，如果乘积一定，则成反比例，据此解答。
【详解】（1）圆的周长＝半径×π×2，圆的周长÷半径＝2π（一定），圆的周长和圆的半径成正比例；
（2）每天修的米数所需的天数总长度（一定），所以每天修的米数和所需的天数成反比例；
（3）因为订阅《新文化报》的总钱数÷份数《新文化报》的单价（一定），是对应的比值一定，所以订阅《新文化报》的份数和总钱数成正比例。
【分析】熟练掌握正比例意义和辨识，反比例意义和辨识是解答本题的关键。
5．(1)反
(2)750
【分析】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。
（2）用统计表中平均每天产量乘对应的天数求出这批生产任务的总台数，再除以20即可解答。
【详解】（1）200×75＝15000（台）
300×50＝15000（台）
500×30＝15000（台）
平均每天产量×所需时间＝总台数（一定），平均每天产量和所需时间的乘积一定，则平均每天产量和所需时间成反比例。
（2）15000÷20＝750（台），则平均每天产量至少要达到750台。
【分析】本题考查反比例的辨认和应用。掌握正比例和反比例的意义是解题的关键。
6．10 5 4 2 1 少
【分析】由题意知：每人分到的糖果数乘人数等于糖果总数20粒（一定），每人分到的糖果数与人数成反比例。用糖果总数除以人数得每人分得的糖果数。据此解答。
【详解】（粒）
（粒）
（粒）
（粒）
（粒）
填表如下：
每人分到的糖果数粒 20 10 5 4 2 1
人数人 1 2 4 5 10 20
将20粒糖果平均分，人数越多，每人分得糖果的粒数越少。
【分析】明确每人分到的糖果与人数成反比例，再利用反比例中的数量关系进行解答。
7．（1）16；12；
（2）反比例关系；因为每天看的页数和所用天数的乘积相等，所以符合反比例的意义；
（3）6页
【分析】（1）根据“平均每天看的页数×所用的时间＝这本故事书的总页数”直接解题即可。
（2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
（3）用总页数÷看的天数即可。
【详解】（1）总页数：8×30＝240（页）
240÷15＝16（天）
240÷20＝12（天）
填表如下：
平均每天看的页数/页 8 10 15 20 30
所用的时间/天 30 24 16 12 8
（2）因为每天看的页数和所用天数的乘积相等，所以符合反比例的意义。故平均每天看的页数与所用的时间成反比例；
（3）240÷40＝6（页）
答：如果亮亮用40天看完了这本故事书，平均每天看6页。
【分析】本题主要考查反比例的意义，明确平均每天看的页数×所用的时间＝这本故事书的总页数是解题的关键。
8．（1）见详解
（2）pt＝12000
（3）成反比例，因为每天组装的数量和时间的乘积一定
（4）1500部
【分析】（1）由题意可知，这批手机组装任务的总数量是固定不变的，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，工作效率＝工作总量÷工作时间，由此完成表格；
（2）根据组装手机总数＝每天组装数量×时间，可得pt＝12000；
（3）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；
（4）用组装手机总数除以天数，即可得每天组装多少部手机。
【详解】（1）500×24＝12000
12000÷20＝600（部），12000÷800＝15（天），12000÷12＝1000（部）
填表如下：
每天组装数量（部） 500 600 800 1000 1200
时间（天） 24 20 15 12 10
（2）因为500×24＝12000（部），1200×10＝12000（部），所以pt＝12000
（3）因为每天组装的数量×时间＝12000（乘积一定），所以每天组装的数量与时间成反比例关系。
（4）12000÷8＝1500（部）
答：如果这批组装任务需要8天完成，每天组装1500部手机。
【分析】本题考查了用字母表示数，还考查了辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。

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