资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高一 学期 春季
课题 《7.1复数的概念》
教科书 书 名：普通高中教科书·数学（A版）必修 第二册 出版社：人民教育出版社
教学目标
1. 能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，并能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则”，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用． 2.能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn图表示数集之间的关系，知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题． 3.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.掌握复平面、复数的模及共轭复数．
教学内容
教学重点： 1. 数系扩充的过程和方法；对i的规定和理解复数的相关概念； 2. 复数的两种几何意义及复平面、复数的模及共轭复数等概念． 教学难点： 1. 数系扩充的基本思想及虚数单位i的引入； 2. 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．
教学过程
（一）复习回顾，再现思想 思考：截至目前，我们都学习过哪些数集？这些数集之间有什么关系？ 预设回答：自然数集、整数集、有理数集、实数集。后面的数集包含前面的数集，即后一个数集是前一个数集的扩充。 追问：为什么要扩充数系？ 从满足社会发展需要的角度，以视频的形式简单回顾数系扩充的过程。 从解决数学内部矛盾的角度，通过在特定数集中求解方程回顾数系的扩充过程。 在自然数集中无解，引入负整数使其有解。 在整数集中无解，引入分数使其有解。 在有理数集中无解，引入无理数使其有解。 【总结】数系扩充的原则 （1）引入新数，即增加新元素； （2）加法与乘法满足交换律、结合律及分配律均得到保留，即原数集中的运算性质仍然成立。 （二）创设情境，引出新数 问题：在实数集中有解吗？为什么无实数解？ 预设回答：在实数集中无解，因为在实数集中对-1开平方没有意义。 追问：联系从自然数集扩充到实数集的过程，你能给出一种方法，使该方程有解？ 预设回答：引入新数扩充实数集，使负数开方在新数集中有意义。 师：引入新数i，并介绍相关数学史——数学家欧拉。规定，把新引进的数添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律（即保留原有的运算律及运算性质）。 （三）建构新知，感知复数 思考：数系扩充保留运算律，那么在实数集中引入新数i后，新的数集中包含哪些数 预设+引导：实数a 实数b与i相乘，如：3i，-2i，，等，结果记作bi 实数a与bi相加，如：2+3i，4-2i，等，结果记作a+bi 实数a=a+0i bi=0+bi 归纳复数的结构特征：所有实数以及i都可写成a+bi (a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。 复数的概念：把形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数。i 叫做虚数单位。 复数集：全体复数所构成的集合C={a+bi |a,b∈R}叫做复数集。 复数的代数形式：z=a+bi(a,b∈R)，其中a为实部，b为虚部。 注意：复数z的实部和虚部都是实数。 如：3+2i的实部是3，虚部是2 的实部是，虚部是 的实部是，虚部是1 -0.2i的实部是0，虚部是-0.2 思考：复数可以像实数那样比较大小吗？ 师：一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。 追问：如何判断两个复数相等呢？ z1=a+bi,z2=c+di 若z1=z2，则a=c且b=d. 每个复数都可以由实部和虚部这两个实数唯一确定，对复数进行分类。 思考：用韦恩图表示出复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系。（小组合作） （四）典例分析，理解概念 例1 当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m 1)i是下列数？ （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 分析：因为m∈R，所以m+1与m 1都是实数，由复数是实数，虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值。 解：(1)当m 1=0，即m=1时，复数z是实数； (2)当m 1≠0，即m≠1时，复数z是虚数； (3)当m+1=0且m 1≠0时，即m= 1时，复数z是纯虚数。 （五）建构新知，几何感知 1.复数的两种几何意义 思考：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。那么，复数有什么几何意义呢？ 复数z=a+bi实部为a，虚部为b，可以确定唯一的有序数对（a,b），而有序数对（a,b）又可以确定实部为a，虚部为b的复数，因此复数z与有序数对就建立起了一一对应关系。那么有此关系，同学们思考一下，可以想到复数的几何表示方法吗？ 预设回答：想到点 师：有序数对（a,b）可以确定横坐标为a，纵坐标为b的点，而点（a,b）又可以确定有序数对（a,b），因此，有序数对与点就可以建立起一一对应的关系。 引入复平面概念：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。其中X轴叫做实轴，Y轴叫做虚轴，实轴的点代表实数，虚轴的点除了原点以外代表纯虚数。比如：复平面内的点（-2,3）对应复数-2+3i 点（-2,0）对应复数-2 -5i对应点（0,-5） 0对应点（0,0） 复数z=a+bi可以唯一确定复平面上横坐标为a，纵坐标为b的点Z，而点Z（a,b）又可以唯一确定实部为a，虚部为b的复数。因此复数可以与复平面的点建立起一一对应的关系，这个是复数的一种几何意义。 思考：平面向量可以用直角坐标系中有序数对来确定，复数与有序数对也是一一对应的，你能用平面向量来表示复数吗？ 师：想用平面向量来表示复数，需要找到平面向量与复数之间的一一对应关系，复数与复平面的点是一一对应的，因此只要找到复平面上的点与向量之间的一一对应关系，便可以解决这个问题。思考：如何建立向量与点之间的一对应关系？ 由向量相等定义可知任何一个向量都可以通过平移变成以原点为起点的向量。向量的终点会唯一确定，而又会唯一的去确定终点Z，建立起点与向量之间的一一对应关系。复数与点是一一对应的，而点又与以原点为起点的向量是一一对应的，就可以建立起复数与原点为起点向量之间的一一对应关系，这是复数的另外一种几何意义。 注：为了方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或；相等的向量表示同一个复数。 2.复数的模 的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记做或 (即根号下实部的平方加上虚部的平方)。 几何意义：复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点O的距离. 例2 设复数z1=4＋3i，z2=4-3i (1)在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量；(2)求复数z1，z2的模，并比较它们的模大小. 解：(1)如图所示 (2) |z1|=|4+3i|= |z2|=|4 3i|= 所以|z1|=|z2|. 问：复数z1，z2所对应的点有什么样的关系？ 由于复数z1，z2实部相同，虚部互为相反数，因此他们所对应的点应该是横坐标相同，纵坐标相反，关于X轴对称的。 3.共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于零的两个共轭复数，也叫做共轭虚数。共轭复数用表示，如果z=a+bi，则 问：若z1，z2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？（关于实轴对称） （六）课堂小结，优化结构 思考：本节课学习了复数的哪些内容？ （七）布置作业，知识迁移 【课后思考】教科书7.1.2的例题2. 【自编习题】每日限时训练。
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。

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