资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高一 学期 春季
课题 7.3 复数的三角表示（第一课时）
教科书 书 名：高中数学必修第二册（人教A版2019）教材 出版社：人民教育出版社
教学目标
1. 了解、掌握复数的三角表示式，了解复数的两种形式的意义； 2. 了解复数的三角形式下的运算及法则.
教学内容
教学重点： 复数的三角形式下的运算及其几何意义. 教学难点： 复数的代数形式与三角形式的应用.
教学过程
温故知新 奠定基础 复数的几何意义： 引导探究 得出概念 问题1：我们知道复数z＝a＋bi可以由向量的坐标唯一确定，向量 既可以由它的坐标唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析图1，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？你认为如何表示？ 追问1：为了解决问题1，首先应研究什么？ 追问2：如何用文字表述角 θ 呢？ 【设计意图】利用教科书上的探究问题，借助复数的几何意义，引导学生尝试定量刻画向量的大小和方向，为得出复数的三角表示式奠基，这也是得出复数三角表示式的第一个关键环节. 追问3：你能用向量的模，以及以 x 轴的非负半轴为始边，以向量所在射线为终边的角 θ 来表示复数z吗？ 由复数z＝a＋bi的向量表示，易得 追问4：角 θ 的终边落在其余象限时，上式也成立吗？成立 【设计意图】要求学生进一步借助图形，得出模和角与平面向量的坐标的关系，从中感受复数和平面向量的关系以及数形结合的思想.这是得出复数三角表示式的另一个关键环节. 复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成 的形式.其中r是复数的模；θ是以 x 轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角. 叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式. a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 自我小测：1.写出下列复数的辐角. i （2）1 （3）-1 （4）-i （5）0 问题2：一个复数的辐角的值有多少个？ 追问：这些辐角的值之间有什么关系呢？ 【设计意图】让学生由平面直角坐标系中终边相同的角的特点，得出复数辐角的多值性，以及这些值之间相差的整数倍；类比零向量，了解复数为0时辐角的任意性. 问题3：在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非 0 复数有唯一确定的“值”作为其所有辐值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？ 规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作 arg z. 追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？ 【设计意图】给出辐角的主值的概念和取值范围，让学生了解规定辐角的主值，保证了其唯一性，从而为一些表述和研究带来便利. 自我小测：1.写出下列复数的辐角的主值. （1）i （2）1 （3）-1 （4）-i 把一个复数表示为三角形式时，辐角不一定取主值. 【设计意图】由学生容易出错的问题，通过具体事例引出对复数三角表示式的辨析，通过对复数三角表示式结构特点的分析，得出复数三角表示式的结构特征，进而根据结构特点对复数的三角表示式作出判断. 概念应用 巩固新知 例1：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式. 解：（1）复数对应的向量如图所示，则 ， 所以 （2）复数对应的向量如图所示，则 ， 所以 或者：，但是辐角不是辐角主值. 【设计意图】一方面是让学生进一步体会复数的几何意义，感受复数和平面向量一一对应的关系；另一方面是借助与复数对应的点的坐标，判断角的终边所在的象限，体会将复数代数形式化为三角形式的基本方法. 例2：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量， 并把这些复数表示成代数形式. 解：（1）复数的模,一个辐角， 对应的向量如图所示，所以 （2）复数的模，一个辐角， 对应的向量如图所示， 所以 【设计意图】一是通过几何直观，帮助学生进一步认识复数三角形式中. 问题4：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？ 两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？ 两个复数相等两个复数的模相等且辐角主值相等 课堂小结 回顾反思 复数的两种形式代数形式三角形式实部虚部辐角，辐角主值复数的三角形式和代数形式可以根据需要进行互化.
作业布置 目标检测 1. 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式. 下列复数是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式. 3. 将下列复数表示成代数形式： 4. 预习课本 7.3.2 复数乘除运算的三角表示及其几何意义
教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高一 学期 春季
课题 7.3 复数的三角表示（第二课时）
教科书 书 名：高中数学必修第二册（人教A版2019）教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年7月
教学目标
1.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. 2.在知识的探究过程和发现中,感受数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
教学内容
教学重点： 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. 教学难点： 对复数乘、除运算的三角表示及其几何意义的理解.
教学过程
温故知新 奠定基础 问题1：我们知道复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数代数形式加法和乘法运算的法则是什么？ 【设计意图】复数加法、乘法运算的法则是研究复数加法、乘法运算三角表示的出发点，提出这个问题，激活学生已有的认知基础，为本节课研究复数乘法运算的三角表示进行铺垫. 引导探究 得出概念 问题2：上节课，我们学习了复数一种新的表示方法—三角形式，那么复数的加法和乘法运算是否能用三角形式来表示呢 如果把复数，分别写成三角形式：，你能计算和并将结果分别写成三角形式吗？ 不能写成三角形式. 复数乘法运算的三角表示： 【设计意图】引导学生独立思考，自主探究，侧重经历复数乘法的三角表示公式的得出的过程，从中进一步体会复数与三角之间的紧密联系. 问题3：你能用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式吗？ 两个复数相乘:积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 可简述为：模相乘，辐角相加. 【设计意图】培养学生的语言表达能力，帮助学生进一步加深对复数乘法运算三角表示的理解. 问题4：我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法有没有几何意义呢？由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 两个复数，相乘时，如图，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．这是复数乘法的几何意义． 【设计意图】让学生借助图形进行分析，探究得出复数乘法运算三角表示的几何意义，体会数形结合思想，同时培养学生自主学习能力和合作意识. 概念应用 巩固新知 问题5：你能解释和的几何意义吗？ 【设计意图】让学生利用复数乘法运算的几何意义，进一步理解熟悉的乘法运算的基本结论. 例1：已知求 ，请把结果化为代数形式，并作出几何解释. 解： 首先做与复数对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角，再把它的模变为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量． 即为所对应的向量． 【设计意图】让学生利用复数乘法的三角表示进行运算，进一步熟悉算理和复数乘法运算三角表示的几何意义. 例2：如图,向量对应的复数为1+i，把绕点O按逆时针方向旋转，得到.求向量对应的复数(用代数形式表示). 解：向量对应的复数为 【设计意图】让学生了解利用复数乘法的几何意义可以解决某些与向量旋转、伸缩有关的复数运算问题，体会利用复数乘法几何意义解决问题的便捷性. 问题6：除法运算是乘法运算的逆运算. 根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法的三角表示吗？ 所以 【设计意图】在复数乘法的基础上，引导学生借助已有的知识和运算技巧推导复数除法的三角表示，体会转化与化归和类比的数学思想，提升数学运算素养. 复数除法运算的三角表示： 追问1：你能用文字语言来表述复数除法的三角表示公式吗？ 两个复数相除: 商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.可以简述为：模相除，辐角相减. 追问2：你还有其他的推导方法吗？ 问题7：类比复数乘法的几何意义，由复数除法的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？ 两个复数相除时，如图，把向量绕点O按顺时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【设计意图】通过除法三角表示的几何意义的自主探究，让学生进一步感受乘法和除法相互转化的关系，感受向量与复数之间的联系，同时感受数形结合、化归与转化思想在研究数学问题中的作用. 例3：计算并把结果化为代数形式. 【设计意图】让学生利用复数除法运算的三角表示公式进行运算，进一步熟悉算理.指导学生反思：在确保两个复数都为三角表示形式，才能运用复数的三角表示公式进行运算. 课堂小结 回顾反思 复数乘法运算的三角表示： 即两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和. 复数除法运算的三角表示： 即两个复数相除,商的模等于被除数模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 【设计意图】帮助梳理本节课的知识、研究思路与方法，让学生进一步明确复数乘、除运算的三角表示及其几何意义，进一步体会类比、化归与转化、数形结合等数学思想方法，有利于提升学生直观想象、逻辑推理等素养.通过比较，让学生体会复数的代数形式和三角形式各自的特点，体会复数的三角形式给复数的乘、除运算带来的便利，以及复数三角形式与平面向量、三角函数之间的紧密联系. 作业布置 目标检测 1.书本习题7.3 复习巩固3、4，综合运用6、7； 2.书本91页探究与发现.

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