资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高一 学期 春季
课题 简单几何体的表面积与体积（第一课时）
教科书 书 名：数学必修第一册（A版）出版社：人民教育出版社
教学目标
1.了解棱柱、棱锥、棱台表面积的概念，并会计算棱柱、棱锥、棱台的表面积；2.掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式，并会简单应用；3.从数和形两个角度，建立棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的联系；4.会利用棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式解决一些实际生活问题。
教学内容
教学重点：1.了解棱柱、棱锥、棱台表面积的概念；2..通过展开的方式，将空间表面积问题转化为平面中常见多边形面积之和问题；3.掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式。教学难点：1.从特殊棱柱——正方体和长方体的体积公式，类比推理出普通棱柱的体积公式；2.从数和形两个角度，建立棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的联系；3.会将生活中的一些物体抽象为空间几何体，用棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式解决一些实际生活问题。
教学过程
微课引入师：在先前的学习中，我们已经掌握了如何在现实世界的各种物体中抽象出空间几何体，并根据其结构特征，分为以下几类。后来，我们利用斜二测画法，画出立体图形的直观图，实现了用二维图形表达三维图形的效果。但之前的学习，都是从定性的角度对立体几何进行研究。今天我们主要研究空间几何体的表面积和体积，从度量的角度来继续认识它们。【设计意图】引导学生简单回忆之前学过的立体几何的内容，强调先前的知识主要是从定性观察的角度来认识和表示空间几何体，而今天的主要任务是用度量的眼光来看待空间几何体，从而引出今天的研究对象——棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积。概念学习师：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和。那么多面体的表面积具体该如何计算呢？我们采用的方式就是将其表面展开。利用GGB软件，我们就可以非常直观地看到棱柱、棱锥、棱台表面展开的具体过程。我们可以看到，这些多面体的表面展开图，就是一个平面图形。这样的展开，可以将一个空间的表面积问题转化为平面中常见多边形面积之和的问题。【设计意图】介绍完多面体的表面积概念之后，强调了棱柱、棱锥、棱台的表面积概念。但是许多同学可能对这个空间中的问题感到抽象，哪怕知道是通过展开的方式进行研究，但是还是无法想象具体的过程。所以我们可以数学绘图软件——GGB，让这一过程能够清晰地展示在每个同学的眼前，让学生对多面体表面积概念的概念有一个更加直观形象的认识。 三、例题讲解例、如图，四面体的各棱长为，求它的表面积.【设计意图】这是书本中所设置的例题。通过一个比较简单的计算正四面体的表面积的问题，让学生在具体的棱锥背景下，根据多面体表面积的概念，进行实际应用。因为难度不是非常大，所以放在了本节课比较靠前的位置，增加公式应用熟练度的同时，可以加强学生的学习信心。四、例题讲解师：之前，我们已经学习了特殊的棱柱——正方体和长方体的体积公式。如果我们对该式子进行整理，可以发现前者就是正方体的底面积，后者是它的高，所以其公式可以写成的形式。长方体同样也可整理成这样的形式。这是两个比较特殊的棱柱，它们的体积公式有这样的规律。从特殊到一般情况，如果一个棱柱的底面积为，高是，那么这个棱柱的体积.这里棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任取一点，向另一底面作垂线，垂足记作，线段的长度即为该棱柱的高。研究完棱柱后，我们把目光转移到棱锥上。我们可以在棱柱中构造出一个和它等底等高的棱锥，那他们的体积又有何关系呢？我们可以通过一个实验，直观感受一下。此次实验研究的是一个较为特殊的例子，一个三棱柱的体积是等于和它等底等高的三棱锥体积的三倍。一般地，如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么棱柱的体积是棱锥体积的三倍。这样，我们就得到了棱锥的体积公式。公式中棱锥的高，指的是从锥体顶点作底面垂线，垂足记作，线段的长度就是该棱锥的高。了解棱锥高的概念之后，其实我们可以用更加准确的方式，证明刚才那个特殊的三棱柱是它等底等高三棱锥体积的3倍。我们可以将该三棱柱按以下的方式，分割成这样三个小三棱锥。至于更加一般的情况，我们可以用祖暅原理进行严格证明。有兴趣的同学可以阅读书本121页的《探究与发现》，这里对于祖暅原理的介绍还是比较详细的。由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式。公式中，棱台的高指的是从上底面上任意一点向下底面做垂线，垂足记作，线段的长度即为该棱台的高。【设计意图】此次探究棱柱、棱锥、棱台体积体积公式的过程，是先利用学生在小学、初中学习过的特殊的棱柱——正方体和长方体的体积公式，通过对其体积公式进行整理，发现都可以整理成底面积乘以高的形式，所以归纳总结出对于一般底面积为，高是的棱柱，它的体积。从特殊情况归纳出一般结论，这是探究数学问题中一个非常重要的思想方法。而棱柱的体积是等于和它等底等高的棱锥体积的3倍这一结论，为了使学生能够更好地理解，我们采用播放数学实验视频的方式，让这个“3倍”变得可观可感起来，对于刚接触高中阶段立体几何的学生而言，可以比较自然地接受。介绍完棱柱、棱锥、棱台的体积公式后，都着重介绍了它们各自的高。因为目前为止，学生还不了解线面垂直的概念，所以本节课是直接给出高的概念。尤其是棱锥的高，知道其概念后，就可以用更加准确的方式，证明刚才那个特殊的三棱柱是它等底等高三棱锥体积的3倍。这些都是比较特殊的情况，如果想要严格证明该结论，可以利用祖暅原理。而这部分内容在书本P121页的《探究与发现》中也是进行了较为详尽的介绍。这部分可以作为课外阅读任务布置给那些对此感兴趣、基础较好的同学，属于发展层次的内容。五、对比分析师：我们观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，请你思考以下问题。我们发现它们三者的体积公式，形式类似但又不完全相同，是什么导致了这样的结果呢？师：我们可以让棱台动起来，当棱台上底面扩大到和下底面全等时，棱台就变成了一个棱柱。从数据的角度，此时棱台的上下底面面积，棱台的体积公式转化为棱柱的体积公式。同样，当棱台的上底面缩小为一个点时，棱台就变成了一个棱锥。此时，棱台的上底面面积，棱台的体积公式转化为棱锥的体积公式。从几何角度，我们可以看到，棱台可以作为一个中间状态，通过变化其上底面，可以得到棱柱和棱锥两种特殊情况；从代数角度，棱柱和棱锥公式就是当棱台上底面面积等于和0时得到的。这说明，从数的角度可以解释形的变化，而形的变化恰恰是数的体现。【设计意图】得到棱柱、棱锥、棱台各自的体积公式之后，对比三者，从数和形两个角度，建立起三者之间的联系。采用动画的形式，让几何角度的转变过程变得非常直观，方便学生理解三者间几何角度的关联。六、实际应用例、如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01m3）？（计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度）【设计意图】这道题目中，让学生感受到数学其实就在我们身边，我们可以将一个漏斗抽象为数学中的空间几何体。用立体几何的知识求出该空间几何体的体积，从而解决生活中漏斗容积的实际问题。七、课堂小结师：最后，我们对本节课的内容进行一个简单的小结。这节课，我们学会了用数学的眼光观察空间几何体的表面积和体积；用数和形两个角度来建立棱柱、棱锥、棱台之间的联系；用数学的语言来表示多面体的表面积和体积公式。从“四基”的角度，我们掌握了棱柱，棱锥，棱台的表面积与体积公式等数学基础知识；习得了抽象、数据运算等基本技能；在探究的过程中，采用数形结合的思想，从特殊情况中，类比归纳出一般结论。最后，我们也可以感受到数学软件和数学实验对探究问题的巨大促进作作用。【设计意图】从“四基”和“三会”的角度，紧紧围绕新课程标准对高中数学课堂教学的要求进行小结。

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