资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高一年级 学期 春季
课题 9.2.3总体集中趋势的估计
教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第二册 出版社：人民教育出版社
教学目标
1. 进一步深入学习平均数、中位数、众数，进一步体会样本估计总体的统计思想和统计方法。2. 在教学中，充分结合具体案例，让学生在实际问题中，学习数据统计特征刻画的方法。
教学内容
教学重点： 1. 理解平均数、中位数、众数的优缺点。 2. 计算频率分布直方图中的三大统计量。 教学难点： 1. 对于不同数据类型正确选择描述总体集中趋势的统计量。 2. 在频率直方图中进行三大统计量的计算。 3. 对数据陷阱的理解
教学过程
3.1实际案例，温故知新 前面研究了如何通过样本的分布规律估计总体的分布规律.但有的时候，可能不太关心总体的分布规律，而更关注总体取值在某一方面的特征. 问题1：在初中，我们已对平均数、中位数、众数有一定的学习，请大家浏览三个实例，并将三个统计指标正确的填入其中. a.某服装专业学生需设计一款均码的女装，应该关心女性人群服装尺码的 . b.商场销售部门给营业员制定销售指标，需至少有一半人能完成任务，需要参考以往营业员销售额的 . c.跳水比赛中，选手更关心成绩的 . 预答：a.众数 b.中位数 c.平均数 问题2：请大家思考一下：平均数、中位数、众数，这三个指标他们有什么共同点呢？ 预答：它们从不同角度刻画了总体的“中心位置”，平均数从数值中心的角度进行总体集中趋势的估计，而中位数、众数则是从位置中心的角度进行的. 【设计意图】以现实案例作为引入，帮助学生在现实情境中回顾平均数、众数、中位数这三个统计指标的知识，并且引导学生思考他们之间的共同点，从而引出它们都是刻画整体集中趋势的统计指标. 3.2数值数据，两者选一 下面基于例4、例5探究平均数、中位数、众数这三个统计量，探究它们之间的联系与区别，并能更好的利用他们进行总体集中趋势的估计. 问题3：以9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据作为研究对象，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数. 追问：数据太多不好处理，能否用软件进行处理，你都知道哪些统计软件？ 预答：统计软件有R软件和Excel软件. 数据量大，手算几乎不可能，需要借助软件进行.通过R软件，读取读取数据. 追问：观察矩阵内的样本数据，这是什么类型的样本数据？ 预答：很明显的这是数值型数据. 追问：用R如何实现均值和排序？平均数和中位数分别为多少？ 预答： 根据R可以得到样本的均值为; 由于样本有100个数据，因此中位数应 该是第50位和第51位数值取平均. 而第50和第51位数均为6.8，故中位数为6.8. 追问：请思考，假设某个小区有2000户，你能估计该小区的月用水总量吗？ 预答：能的.由于此数据是从全市居民中简单随机抽取的，因此可以用此样本数据的平均值来估计总体月用水量的平均值，因此小区的月用水总量估计为. 问题4：用统计软件计算100户居民用水量的平均数和中位数.但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数进行比较.哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？ 预答：通过R软件实现数据替换，并且求解新数据的平均数与众数与原来的进行对比. 我们会发现均值从8.79变为9.483，而中位数依旧为6.8. 由于平均数的计算需要设计每个样本数据，因此任何一个数据的变化都会改变平均数. 而中位数的定义，看到中位数只包含中间位置几个数的信息，因此只有改变中间位置的一个或两个值的时候才会引起中位数的改变. 问题5：日常小测试，数学老师想要知道同学们的平均分，为了避免平均数繁琐的计算，老师会用中位数作为平均数的一个近似估计，请问这样做合不合理呢？ 追问：平均数和中位数的大小存在什么关系？ 预答：他们之间的大小关系和数据分布的形态决定. 对于对称分布，平均数和中位数是重合的，他们此时是相等的. 当分布是右偏的，分布呈右拖尾，即它在峰值右侧的时间更长. 因此右偏分布的平均数几乎总是大于中位数. 同理，当分布是左偏的，左偏分布的平均数几乎总是小于中位数. 只有当分布是对称的时候，用中位数估计平均数比较合理. 【设计意图】通过例4的样本数据定性数据是数值型数据，可以用中位数、平均数刻画总体的集中趋势，并且用R语言实现了快速计算. 通过替换样本中的数据，探究中位数与平均数的特点. 再通过问题5的实例，引导学生思考中位数与平均数之间大小的关系.此问题穿中还强调了样本估计总体的统计思想. 3.3分类数据，首选众数 问题6：某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服数据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如表9.2-5所示. 如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数、众数中，哪个量比较合适？ 9.2-5 预答：校服规格代表几种不同类型，是分类型数据.对于分类型数据，往往中位数和平均数没有实际意义.一般采用众数来刻画总体集中趋势. 追问：能否利用该数据估计全国高一年级女生校服规格呢？ 预答：因为全国女生身高存在差异，此样本不能很好的代表总体，故不合理. 师：学完这个三个描述总体集中趋势的统计量，我们将其进行一下整理和比较，分析他们的特点和缺点. 对于不同类型的数据，我们在选择描述总体集中趋势的统计量时，也有不同的倾向.对于数值型数据，我们更倾向于选择平均数或中位数进行描述，而对于分类型数据，我们会优先选择众数作为统计量. 3.4 模糊数据，计算方法 问题7：有些情况下我们无法获知原始的样本数据. 例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图. 这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？你能以图9.2-1中频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗？ 师：在直方图中有个重要的假设，即数据是均匀分布的. 预答：在频率分布直方图中，月均用水在的居民最多，将区间的中点作为众数的估计值.又样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和, 平均数可以用每个小矩形底部中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 根据中位数的意义，中位数左边和右边的面积应该相等. 由于第一个矩形面积为小于，而第一、第二个矩形面积之和为大于. 因此中位数落在区间内，设中位数为，由面积加和为解得约为，与原始数据差不大. 【设计意图】通过教学，教会学生处理直方图下的中位数、平均数、众数的计算. 3.5学会辨析，避开陷阱 问题8： a. 假如企业老板告诉你，企业员工的年平均收入是20万，你会不会立马答应入职呢？ b. 一个投资项目，去年投资回报率为3%，今年投资回报率是6%，比去年多了3个百分点，你会投资吗？ c. 根据调查，A地雾霾程度全国第二，而B第空气质量全国第二，请问哪个地区的人均寿命更长？ 预答：对于a，很有可能大部分员工2万一年，而老板200万一年.这就是滥用平均数的陷阱.对于b，今年投资回报率是去年的200%，听起来比原来的描述诱人很多，这就是有技巧地描述数据的陷阱.对于c，按照数据逻辑会认为A地人均寿命应该低于B地，而事实上，A地因为医疗资源等资源加持，A地人均寿命远高于B地. 这便是随意解读统计数据的陷阱. 3.6课堂小结，提升思想 这节课学习了三个从不同角度估计总体集中趋势的统计指标，以及一些常见的数据陷阱.除此框架，从数据角度出发，我们还有一个知识框架. 数据的形态不同，决定了统计之间的大小关系，数据的类型不同决定了选择不同的统计指标，数据是否具体决定了平均数、中位数、众数的不同计算方法.
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。

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