资源简介

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《比例》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《比例》单元是数与代数领域第三学段“数与代数”中的重要内容。
《课程标准》在“内容要求”提出了：
1.在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。
2.通过具体情境，认识成正比的量(如=5)(例 20);能探索规律或变化趋势(如y=5x)(例 21)
《课程标准》在“学业要求”中指出：
1.能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量，能解决按比例分配的简单问题。
2.能在具体情境中描述成正比的量 =(k≠0)，能找出生活中成正比的量的实例;能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图了解y=kx(k≠0)的形式，能根据其中一个量的值计算另一个量的值。
（二）单元教材内容分析
本单元的内容主要包括比例的意义和基本性质、正比例和反比例、比例的应用三个部分。
（三）学生认知情况
学生在学习比例这一单元时，已经学习了比、除法的意义和分数的意义,以及分数的基本性质、分数与除法的关系、分数乘除法的计算方法等，这些都是学习本单元内容的基础知识。
二、单元目标拟定
1.理解比例的意义和比例的基本性质。
2.理解相关联的量，理解正比例、反比例的意义， 掌握成正比例的量和反比例的量的变化规律。
3.认识正比例关系图象，能根据给出的正比例关系的数据在坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图象中找出另一个量的值。
4.理解比例尺的意义，数值比例尺和线段比例尺能互相转化。能正确地求图上距离、实际距离和比例尺。
5.能利用方格纸按一定的比例将简单图形放大与缩小，发现放大与缩小变与不变的特点。
6.运用比例的相关知识，分析、解决实际问题， 并在经历问题解决的过程中，积累和丰富解决问题的经验策略，提高解决问题的能力。
三、关键内容确定
（一）教学重点
理解比例的意义；探索并掌握比例的基本性质；知道什么叫解比例；理解正、反比例的意义，探究正比例图象、并借助图象加深对成正比例关系的量的变化规律的理解；理解比例尺的含义；能根据比例尺的意义解决简单的实际问题；理解比例尺的意义的基础上，能根据比例尺及相应的条件画出平面图；能在方格纸上把一个简单图形按指定的比进行放大或缩小；掌握用正、反比例的意义解答基本应用题的方法与步骤。
教学难点
能运用比例的意义或者比例的基本性质判断两个比能否组成比例；会根据比例的基本性质正确解比例；会判断两种量是否成正、反比例关系；会利用正比例关系图象解决简单的问题；能灵活运用比例尺知识解决作图问题，体会图形相似的特点；能用多种方法解决有关正、反比例的实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。运用比例的相关知识，分析、解决实际问题， 并在经历问题解决的过程中，积累和丰富解决问题的经验策略，提高解决问题的能力。体会比例知识与其他知识之间的联系，综合运用多种知识，灵活解决实际问题，
从具体编排来说，
(1)重视呈现真实的问题情境，体现数学与生活的密切联系，展示数学知识的抽象和建模过程，促进基础知识的建构。
(2)重视培养学生的基本技能，要让学生会应用比例的知识解决实际问题，前提是会解比例。教材编排的习题，题量丰富，有针对性，有层次性。
重视用直观形象的图形或图象来揭示知识的本质属性，展现量的变化规律。
强调知识的应用，重视创设真实的应用情境，展现问题解决的思维过程和完整步骤教材在编写时充分体现了对知识应用的重视。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 4
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 比例 比例的意义 3
正比例和反比例 3
比例的应用 6
自行车的数学 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
比例的意义 目标：使学生理解比例的意义，能应用比例的意义判断两个比能否组成比例。 任务一：求比值，探规律。 任务二：归纳概念，理解比例的意义。 1.通过自主学习，探索什么是比例。 2.通过求比值，知道比例的意义是什么。
比例的基本性质 目标：探索并掌握比例的基本性质，会根据比例的基本性质正确判断两个比能否组成比例，会把乘积相等的式子转化成比例。 任务一：认识比例各部分的名称。 任务二：合作探究比例的基本性质。 通过自主学习，知道比例各部分的名称。 通过小组合作探究，归纳总结出比例的基本性质。
解比例 目标： 知道什么叫解比例，会根据比例的基本性质正确解比例。 任务一：用解比例的知识解决问题。 任务二：学习解分数形式的比例。 通过小组合作学习，会列比例解决实际问题。 2.能解出分数形式的比例问题。
正比例 目标： 理解正比例的意义会判断两种量是否成正比例关系。 任务一：合作学习，探究成正比例的量。 任务二：对比辨析，深入理解正比例的意义。 1.通过小组合作探究活动，知道正比例的意义。 2.通过对比辨析活动，会判断两个相关联的量是否成正比例。
正比例关系图象 目标：探究正比例图象、并借助图象加深对成正比例关系的量的变化规律的理解。会利用正比例关系图象解决简单的问题。 任务一：自主尝试，探究正比例关系图象的特征。 任务二：利用正比例关系图象解决问题。 1.通过自主学习，能画出正比例关系的图象。 2.通过小组讨论，会用正比例关系图象解决问题。
反比例 目标：理解反比例的意义能判断两种量是否成反比例关系。 任务一：构建反比例概念，理解反比例的意义。 任务二：归纳判断两种量是否成反比例关系的条件。 通过小组合作探究活动，探索反比例的意义。 通过归纳总结，归纳出两种量成反比例关系的条件。
比例尺（1） 目标：从生活实际出发认识比例尺，理解比例尺的含义。会求一幅图的比例尺。 任务一：理解比例尺的意义。 任务二：求比例尺。 通过小组合作探究活动，知道什么是比例尺。 通过学习，会求简单的比例尺问题。
比例尺（2） 目标：根据比例尺的意义解决简单的实际问题。 任务一：合作探究，解决有关比例尺的实际问题。 1.通过合作探究活动，会解决更复杂的比例尺问题。
比例尺（3） 目标：在理解比例尺的意义的基础上，能根据比例尺及相应的条件画出平面图。 任务一：自主探究，解决实际问题。 1.通过自主探究，学会用比例尺画平面图。
图形的放大与缩小 目标：能在方格纸上把一个简单图形按指定的比进行放大或缩小。 任务一：研究图形的放大现象。 任务二：研究图形的缩小现象。 通过操作实践，知道图形放大后的规律。 2.通过类比推理，知道图形缩小后的规律。
用比例解决问题（1） 目标：掌握用正比例的意义解答基本应用题的方法与步骤。 任务一：探索用正比例知识解决问题。 1.通过小组合作探究活动学生会特别是用正比例的意义解答基本应用题。
用比例解决问题（2） 目标：掌握用反比例知识解决问题的方法和步骤。 任务一：探索用反比例知识解决问题。 1.会用运用反比例知识解决实际问题。
自行车的数学 目标：综合运用排列组合、圆、比例等知识解决生活中有关自行车里的数学问题。 任务一：研究普通自行车的速度与内在结构的关系。 任务二： 探究变速自行车能变化出的速度. 通过小组合作探究活动学生探索出普通自行车的速度与内在结构的关系。 2.通过小组合作探究活动。探索出变速自行车的变速规律
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反比例
人教版六年级下册
内容总览
学习目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
分层作业
06
目录
学习目标
学习目标描述：通过感知生活中的事例,理解并掌握反比例的意义,判断两种相关联的量是否成反比例
学习内容分析：在具体解决实际问题的情境过程中，体会、合作、探究,形成良好的思维习惯和应用所学知识解决实际问题的方法。
学科核心素养分析：在自主探索与合作交流中体验成功的乐趣进一步增强学好数学的信心。
新知导入
（1）小红将上学的速度和所花时间的变化情况统计如下表：
速度（米每秒） 4 5 8 10
时间（秒） 1000 800 500 400
速度不同,所花的时间也不同。
新知导入
小红将上学的速度和所花时间的变化情况统计如下表：
速度（米每秒） 4 5 8 10
时间（秒） 1000 800 500 400
判断一下两者属于正比例关系吗？
速度和时间的乘积一定
新知讲解
容器的底面积与水的高度的变化情况如下表。
10
15
20
30
60
…
把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器。
容器的底面积/cm 10 15 20 30 60 …
水的高度/cm 30 20 15 10 5 …
新知讲解
容器的底面积/cm 10 15 20 30 60 …
水的高度/cm 30 20 15 10 5 …
（1）表中有哪两种量？
根据上表，回答下面的问题。
容器的底面积和水的高度。
新知讲解
10
15
20
30
60
…
容器的底面积/cm 10 15 20 30 60 …
水的高度/cm 30 20 15 10 5 …
（2）水的高度是怎样随着容器底面积的大小变化而变化的？
增大
减小
水的高度随着容器底面积的增大而减小。
新知讲解
容器的底面积/cm 10 15 20 30 60 ...
水的高度/cm 30 20 15 10 5 ...
体积/cm3
（3）相对应的容器的底面积与水的高度的乘积分别是多少？
300
300
300
300
300
…
高度和底面积的变化有什么规律？
新知讲解
底面积和高度的积（体积）总是一定的，都是300。
10×30＝300
15×20＝300
20×15＝300
30×10＝300
60× 5＝300
从上往下看，底面积增加，水的高度反而减少。
从下往上看，底面积减少，水的高度反而增加。
高度和底面积的变化有什么规律？
底面积×水的高度＝水的体积（一定）
新知讲解
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例关系可以用下面的式子表示：
xy＝k（一定）
新知讲解
小组讨论: 两种量成反比例关系要满足什么条件
（3）两种量中相对应的两个数的积一定。
两种量成反比例关系要满足以下三个条件:
（1）必须是两种相关联的量。
（2）一种量变化，另一种量也随着变化。
新知讲解
如果总价一定，单价与数量成反比例关系。
如果长方形的面积一定，长与宽成反比例关系。
你能举出生活中反比例关系的例子吗？
新知讲解
今天我们学习了反比例，和以前学习的正比例有何区别
正比例 反比例
对象 变化趋势 判断方法
两个相关联的量
一个变化，另一个也随着变化
乘积一定
比值一定
课堂练习
每天运的质量/t
运货的天数/天
300
1
150
2
100
3
75
4
60
5
50
6
（1）表中有哪两种量？它们是不是相关联的量？
这两种量是相关联的量。
1.运输队要运一批货物，每天运的质量和运货的天数之间的关系如下。
课堂练习
（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的乘积， 并比较乘积的大小，说一说这个乘积表示什么。
300×1＝300 150×2＝300 100×3＝300 75×4＝300 60×5＝300 50×6＝300
乘积相等(一定)。这个积表示这批货的总量。
每天运的质量/t
运货的天数/天
300
1
150
2
100
3
75
4
60
5
50
6
课堂练习
（3）运货的天数与每天运的质量成反比例关系吗？为什么？
x
运货的天数
每天运的质量
y
x×y=300
（一定）
成反比例关系
每天运的质量/t
运货的天数/天
300
1
150
2
100
3
75
4
60
5
50
6
课堂练习
2.给一间长9m、宽6m的教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖数量如下表。
所需地砖数量与每块地砖的面积是否成反比例关系？为什么？
课堂练习
所需地砖数量与每块地砖的面积成反比例，因为教室的面积一定，而每块地砖的面积×所需地砖数量＝教室的面积。
课堂练习
3.下表中x和y两个量成反比例关系，请把表格填写完整。
x 2 40
y 5 0.1
50
100
0.25
12
课堂练习
4.判断下面各题中的两种量是否成反比例关系，并说明理由。
（1）煤的数量一定，使用天数与平均每天的用煤量。
因为平均每天的用煤量×使用天数＝煤的数量(一定)，所以使用天数与平均每天的用煤量成反比例关系。
课堂练习
（2）全班的人数一定，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数。
因为每组的人数×组数＝全班的人数(一定)，所以组数与每组的人数成反比例关系。
（3）圆柱的体积一定，圆柱的底面积与高。
因为圆柱的底面积×高＝圆柱体积(一定)，
所以圆柱的底面积与高成反比例关系。
课堂练习
（4）在一块菜地上只种黄瓜与西红柿两种作物，这两种作物的种植面积。
因为种黄瓜的面积与种西红柿的面积的和一定，而它们的乘积不一定，所以种黄瓜的面积与种西红柿的面积不成反比例关系。
（5）书的总册数一定，按每包册数相等的规定包装书，包数与每包的册数。
因为每包的册数×包数＝书的总册数(一定)，所以包数与每包的册数成反比例关系。
课堂总结
今天你有什么收获？
分层作业
【知识技能类作业】
1.判断。
（1）全班人数一定，每组人数和组数成反比例。（ ）
（2）圆柱的体积一定，圆柱的底面积和高成反比例。（ ）
（3）书的总页数一定，已看的和未看的成反比例。（ ）
（4）在一块菜地上种的黄瓜和西红柿的面积成反比例。（ ）
（5）长方形的面积一定，它的长和宽成反比例。（ ）
√
√
×
×
√
分层作业
2.一个长方形的面积是36cm2，用x和y表示它的长和宽。y与x成什么比例关系？如果把它们的关系用图象表示出来，图象是一条直线吗？
y与x成反比例关系，图象不是一条直线。
分层作业
3、京沪高铁的火车平均行驶速度与驶完全程所需时间如下表。
(1)京沪高铁全长多少千米？
260×5=1300(千米)
答：京沪高铁全长1300千米。
速度/（千米/时） 270 260 250 200 180 150 …
时间/时 5 5.2 6.5 …
(2)如果用v表示火车的平均速度，t表
示驶完全程所需时间。T 与v成什么比
例关系？你能写出这个关系式吗？
反比例　vt=1300
分层作业
(3)如果火车的平均速度为325千米/时，驶完全程需要多长时间？
1300÷325=4(时)
答：驶完全程需要4小时。
速度/（千米/时） 270 260 250 200 180 150 …
时间/时 5 5.2 6.5 …
分层作业
【综合实践类作业】
4.已知A×B=C（A、B、C均不为0）
(1) 当A一定时，B和C成什么比例？
(2)当B一定时， A和C成什么比例？
(3) 当C一定时， A和B成什么比例？
成正比例
成正比例
成反比例
谢谢
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比例教学设计
课题 反比例 单元 4 学科 数学 年级 六年级
学习目标 1.学习目标描述：通过感知生活中的事例,理解并掌握反比例的意义,判断两种相关联的量是否成反比例2.学习内容分析：在具体解决实际问题的情境过程中，体会、合作、探究,形成良好的思维习惯和应用所学知识解决实际问题的方法。3.学科核心素养分析：在自主探索与合作交流中体验成功的乐趣进一步增强学好数学的信心。
重点 理解反比例的意义
难点 能判断两种量是否成反比例关系。
教学环节 教师活动 设计意图
导入新课 一、情境导入1.课件出示表格。小红上学的速度和所花时间的变化情况统计表.师：请同学们认真观察表格，你发现了什么？生：速度不同,所花的时间也不同。师：上节课我们研究了成正比例关系的量，请同学们认真观察这个表格，判断速度和时间这两种量是否成正比例关系，并说明理由。生:速度和时间是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。生：速度和时间的比值不一定。生：不是正比例的量。师：同学们的发言有理有据题中的两种量不符合正比例的变化规律，那它们之间成什么关系呢？这节课我们一起来研究反比例。 通过复习正比例的意义和判断方法。学生回忆了原有正比例知识，初步感受正比例与反比例的不同变化规律。
讲授新课 新知探索任务一：构建反比例概念，理解反比例的意义。1.小组合作探究。(1)课件出示教科书P45例2。(2)学生带着“如何判断两种量是否成反比例关系”这个问题在小组内进行交流。(3)学生汇报。生：表中杯子的底面积和水的高度是两种相关联的量。生：我们小组发现杯子的底面积扩大，水的高度反而缩小；杯子的底面积缩小，水的高度反而扩大。生：杯子的底面积和水的高度这两种量中相对应的两个数的乘积都是300。师：那么这个300表示什么呢？生：底面积×高度=体积。师：我们说水的高度和杯子的底面积这两种量成反比例关系，你能说说判断它们成反比例关系的理由吗？生：水的高度和杯子的底面积是两种相关联的量生：水的高度是随着杯子的底面积的变大而不断变小的，而且水的高度与杯子的底面积的乘积总是一定的，所以水的高度和杯子的底面积成反比例关系。2.归纳反比例的意义。师：通过刚才的探究，请你跟同桌说一说怎样的两种量成反比例关系？学生汇报师小结：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。师：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积(一定)，你能用字母表示反比例关系吗？生：xy=k(一定)任务二：归纳判断两种量是否成反比例关系的条件课件小组讨论: 两种量成反比例关系要满足什么条件 生汇报：生：必须是两种相关联的量。生：一种量变化，另一种量也随着变化。生：两种量中相对应的两个数的积一定。师小结：两种量成反比例关系要满足以下三个条件:（1）必须是两种相关联的量。（2）一种量变化，另一种量也随着变化。（3）两种量中相对应的两个数的积一定。师：你能举出生活中反比例关系的例子吗？生：如果总价一定，单价与数量成反比例关系。生：如果长方形的面积一定，长与宽成反比例关系。师：今天我们学习了反比例，和以前学习的正比例有何区别 生：都是判断这两种量是否相关联，但判断正比例关系是看比值是否一定，判断反比例关系是看乘积是否一定。师小结并课件展示表格。 放手让学生自主探究，将已有的知识进行迁移，教师适时引导，恰当追问，学生掌握反比例的意义自然水到渠成。对比判断两种相关联的量是成正比例关系还是反比例关系的条件，找到判断时条件的异同，进一步加强对正、反比例意义的理解。
课堂练习 实践应用，巩固提升1.课件出示教科书P46“做一做”。学生先独立完成，并在小组内进行交流。(教师巡视指导)课件配合出示正确的解答。2.独立完成教科书P49“练习九”第8题。学生先独立解答后交流。生：因为教室的面积一定，而所需地砖数量与每块地砖的面积的乘积都等于教室的面积54m2，所以所需地砖数量与每块地砖的面积成反比例关系。课件配合出示正确的解答3.独立完成教科书P49“练习九”第10题。师：现在你能用所学的知识完成这个表格吗？学生独立解答后与同桌交流。师小结：这道题是已知x和y成反比例关系，利用表内已知的对应值(2，5)求出k=10，就可根据已知的一种量求出另一种量。4.学生独立完成教科书P49“练习九”第11题。学生完成后，交流分享。
课堂小结 通过本节课你有何收获？
板书 反比例底面积x高度=体积xy=k(一定)两种相关联的量的乘积一定，这两种量就成反比例关系。
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