资源简介

《基本不等式》教学设计
教材：湖南教育出版社《普通高中教科书.数学.必修第一册§2.2.1节》
一、内容分析
学生在湘教版高中教材《数学.必修.第一册》第二章第1节中，在学习了不等式的性质的基础上，对不等式的进一步的研究，本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用, 为进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想的良好素材，由于基本不等式的灵活性和应用的广泛性，本节内容是学生学习的难点.课程标准对本节课内容提出具体要求，即探索并了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
二、教学目的
掌握基本不等式，会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题；经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养.
三、重点难点
重点：基本不等式的推导及其简单应用.
难点：分析法证明基本不等式思路的获得和应用基本不等式求最值.
四、核心素养
●直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模．
五、教学准备
希沃白板5课件；联网演示电脑（能在线打开GGB）.
六、教学流程
问题导入 ->新知探索 ->微课学习 ->讨论升华 ->典型剖析 ->练习巩固 ->归纳小结
七、教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配
问题导入 欣赏第24届国际数学家大会会标，即中国古代数学的赵爽“弦图”. 问题：你能在这个图形中找出一些相等关系或不等关系吗？ 强调会标上的图形的重要性及其对数学学习的意义 通过会标导入新课，贴近现实，可激发学生的探究欲望，也让学生感受到数学文化的同时，激起学生的爱国情怀. 4分钟
新知探索 问题 1：对于“赵爽弦图”中的图形，在正方形中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为，正方形的面积为，4个直角三角形的面积和为，则：（1）正方形的边长为 ；（2） ；（3） ；(4)由图可知， ，即 . 1. 给出问题1，学生思考并作答.2. 借助GGB软件动态演示面积变化过程，尤其注意归纳取等号的条件. 问题1将问题细化，以填空形式呈现问题，并利用图形的面积大小关系，循序渐进地抽象出重要不等式，GGB演示直观形象，体会数形结合的思想. 4分钟
微课学习 定理：对任意的，，当且仅当时等号成立.推论：对任意的，必有，当且仅当时等号成立. 分析问题1中推导出的不等式中的取值范围并探究不等式的证明方法，板书基本不等式. 体会代换在数学学习中的作用，感受数学知识间的联系，培养学生学习的严谨性和逻辑推理能力. 3分钟
讨论升华 探究：如图，是圆的直径，点是上一点，.过点作垂直于的弦，连接、、.则：（1）半径 （2） （3）显然 ，即 .基本不等式的几何意义：半径不小于弦长的一半.又可称为与的几何平均数，又可称为与的算术平均数，基本不等式也叫做均值不等式.基本不等式的代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 回到问题2，请学生带着问题看微课，分组讨论，探索基本不等式的几何意义. 用数学符号语言、日常语言和图形语言表述基本不等式，将几何意义和代数意义一起讲解，有助于学生从多个角度认识基本不等式，培养学生数学表达能力. 5分钟
典例剖析 例5.设为正数，证明下列不等式：（1） ；（2）.例6.对任意三个正实数，求证：，当且仅当时等号成立.例7.求（0＜x＜1）的最大值. 1.先给出例5，学生口述解答，教师板演，并强调等号成立的条件.2. 给出例6，引导学生思考：问题可以如何转化？3. 给出例7，引导学生思考：怎样应用基本不等式求最大值？ 例5代表基本不等式的简单应用.例6应用基本不等式证明简单的不等式问题.例7基本不等式在求最值中的应用. 12分钟
练习巩固 变式练习：已知，求证 ．设为正实数，求证： ．3.求（0≤x≤1）的最大值. 注意规范书写，并强调利用基本不等式求最值要做到“一正，二定，三相等”. 巩固对基本不等式的理解. 10分钟
㈦归纳小结 本节课学习了一些？ 使用希沃白板5思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容. 2分钟
八、板书设计
大致板书如下：
基本不等式的两种形式（应用，注意点）例5，例7解答过程 希沃课件投影区域 （“赵爽弦图”）（讨论图示）（讲课草稿演算区）
《基本不等式》学案
学习目标
掌握基本不等式，会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题；经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养.
学习过程
一、问题导入
问题1 ：对于“赵爽弦图”，在正方形中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为，正方形的面积为，4个直角三角形的面积和为，则：
（1）正方形的边长为 ；
（2） ；
（3） ；
(4) 由图可知， ，
即 .
二、新知探索
问题2：不等式对任意的实数都成立吗？
问题3：如果，用分别代替重要不等式中的，可得什么？取等号的条件是什么？
讨论1：不等式的几何意义是什么？
讨论2：不等式的证明方法有哪些？
三、典例剖析
例5．设为正数，证明下列不等式：
（1） ；（2）.
例6．对任意三个正实数，求证：
，当且仅当
时等号成立.
例7．求（0＜x＜1）的最大值.
四、练习巩固
1. 已知，求证
．
2. 设为正实数，求证：
．
3.求（0≤x≤1）的最大值.
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